第一章 直角三角形的边角关系 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 锐角三角函数 1.【2024四川泸州中考】宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形， 黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形 沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则 的值为( ) A A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】由题知，令， .由翻折可知， 四边形是矩形，， ， ，．令，则.在 中， ,即，解得 ， ，．在 中， ． 故选A． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 2.【2024湖南中考】计算： . 【解】原式 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 考点2 解直角三角形 （第3题图） 3.【2024甘肃临夏州中考】如图，在中， ， ，则 的长是( ) B A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】过点A作的垂线，垂足为，如图.在 中， ，， .又 ， .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 4.【2024上海中考】在平行四边形中，是锐角，将沿直线 翻折至 所在直线，对应点分别为，，若，则 _____. 或 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解析】当在线段上时，如图（1），设直线交于 .根据 ,不妨设,,, .由翻 折的性质知,沿直线翻折至 所在直线， ， , .过点作的垂线交于， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 当在的延长线上时，如图（2），设直线交于.根据 ， 不妨设,,,.同理知 . 过作的垂线交于，， .故答案为 或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 考点3 解直角三角形的应用 （第5题图） 5.【2024江苏盐城中考】如图，小明用无人机测量教学 楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点 处，测 得教学楼底端点的俯角为 ，再将无人机沿教学楼 方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点 的俯 角为 ，则教学楼的高度约为____.（精确到 ， 参考数据：， ， ） 17 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 【解析】如图，延长交直线于点，则 .由题意知 ， .在中，，即 ，解得 ， ， ， ， ， .故答案为17. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 6.【2024重庆中考A卷】如图，甲、乙两艘货轮同 时从港出发，分别向， 两港运送物资，最后到 达港正东方向的港装运新的物资.甲货轮沿 港 的东南方向航行40海里后到达港，再沿北偏东 方向航行一定距离到达港.乙货轮沿 港的北偏东 方向航行一定距离到达港，再沿南偏东 方向航行一定距离到达 港. （参考数据：，， ） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （1）求， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； 【解】如图，过点作，垂足为 .在 中， ， 海里， （海里）， （海里）.在中， ， （海里）， （海里），， 两港之间的距离约为 77.2海里. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠， 两港的时间相同），哪艘货轮先 到达 港？请通过计算说明. 【解】甲货轮先到达 港.如图，由题意得 ， ， ， .在 中， ， 海里， 海里.在中， ， 海里， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （海里）， 甲货轮航 行的路程为 （海里），乙货轮航行的路程为 （海里） 海里海里， 甲货轮先到达 港. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 （2）根据题意可得 ，，从而可得 ， 然后利用角的和差关系可得 ， ,从而在 中，求 出和的长，再在中，利用余弦的定义求出 的长，最后进行计算 比较即可解答. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 章测 一、选择题（每小题6分，共30分） （第1题图） 1.如图，在中， ， ， ，若用 科学计算器求 的长，则下列按键顺序正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 （第2题图） 2.如图，在矩形中，于，设 ，且 ，，则 的长为( ) B A.3 B. C. D. 【解析】由题可知， , .在中，,即 , .根据勾股定理，得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 （第3题图） 3.【2024安徽淮南质检】如图，要测量河内小岛到河岸 的距 离，在点测得 ，在点测得 ，又测 得，则小岛到河岸 的距离为( ) D A. B. C. D. 【解析】在中， ，，则 . 在中， ， ，则 ，即， .故 选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 （第4题图） 4.如图，，分别为反比例函数 ， 图象上的点，且，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 【解析】如图，过点A作轴于C，过点B作 轴于D， 则 . ，B分别为反比例函数 ，图象上的点， ， ， ，， ， ，， ，故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 关键点拨 构造一线三垂直相似模型得出，根据相似三角形的性质得出 的值 是本题的解题关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 26 5.【四川泸州中考】如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点的坐标为，四边形 是菱形，且 .若直线把矩形和菱形 组成的图形的面 积分成相等的两部分，则直线 的表达式为( ) D A. B. C. D. 思路分析 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 27 刷有所得 过两个中心对称图形的对称中心的直线平分这两个中心对称图形的面积. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 【解析】连接，交于点，连接，交于点 ，则直线 即为符合条件的直线，如图. 四边形 是矩形， 点B的坐标为，， ， 四边形为菱形，.过点 作 于点.在中，， .设 ，则，，， ， ，，，的坐标为， 轴， 点为的中点，.设直线的表达式为 ， 解得 直线的表达式为 .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.【2023陕西西安校级调研】在中，， 都为锐角，且 ，则 的度数为______. 【解析】由题意得，，，. , 都为锐角， ， ， .故答 案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 （第7题图） 7.如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，， 都在小正 方形的顶点上，与相交于点，则 的值为___. 2 【解析】如图，连接交于 四边形 是正方形， ，，，， . 根据题意得，，， ，.在 中, ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 8.在中，若 ，，，则 的面积是______ __. 75或25 【解析】过点作，垂足为，如图所示.在 中， ，.在 中， ，， ， 易错警示 题目无图，考虑多解情况. 或， 或25. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 9.【2024广东广州模拟】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长为_ __________ . （第9题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 （第9题图） 【解析】如图，延长交于点，则四边形 是矩形， ， .在 中， ， ， .在 中， ， , .在中， ， ， , .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 关键点拨 延长交于点，先在,,中分别求出，， 的长，再利用线段的和差关系求出 的长. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 10.【2024江苏南通期末】如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测 量教学楼高度的活动，此时无人机在离地面30米高的点处，操控者站在点 处， 无人机测得点的俯角为 ，测得教学楼楼顶点处的俯角为 .已知操控者和 教学楼的距离为60米，则教学楼 的高度是_____________米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 （第10题图） 【解析】如图，过点作于，过点作 于 .由题意得，， ， .在中， ， ， ，，， 四边形 为矩形，, .在中， ， ， ， 米， 教学楼 的高 度为米.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 三、解答题（共45分） 11.计算： （1） ； 【解】原式 ． （2） ． 【解】原式 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 12.【2024辽宁大连甘井子区期末】如图（1）是一种折叠椅，忽略其支架等器件 的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图（2）所示. 若座板平行于地面，前支架与后支架分别与交于点， ，量得 ，， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 【解】如图，过点，分别作于，于 ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 （1）求椅子座板距离地面 的高度； 【解】 在中，， ， ， 椅子座板距离地面的高度约为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 （2）求两支架着地点， 之间的距离. （结果精确到,参考数据：， ， ，，， ） 【解】 在中，， ， ，，， 四边形 是 矩形，， 在 中， ，， ， ， 两支架着地点, 之间 的距离约为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 13. 【2023江苏泰州模拟】【问题情境】 综合与实践课上，老师让同学们以“通过正方形纸片折叠，探索 及 的值”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 （1）【操作过程】 如图（1），先将正方形纸片沿对角线折叠，折痕为,再将点翻折到 上的点 处，且使折痕过点，则 ，则 _____________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________. 【解】由正 方形的性质可得 ， ， ，由翻折的性质可 得，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 （2）为构造 ，同学们积极动脑并进行如下操作：如图（2），将正方形纸片 翻折，使得点与点、点与点重合，折痕为.展开后，将点翻折到 上的 点处，且使折痕过点，连接.再将点翻折到上的点处，折痕为 .根据 以上操作请你求出 的值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 【解】由题意知，，， ， ， ， ， . 如图，连接 . 由题意知，，.设，，则 ， ，在中，由勾股定理得 ， 即，整理得 ， ， 的值为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 （3）【探索发现】 如图（3），在图（2）的基础上，同学们通过其他折叠方式在上找到一点 ， 使得 ，连接，发现与 存在固定不变的数量关系，请 写出你的猜想并验证. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 【解】 .证明如下： 由题意知， . ， ，， ， . 设，则 ， , ， ， . 关键点拨 （2）掌握折叠的性质，并熟练使用设参法表示相关线段长是解题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 $$