第5章 专题特训(二) 二次函数图像的几何变换-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

24 　　　专题特训（二）　二次函数图像的几何变换 ▶ “答案与解析”见P14 类型一 抛物线的平移 1. 抛物线y=-x2+7通过平移变换可以得到 抛物线y=-(x+2)2+4,则下列变换过程 中,正确的是 ( ) A. 先向右平移2个单位长度,再向上平移 3个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度,再向下平移 3个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度,再向下平移 3个单位长度 D. 先向左平移2个单位长度,再向上平移 3个单位长度 2. 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像向 左平移4个单位长度或向右平移1个单位长 度后都会经过原点,则该二次函数图像的对 称轴是 ( ) A. 直线 x=-2.5 B. 直线 x=2.5 C. 直线 x=-1.5 D. 直线 x=1.5 3. 已知二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数) 的图像的对称轴为直线x=2.若将该二次函 数的图像沿y轴向下平移k个(k>0)单位长 度,使其经过点(0,-1),则k的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 4. 已知抛物线y=(x-m)(x-m-k)(m、k是 常数)的对称轴为直线x=-1.若将该抛物 线先向右平移2个单位长度,再向下平移 1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐 标原点,则m2+k2的值是 . 5. 已知抛物线y=-x2-4x+1. (1) 写出该抛物线的顶点坐标. (2) 将该抛物线先向右平移a个(a>0)单位 长度,再向下平移2a个单位长度,若平移后 得到的新抛物线经过点(1,-1),求a的值. 类型二 关于直线对称的抛物线 6. 在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于 x轴对称,且它们的顶点相距6个单位长度. 若其中一条抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+4x+2m,则m的值是 ( ) A. -72 B. -12 C. 1 D. -12 或-72 7. 若抛物线L:y=x2+(b-1)x-3与 抛物线L':y=x2-10x+3c关于直线 x=2对称,则b-c的值为 ( ) A. 3 B. 7 C. -4 D. 4 8. 在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函 数y1=a1(x+h1)2+k1 与y2=a2(x+ h2)2+k2的图像的形状相同,并且对称轴关 于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互 为“梦函数”,如二次函数y=(x+1)2-1与 y=(x-1)2+3互为“梦函数”.写出二次函 数y=2(x+2)2+1的其中一个“梦函数”: . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 25 9. 如图,抛物线y=x2-2x-3与 x轴交于A、B 两点,将该抛物线在 x轴下方的部分沿x轴翻折,其余 部分保持不变,得到图形C1.当直线y=x+ m与图形C1恰有两个公共点时,m 的取值 范围是 . (第9题) 10. ★如图,抛物线y=x2-x-2交x轴于A、 B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿 x轴翻折,其余部分不变,得到的新图像记 为图像W,图像W 交y轴于点C. (1) 写出被翻折部分翻折后得到的图像对 应的函数表达式. (2) 若直线y=-x+b与图像W 有三个交 点,求b的值. (第10题) 类型三 绕定点旋转180°后的抛物线 11. 已知二次函数y=m(x+3)2-3(m 为常数 且m≠0)的图像与y轴交于点A,将该二次 函数的图像以原点为旋转中心旋转180°,旋 转后的图像与y轴交于点B.若AB=12, 则m的值为 ( ) A. 1或-13 B. 1或-3 C. 3 D. 1 3 12. 已知抛物线C:y=x2+bx+c与 x轴交于A、B 两点,与y轴交于 点C,且关于直线x=1对称,点A 的坐标为(-1,0). (1) 求抛物线C对应的函数表达式和顶点 坐标. (2) 将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛 物线C',且点P(m,t)既在抛物线C上,又 在抛物线C'上,求m的值. (3) 若当a≤x≤a+1时,二次函数y= x2+bx+c的最小值为2a,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 专题特训（二）　二次函数 图像的几何变换 1. B 2. D [解析] ∵ y=ax2+bx+c= a x+b2a 2 +4ac-b 2 4a ,∴ 二次函数 图像向左平移4个单位长度后得到的 图像对应的函数表达式为 y= ax+b2a+4 2 +4ac-b 2 4a . 将(0,0) 代入,得16a+4b+c=0①.二次函数 图像向右平移1个单位长度后得到的 图像对应的函数表达式为 y= ax+b2a-1 2 +4ac-b 2 4a . 将(0,0) 代入,得a-b+c=0②.由①-②,得 15a+5b=0,∴ b=-3a.∴ -b2a= 1.5.∴ 二次函数图像的对称轴是直 线 x=1.5. 3. B [解析] ∵ y=(x-1)(x-a) (a为常数),∴ 该二次函数的图像与 x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0). ∵ 二次函数的图像的对称轴为直线 x=2,∴ 1+a 2 =2 ,解得a=3.∴ 该 二次函数的表达式为y=x2-4x+ 3.∵ 将该二次函数的图像沿y 轴 向下平移k 个单位长度后经过点 (0,-1),∴ -1=3-k.∴ k=4. 4. 1 [解析] ∵ 抛物线y=(x- m)(x-m-k)(m、k是常数)的对称 轴为直线x=-1,∴ m+m+k 2 = -1.∴ 2m+k=-2.∴ k=-2- 2m,y=(x+1)2+m(m+k)-1. ∵ 将该抛物线先向右平移2个单位 长度,再向下平移1个单位长度后,得 到的抛物线对应的函数表达式为y= (x-1)2+m(m+k)-2,∴ 将(0,0) 代入,得0=1+m(m+k)-2. ∴ m(m+k)=1,则m2+2m+1=0, 解得 m1 =m2 = -1.∴ k=0. ∴ m2+k2=1. 5. (1) ∵ 抛物线对应的函数表达式 为y=-x2-4x+1=-(x+ 2)2+5, ∴ 该抛物线的顶点坐标为(-2,5). (2) 由题意,得平移后得到的新抛物 线对应的函数表达式为y=-(x+ 2-a)2+5-2a. ∵ 平移后得到的新抛物线经过点 (1,-1), ∴ -1=-(1+2-a)2+5-2a. ∴ a2-4a+3=0,解得a=1或 a=3. ∴ a的值为1或3. 6. D [解析] ∵ 一条抛物线对应的 函数表达式为y=-x2+4x+2m, ∴ 这条抛物线的顶点坐标为(2, 2m+4).∴ 这条抛物线关于x轴对 称的抛物线的顶点坐标为(2,-2m- 4).∵ 它们的顶点相距6个单位长 度,∴ |2m+4-(-2m-4)|=6. ∴ |4m+8|=6.当4m+8=6时, m=-12 ;当4m+8=-6时,m= -72.∴ m的值是-12 或-72. 7. C [解析] ∵ 抛物线L:y=x2+ (b-1)x-3与抛物线L':y=x2- 10x+3c关于直线x=2对称,∴ 抛 物线L上的点(0,-3)关于直线x=2 对称的点的坐标为(4,-3),且该点在 抛物线L'上.∴ -3=16-40+3c. ∴ c=7.∵ 抛物线L:y=x2+(b- 1)x-3与抛物线L':y=x2-10x+ 3c关于直线x=2对称,∴ 它们的对 称轴关于直线x=2对称.∴ -b-12×1+ --102×1 =4.∴ b=3.∴ b-c=3- 7=-4. 8. 答案不唯一,如y=2(x-2)2+2 9. -3<m<1或m>134 [解析] 在 y=x2-2x-3中,令y=0,得x2- 2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. ∴ A(-1,0)、B(3,0).如图,当直线 y=x+m 经过点A 时,直线y=x+ m 与图形C1 有三个公共点,此时 0=-1+m,解得m=1;当直线y= x+m经过点B时,直线y=x+m与 图形C1 恰有一个公共点,此时0= 3+m,解得m=-3.由图,可知当 -3<m<1时,直线y=x+m 与图 形C1恰有两个公共点.将抛物线y= x2-2x-3在x 轴下方的部分沿 x轴翻折得到的新抛物线对应的函数 表达式为-y=x2-2x-3,即y= -x2+2x+3(-1<x<3).令x+ m=-x2+2x+3,整理,得x2-x- 3+m=0.由图,可知当直线y=x+ m与抛物线y=-x2+2x+3恰有一 个公共点时,直线y=x+m 与图形 C1 有三个公共点.∴ b2-4ac= (-1)2-4(-3+m)=0,解得m= 13 4.∴ 当m>134 时,直线y=x+m 与图形C1 恰有两个公共点.综上所 述,当直线y=x+m 与图形C1恰有 两个公共点时,m 的取值范围是 -3<m<1或m>134. (第9题) 10. (1) 设抛物线y=x2-x-2翻折 前交y轴于点C'. 在y=x2-x-2中,当x=0时, y=-2;当y=0时,x2-x-2=0,解 得 x1=2,x2=-1. ∴ C'(0,-2)、A(-1,0)、B(2,0). ∴ C(0,2). 设被翻折部分翻折后得到的图像对应 的函数表达式为y=a(x+1)(x- 2)(a≠0). 把C(0,2)代入,得-2a=2,解得 a=-1. ∴ y=-(x+1)(x-2)=-x2+ x+2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 ∴ 被翻折部分翻折后得到的图像对 应的函数表达式为y=-x2+x+ 2(-1<x<2). (2) 若直线y=-x+b与图像W 有 三个交点,分两种情况讨论: ① 当直线y=-x+b过点B 时,易 知与图像W 有三个交点,此时b=2. ② 如图,当直线y=-x+b位于线 段AB的上方,且与被翻折部分翻折 后得到的函数图像恰好有一个交点 时,方程-x+b=-x2+x+2,即方 程x2-2x+b-2=0有两个相等的 实数根. ∴ (-2)2-4(b-2)=0. ∴ b=3. 综上所述,b的值为2或3. (第10题) 不能将图形动起来而导致错误 求解直线与二次函数图像的 交点时,容易因不能将图形动起来 而导致错误.将直线动起来,类似 于求直线与圆的交点个数,从而根 据交点个数确定所得新一元二次 方程的根的判别式与0的大小关 系,进而求得结果. 11. A [解析] ∵ 二次函数y= m(x+3)2-3(m 为常数且m≠0)的 图像与y轴交于点A,∴ 当x=0时, y=9m-3.∴ A(0,9m-3).∵ 将二 次函数y=m(x+3)2-3的图像以原 点为旋转中心旋转180°后,得到的图 像与y轴交于点B,∴ B(0,-9m+ 3).∵ AB =12,∴ |9m -3- (-9m+3)|=12,即|18m-6|=12. ∴ m=1或m=-13.∴ m 的值为1 或-13. 12. (1) ∵ 点A(-1,0)与点B关于 直线x=1对称, ∴ 点B的坐标为(3,0). ∴ 抛物线C 对应的函数表达式为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3= (x-1)2-4. ∴ 抛物线C的顶点坐标为(1,-4). (2) ∵ A(-1,0)、B(3,0), ∴ 点A、B关于原点的对称点的坐标 分别为(1,0)和(-3,0),且都在抛物 线C'上. ∵ 抛物线C'开口向下,形状与抛物线 C相同, ∴ 抛物线C'对应的函数表达式为 y=-(x-1)(x+3)=-x2- 2x+3. ∵ 点P(m,t)在抛物线C上, ∴ t=m2-2m-3. ∵ 点P又在抛物线C'上, ∴ t=-m2-2m+3. ∴ m2-2m-3=-m2-2m+3,解得 m=±3. (3) 由(1),知y=x2-2x-3=(x- 1)2-4,当a≤x≤a+1时,二次函数 y=(x-1)2-4的最小值为2a. 分三种情况讨论: ① 若a+1<1,即a<0,则当x=a+ 1时,y取得最小值,此时y=(a+1- 1)2-4=a2-4. ∴ a2-4=2a,解得a=1-5或a= 1+5(不合题意,舍去). ② 若a<1≤a+1,即0≤a<1,则当 x=1时,y取得最小值-4. ∴ -4=2a,解得a=-2(不合题意, 舍去). ③ 若a≥1,则当x=a时,y取得最 小值,此时y=a2-2a-3. ∴ a2-2a-3=2a,解得a=2+7或 a=2-7(不合题意,舍去). 综上所述,a的值为1-5或2+7. 专题特训（三）　探究二次 函数中的存在性问题 1. (1) ∵ A(1,0)、C(0,3), ∴ OA=1,OC=3. ∵ S△ABC= 1 2AB ·OC=6, ∴ AB=4. ∴ OB=AB-OA=3. ∴ B(-3,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x+3)(x-1). 把C(0,3)代入,得a=-1, ∴ y=-(x+3)(x-1)=-x2- 2x+3. (2) ∵ OB=OC=3, ∴ 易得∠OBC=∠OCB=45°. ∵ PF∥y轴, ∴ ∠PFE=∠OCB=45°. ∵ PE⊥BC, ∴ ∠PEF=90°. ∴ △PEF为等腰直角三角形. ∴ 易得PE=EF= 22PF. ∴ C△PEF=PE+EF+PF= 2 2PF+ 2 2PF+PF= (2+1)PF. ∴ 当PF的长取得最大值时,△PEF 的周长取得最大值. 设直线BC对应的函数表达式为y= k1x+b1. 把B(-3,0)、C(0,3)代入,得 -3k1+b1=0, b1=3, 解得 k1=1, b1=3. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x+3. 设P(m,-m2-2m+3)(-3<m< 0),F(m,m+3). ∴ PF=-m2-2m+3-m-3= -m2-3m=- m+32 2 +94. 当m=-32 时,PF的长取得最大值, 为9 4 ,此时-m2-2m+3=154. ∴ 当点P 的坐标为 -32 ,15 4 时, △PEF的周长取得最大值,最大值为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51