第二十九章 大招专题2 圆中的最值问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十九章 直线与圆的位置关系 大招专题2 圆中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 利用圆外点到圆的距离求最值 1.【2023湖南衡阳期中】已知点和直线 ，求 点到直线的距离可用公式 计算.根据 以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为 ，半 径为1，直线的表达式为，是直线上的动点， 是 上的动点，则 的最小值是( ) A A. B. C. D.2 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】如图，过点C作 直线，交于点，此时 的值 最小.根据点到直线的距离公式可知，点到直线 的距离 .的半径为1， ，故选A. 大招解读 利用圆外点到圆的距离求最值 （1）已知直线及圆上一动点求最值，想到过圆心作直线的垂线. （2）已知圆外一定点及圆上一动点求最值，想到连接定点与圆心. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 子题练变式 2.如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是 上的任意一点， ，且，与轴分别交于，两点，若点、点 关于原点对称，当线 段最短时，点 的坐标为_______. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解析】如图，连接，连接，交于点 点的坐标为 ， ，， .若要 使最短，则需取得最小值.当点位于位置时，取得最小值. ， ，，， 点的坐标为，故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 关键点拨 连接，连接,交于点.根据点的坐标，利用勾股定理求出 长，再 根据直角三角形斜边中线的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点知 , 得到当的值最小时, 最短是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 母题学大招2 利用直线与圆的特殊位置关系求最值 3.【2024湖北武汉洪山区校级质检，中】如图,在 中， ，，，分别是， 的中 点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰 ， 记直线与的交点为，则点到 所在直线的距离的 最大值为_______． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 【解析】由题意知，在以为圆心， 为半径的圆上， 如图，当所在直线与相切时，直线与 的交点 到直线的距离最大，过点作 直线 ,此时四边 形是正方形， ，则 ，故 ， 大招解读 利用直线与圆的特殊位置关系求最值 已知动点与定直线求最值，动点的轨迹是圆，想到利用直线与圆的位置关系，通 常在相切时取得最值. ，故点到所在直线的距离的最大值为 ，故答 案为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 母题学大招3 利用定点定长构造圆求最值 4.如图，点，的坐标分别是，，点 为坐标平面内 一动点，，点为线段的中点，连接，则 的最大 值为( ) C A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 【解析】如图， 点C为坐标平面内一动点，， 在以 B为圆心，2为半径的圆上运动.取 ，连接 ，，是 的中位线， ， 当最大时， 最大.当D，B，C三点共线， 且C在的延长线上时，最大，故此时最大. ， ，，，，即 的最大值为 .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 关键点拨 根据题意可知,点在半径为2的上运动，通过画图可知，在 的延长线上 时， 最大，即可求解． 大招解读 利用定点定长构造圆求最值 已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 如图，动点到定点的距离为定值，则点的轨迹为以点 为圆 心， 为半径的圆. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 母题学大招4 利用定弦定角构造圆求最值 5.【2024浙江金华期中，中】如图，在中， ， ，，点是其内部一动点，且，则， 两点间的最小距离为( ) C A.3 B.4 C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】中， ，， ， 由勾股定理，得 .如图， 取的中点， ， ， ，点在以 为圆 心，为半径的圆上运动.连接交圆于点，连接, . 当，D，C三点在同一直线上时，最短，此时.在 中，由勾股定理，得，故 的最小值为 ，故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 大招解读 利用定弦定角构造圆求最值 固定线段所对动角为定值,则点运动轨迹为过,, 三点的圆 原理:弦 所对的同侧圆周角恒相等 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 思路分析 取的中点，由及 ，得出 ，可得 点 在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，，当，， 三点在同一直 线上时， 最短． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 母题学大招5 利用四点共圆求最值 6.【2024福建福州期中，中】如图，正方形 的边长为6，点 是正方形外一动点，且点在的右侧， ， 为 的中点，连接,当运动时，线段 的最大值为( ) D A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】如图，连接,交于点，连接 , , ，,C,,D四点共圆. 正方形的边长为6，.为 的中点，是 的中点， ， 当点在线段上时， 最 大，，即线段的最大值为 ．故选D． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 大招解读 利用四点共圆求最值 对角互补型: 如图，若 或 , 则,,, 四点共圆 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 同侧等角型： 如图，若 , 则,,, 四点共圆 关键点拨 推出,,, 四点共圆是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 母题学大招6 利用米勒定理求最值 7.【2024四川宜宾翠屏区校级期中，中】如图，已知点， 的坐标分 别是,，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点 的 坐标是( ) B A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】过点A，B作，当与轴相切于点C时， 最大， 连接,,，作轴于，如图. 点A,B的坐标分别是 ,，， ， ，与轴相切于点C， 轴， 四边形为矩形，,,.在 中， ，点坐标为 ．故选B． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 大招解读 利用米勒定理求最值 已知点,是的边上的两个定点，点是边 上的一个动点，则当且仅 当的外接圆与边相切于点时， 最大. 证明：如图,在边上任取一点（不与点重合），连接,, 与圆相交 于点,连接,（利用三角形外角性质）, 当圆与 相切时， 最大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 $$