第5章 专题3 二次函数的综合应用-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第5章 二次函数 4 专题3 二次函数的综合应用 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 二次函数与三角形的综合 1.［中］如图，抛物线与直线在第一象限内有一交点 . （1）求直线 的表达式； 【解】将点的坐标代入，得， 点的坐标为.将 代 入，得，解得, 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形?若存在，请求出点 的坐 标；若不存在，请说明理由. 图（1） 【解】存在.分三种情况讨论： ①如图（1），当时，过点作 轴于点 ，， 点的坐标为， 点的坐标为, 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 图（2） ②如图（2），当时，符合题意的点 有两个，分别 为点和点 点的坐标为，, ， 点和点的坐标分别为和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 图（3） ③如图（3），当时，点只能在轴正半轴上.过点 作 于点，则点是的中点. 点的坐标为， 点的坐标为.设点的坐标为 ， 即，解得, 点 的坐标为 . 综上所述，符合条件的点的坐标是或或或 . 关键点拨 （2）分,, 三种情况讨论是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 类型2 二次函数与菱形的综合 2.【2024重庆南岸区期末，较难】如图，已知抛物线 与轴交于和两点，与轴交于点 . （1）求抛物线的函数表达式； 【解】将点和代入得 解得 则抛物线的函数表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点，与 轴交 于点.当取得最大值时，求的值和 的最大值； 【解】由题意可知，点的坐标为 .对于二次函数 ，当时，，即.设直线 的表达式为 .将点和代入得 解得 则直线 的表达式为， ， .由二次函数的性质可知，当 时，取得最大值，最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 （3）若抛物线的顶点为， 是该抛物线对称轴上一点，在平面 内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，求点 的坐标. 【解】， 此二次函数的顶点坐标为 ， 对称轴为直线设点的坐标为， ， ， . 图（1） ①如图（1），当为菱形的对角线，时， ，即 ，解得， 或 .由菱形的性质可知，, ， ， 当点的坐标为时，；当点 的坐标为时， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 图（2） ②如图（2），当为菱形的对角线， 时， ，即，解得或 （此时点与点重合，舍去），.设此时点 的坐标 为 菱形的对角线互相平分， 解得 此时点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 图（3） ③如图（3），当为菱形的对角线， 时， ，即，解得 ， ,， .由菱形的性质可知， ，，,,.综上，点 的坐标 为或或或, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 思路分析 （1）根据点和 ，利用待定系数法求解即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点的坐标，再求出直线的表达式.表示出点与点 的坐标，从而 可得 ，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出点，再设点的坐标为，然后分三种情况：①当 为 菱形的对角线，时；②当为菱形的对角线，时；③当 为菱 形的对角线， 时，分别列方程求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 类型3 二次函数与圆的综合 3.【2023江苏泰州调研，较难】如图，抛物线 与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以 为直径在 轴上方画半圆交轴于点，圆心为， 是半圆上一动点，连 接，点为的中点，连接.下列四种说法：①点在 上；；③当点沿半圆从点运动至点时，点 运动 B A.1 B.2 C.3 D.4 的路径长为 ；④线段 的长可以是3.2. 其中正确说法的个数为( ) 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 【解析】 抛物线与坐标轴交于点A，B，C，， ， ， 点，的半径为， 顶 点D的坐标为，， 点D在 上 ，故点C不在上，故①不正确 圆心为，是半圆上一动点，点D在上，点为的中点， ，故②正 确， ， 点在以 为直径的圆上运动. ，，， 当点与点B重合时,点的坐标为 ,即 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 ；当点与点A重合时,点的坐标为，即， 易知点 的 运动路径所在的圆直径是2，所对圆心角是 ， 点 运动的路径长为 ，故③正确.④由③易知，当点运动到，即点 与点A重合时， 的长最大，最大值为， 线段的长不可能是 ，故④ 不正确.故正确说法有②③.故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 熟练掌握二次函数的图像与性质及圆的相关知识是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 4.【2023江苏苏州中考，较难】如图，二次函数 的图像与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线 是对 称轴.点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，，过点 作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆， 与 相切，切点为 . （1）求点， 的坐标； 【解】 二次函数的图像与轴分别交于点,（点在点 的左 侧）， 令，则，解得， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （2）若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且 不经过点，求 长的取值范围. 【解】， 对称轴为直线.设 的坐标为 . ， . 如图，连接，则， ，即以切线 长为边长的正方形的面积为 . 过点作轴，垂足为，则 ， ，解得或 （不合题意，舍去）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 假设经过点 ，则有两种情况： ①如图（1），当点在点 的上方时， 图（1） ，，解得 或1. ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 图（2） ②如图（2），当点在点的下方时， ， ，解得.， . 综上所述，当经过点时，或 ，则 当不经过点时，长的取值范围为 或 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 思路分析 （2）利用顶点式求出二次函数图像的对称轴，设出点坐标，表示出 点坐标.连 接，则，求出，即以切线长 为 边长的正方形的面积为.过点作轴，垂足为，求出 的面积，进而得出半径.假设经过点，分两种情况：①当点在点 的 上方时，②当点在点 的下方时，即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 类型4 二次函数与动态问题的综合 5.【2024安徽合肥期末，较难】如图，平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物 线与轴交于，与轴交于，两点（在的右侧），顶点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）求抛物线的表达式； 【解】 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的顶点式为 抛物线与轴交于， ,解得 , 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交 于点 ，求 的最大值； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解】令，,或3, 抛物线与轴的交点为 , . 图（1） 由，得直线的表达式为.如图（1），过点 作轴交于点.设，则 直 线与轴的夹角为 ，即 ， ， 是等腰直角三角形，， 当最大时， 最大. ， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点 的坐 标；若不存在，请说明理由. 图（2） 【解】存在.如图（2），当点在点下方， 时， ，即.由（2）得，直线 的表达式为 .设点的坐标为 ， ，解得，则点 ,；当点在点的上方时，.设点 ，则 ，解得（舍去）或，则点, . 综上，点的坐标为,或, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 关键点拨 （1）根据顶点坐标为，设抛物线的顶点式为 ，由题意将 代入表达式得 ，即可得到抛物线的表达式； （2）过点作轴交于点，则是等腰直角三角形.当 最大时， 最大，求得关于 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当点在点下方，时， ，即 ；当点在点上方时， ,进而求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 类型5 新定义问题 6.【2023江苏宿迁中考，较难】规定：若函数的图像与函数 的图像有三个不 同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”. （1）下列三个函数；； ，其中与二次函数 互为“兄弟函数”的是____（填写序号）； ② 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 【解】分别作出,,与 的图像，如图 （1），图（2），图（3）所示，与 的图像有三个不同 的公共点，根据“兄弟函数”的定义，与二次函数 互为“兄弟函 数”的是②，故答案为②. 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （2）若函数与互为“兄弟函数”， 是其 中一个“兄弟点”的横坐标. ①求实数 的值； 【解】 函数与互为“兄弟函数”， 是其 中一个“兄弟点”的横坐标， 当时，,， ， 解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是_ ______、_______； 【解析】联立 整理得 是其中 的一个解， 因式分解得，则 ，解得 ， 另外两个“兄弟点”的横坐标是，,故答案为 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 （3）若函数（为常数）与 互为“兄弟函数”，三个“兄弟 点”的横坐标分别为，，，且，求 的取值范围. 图（4） 【解】在平面直角坐标系中作出（ 为常数）与 的图像，如图（4）所示.联立 即 ， ①当时，，即 ，当 ，即时， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 ②当时，，即 ， .由图可知，两个函数图像的交点只能在第二象限， ,三个“兄弟点”的横坐标分别为,, ，且 ，，，， . ,,的取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 $$