第三十章 专题3 二次函数中的整数点问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 专题3 二次函数中的整数点问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 已知范围求整数点个数 1.【2023河北邯郸质检，中】在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数 的点叫做整点.如图,抛物线与直线 所围成的阴影部分 （不包括边界）的整点有___个. 7 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】由解得或 抛物线 与直 线的交点为，.当时， ， ;当时，，;当 时，，;当时， ， ;当时，，， 抛物线 与直线 所围成的阴影部分（不包括边界）的整点有 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 ，，，，，， ,共7个，故答 案为7． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 求得一次函数和二次函数图像的交点坐标是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 2.【2024河北张家口期中,较难】如图，抛物线 与轴交于，两点（点在点 的左侧）， 与轴交于点，且，为抛物线 上位于对称轴右侧 的点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （1）求 的值和抛物线的顶点坐标； 【解】 抛物线与轴交于，两点（点在点 的左侧）, 与轴交于点，， ， ，，， 抛物 线， 抛物线的顶点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）设抛物线在点和点之间部分含点和点 的最高点与最低点的纵坐标之 差为，求关于的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； 【解】由（1）可知抛物线的表达式为，对称轴为直线, 当时，，，.当时，点 是最高点， 抛物线的顶点是最低点，;当时，点 是最高点，抛物 线的顶点是最低点，.综上,关于 的表 达式为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （3）当点的坐标满足时，连接.将直线与抛物线 围成的 封闭图形记为 . ①求点 的坐标； 【解】联立解得或（舍） 点坐标为. ②直接写出封闭图形 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数. 【解】14个.设直线的表达式为，，解得， 直 线的表达式为, 封闭图形的边界上的整点为，， ， ，，，，，，，， ， ， ,共有14个. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 思路分析 （1）由抛物线表达式求得，，由题意求得，即可求得 ， 将抛物线表达式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）求出对称轴，注意分两种情况讨论； （3）①联立 即可求出点坐标；②求出直线的表达式为，依次找出封闭图形 的边 界上的整点即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 类型2 已知整数点个数求范围 3.［中］开口向下的抛物线与轴交于,两点，当抛物线与 轴围成的封闭区域（不包含边界）内仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为 整数的点）时， 的取值范围是_____________． 【解析】， 抛物线与 轴交点坐标为,,顶点坐标为．当 时， ， 抛物线与 轴的交点坐标为 .由图可知，若抛物线与 轴围成的封闭区域（不包括边 界）内仅有4个整数点，则解得 .故答 案为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 4.［较难］定义：在平面直角坐标系中，若点 满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．如：, 都是“整点”．当抛物线 与其关于 轴对称的抛物线围成的封闭区域内 （包括边界）共有9个整点时， 的取值范围是__________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 【解析】若抛物线与其关于 轴对称的抛物 线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，则 轴上有3 个整点，且 轴上方、下方各有3个整点. ， 抛物线的开口向上,对称轴为 直线,抛物线必过点.如图，若过点 ，则 ，解得，此时刚好9个整点；若过点 ，则 ，解得，此时有11个整点， ．故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 思路分析 先通过抛物线的表达式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，且过点 ， 再通过封闭区域内（包括边界）有9个整点，找到临界点，求出 的取值范围． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.［难］在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴 为直线 . （1）用含有的代数式表示 . 【解】 抛物线的对称轴为直线， ， . （2）求抛物线顶点 的坐标. 【解】把代入，得 ，配方得 ， 顶点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 （3）横、纵坐标都是整数的点叫整点.过点作轴的平行线交抛物线于 ， 两点.记抛物线在点，之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为 . ①当时，直接写出区域 内整点的个数； 【解】区域内整点有1个.当时，， 抛物线与轴的交点为 ，此点关于对称轴的对称点为 ，如图（1）. 由图像可知，区域内整点有1个，坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 ②若区域内恰有3个整点，结合函数图像，求 的取值范围. 【解】由①得时，区域 内有1个整点. （Ⅰ）当抛物线过点时，将 代入 ，得，区域 内恰有3个整点， 如图（2）. 结合图像可得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （Ⅱ）当抛物线过点时，将 代入 ，得.区域 内恰有3个整点， 如图（3）. 综上所述，的取值范围是或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 $$