黄金卷08（广东专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷08·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D D B C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4 14． ①. ； ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）记“低碳出行”为事件，估计，…………………2分 则，………………………5分 ；……………………………6分 （2）由（1）知，则有，………………………8分 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件，……………9分 由题意，，………………………12分 所以.……………13分 16．（15分） 【详解】（1）【小问1详解】 证明：取棱的中点为，连接，……………………………………………1分 因为，所以，……………………………………………2分 因为，所以，…………………………………3分 又因为与的距离为，可得， 又，可得；…………………………………4分 因为，，满足，所以； 同理可得；…………………………………5分 显然，且平面，所以平面； 又因为平面， 所以平面平面；…………………………………6分 （2）【小问2详解】 取的中点为，连接，取的中点为，连接，则.………………7分 由（1）可知，平面，所以平面.………………8分 因为平面，平面，所以；………………9分 因为，所以；………………10分 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，………………11分 则， 由可得，所以；………………12分 设平面的一个法向量为， 可得； 解得，令，可得，所以；………………14分 设直线AN与平面所成的角为， 则可得 即直线AN与平面所成角的正弦值为.………………15分 17．（15分） 【解析】 【小问1详解】 双曲线可化为……………2分 ，即……………4分 双曲线C的标准方程为．……………5分 【小问2详解】 设直线l的方程为，，，……………6分 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即，……………9分 进而可得，即AB中点M为，……………11分 线段AB中垂线为，……………12分 则，即．……………13分 ．……………14分 即为定值1．……………15分 18．（17分） 【小问1详解】 定义域为，，……………2分 若时，即时，在单调递增，……………3分 若，即时， 有两个零点， 且， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增， 在单调递减；……………6分 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减；……………7分 【小问2详解】 因为，所以，……………8分 所以，……………9分 ，……………10分 要证，只需证，……………11分 即证，……………12分 不妨设，则只需证， 即证，……………13分 设，则只需证①，……………14分 由（1）可知在上单调递增， 则当时，，所以，……………15分 设，则， 所以在上单调递增，所以，……………16分 又因为，所以要证①成立， 只需证， 设，则， 所以在上单调递增.所以，得证.……………17分 19．（17分） 【小问1详解】 因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为， 所以，所以，，……………2分 又数列是项数为的对称数列， 所以，，，，……………3分 所以的项依次为，，，，，，，.……………4分 【小问2详解】 因为构成首项为，公差为的等差数列， 所以，……………6分 又，，，， 所以， 所以当时取得最大值，且.……………8分 【小问3详解】 因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，；……………10分 因为， 对于①，当时； 当时 ， 所以；……………14分 对于②，当时；……………15分 当时 ，……………16分 所以；……………17分 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷08 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A. 23 B. 100 C. 150 D. 232 3. 设等差数列的公差不为0，若构成等比数列，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 4是的一个周期 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 10. 设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上的最大值为 B. 在上单调递增 C 当时， D. 当且仅当时，曲线与轴有三个交点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 13.设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为___________. A. 4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C. 5∶4∶3 D. 6∶5∶4 14. 已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； （2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 16. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，. （1）证明：平面平面； （2）若点N是棱的中点，求直线AN与平面所成角的正弦值. 17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）记曲线在两点处的切线斜率分别为，直线的斜率为，其中，求证：当时，有. 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． （2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 试卷第2页，共22页 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷08 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， ， 故， 故选；D 2.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A. 23 B. 100 C. 150 D. 232 【答案】B 【解析】 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别， 依题意，，即，两边取对数得， 因此， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 故选：B 3. 设等差数列的公差不为0，若构成等比数列，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为构成等比数列，所以, 设等差数列公差为,所以,又因为, 即得,即,又因为不是0， 所以, 所以. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ， . 故选：D. 5. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以四边形为直角梯形. ，，，则面积， 故选：B. 6. 在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】长方体中，平面，平面，∴， 又平面，平面，∴， ∵，∴平面，而平面，∴， 是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点． 是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）． 设，则，解得， ∴外接球半径为， 表面积为． 故选：C． 7. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，的最小正周期， 因为，可知为的一条对称轴， 所以在之后的零点依次为，，，，…， 若在区间上恰有3个零点，所以. 故选：C. 8. 定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 4是的一个周期 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，把换成可得：， 两式相加得：，故关于点对称，故A正确； 再由为偶函数可得，， 可知：关于直线对称，故B正确； 再由上面关于两式可得：， 即有，可知：4是的一个周期，故C正确； 令，有，， 又因为，所以， 则，故D不正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】当时，，选项A正确； 若为纯虚数，则，选项B错误； 易知，选项C正确； 由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上， 的几何意义是点到点的距离，可得，选项D错误， 故选：AC. 10. 设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且为数列的唯一最大项，则 D. 若，且，则使得成立的的最大值为20 【答案】BCD 【解析】 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得， 即，解得，即选项C正确. 若，当时，， 又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，， 所以，， 则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上的最大值为 B. 在上单调递增 C 当时， D. 当且仅当时，曲线与轴有三个交点 【答案】ABD 【解析】 【详解】（1）当时，可得则； 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减，如图（a）； 当时，，选项A正确； 图（a） 图（b） 图（c） 图（d） （2）当时，易知 ①当时，恒成立，单调递增，如图（b）； ②当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，如图（c）； （3）当时，易知 当时，，单调递增； 当时，，单调递减；如图（d） 综上所述，在上单调递增，选项B正确； 当时，不一定成立，比如时，，选项C错误； 只有时，的图象与轴可能有三个交点， 此时解得，选项D正确， 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为， 3次检测结束的概率为， 则恰好检测四次停止的概率为. 13.设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为___________. A. 4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C. 5∶4∶3 D. 6∶5∶4 【答案】sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4 【解析】 【详解】因为a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得 a＝c＋2，b＝c＋1 ① 又因为3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，则 3b＝20a· ② 联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－ (舍去)，则a＝6，b＝5. 又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4. 14. 已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【详解】设，易知长半轴长，离心率； 设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有， 所以，得， 此时直线，将代入得，所以. 若没有经过点，设，， 由椭圆性质和题意可知，，所以， . 由椭圆方程得， 代入上式有. ， 则， 同理，所以的周长. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； （2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【小问1详解】 记“低碳出行”为事件，估计. 则，， ； 【小问2详解】 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， 所以. 16. 如图，在三棱柱中，与的距离为，，. （1）证明：平面平面； （2）若点N是棱的中点，求直线AN与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：取棱的中点为，连接， 因为，所以， 因为，所以， 又因为与的距离为，可得， 又，可得； 因为，，满足，所以； 同理可得； 显然，且平面，所以平面； 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点为，连接，取的中点为，连接，则. 由（1）可知，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以； 因为，所以； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 则， 由可得，所以； 设平面的一个法向量为， 可得； 解得，令，可得，所以； 设直线AN与平面所成的角为， 则可得 即直线AN与平面所成角的正弦值为. 17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值1 【解析】 【小问1详解】 双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）记曲线在两点处的切线斜率分别为，直线的斜率为，其中，求证：当时，有. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 定义域为，， 若时，即时，在单调递增， 若，即时， 有两个零点， 且， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增， 在单调递减； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 要证，只需证， 即证， 不妨设，则只需证， 即证， 设，则只需证①， 由（1）可知在上单调递增， 则当时，，所以， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 又因为，所以要证①成立， 只需证， 设，则， 所以在上单调递增.所以，得证. 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． （2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 【答案】（1），，，，，，， （2）当时取得最大值，且 （3）答案见解析 【解析】 【小问1详解】 因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为， 所以，所以，， 又数列是项数为的对称数列， 所以，，，， 所以的项依次为，，，，，，，. 【小问2详解】 因为构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 又，，，， 所以， 所以当时取得最大值，且. 【小问3详解】 因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，； 因为， 对于①，当时； 当时 ， 所以； 对于②，当时； 当时 ， 所以； 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$