第5章 二次函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第5章 二次函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图像与性质 1.【2024江苏连云港中考】已知抛物线,,是常数， 的 顶点为 . 小烨同学得出以下结论：；②当时，随 的增大而减小；③若 的一个根为3，则；④抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的 是( ) B A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】 抛物线,,是常数，的顶点为 ， ，， ， ，无法判断，故①错误.， 抛物线开口向下. 对称轴为直线， 当时，随 的增大而减小，故② 正确.，，.若 的一 个根为3，则当时，，， ，故③正确. ， 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2 个单位得到 ，故④错误.故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 根据抛物线的对称轴公式可得，结合， ，由此可判断 ①；由二次函数的增减性可判断②；用含的代数式表示， 的值，再解方程即可 判断③；由平移法则即可判断④. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 2.【2024江苏苏州中考】二次函数的图像过点 ， ，，，其中，为常数，则 的值为____. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】把，，代入 ， 得 解得 . 把代入 ， 得 ， ，，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3.【2024山东临沂中考】在平面直角坐标系中,点 在二次函数 的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线 . （1）求 的值; 【解】 点在二次函数 的图像上， ， ， 抛物线表达式为 ， 抛物线的对称轴为直线 ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （2）若点在 的图像上,将该二次函数的图像向上平移5 个单位长度,得到新的二次函数的图像.当 时,求新的二次函数的最大值 与最小值的和; 【解】 点在 的图像上， ， 解得 ， 抛物线表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像的表达式为 . ， 当时， 有最小值,为1， 当时，有最大值,为 , 新的二次函数的最大值与最小值的和为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （3）设的图像与轴交点为, .若 ,求 的取值范围. 【解】的图像与轴的交点为， , 关于的方程的两个实数根为, , ， . ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 ， ， , 解得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 思路分析 （3）由根与系数的关系可得， ，结合 ，利用 建立不等式组求解即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 考点2 二次函数的实际应用 4.【2024甘肃武威中考】如图（1）为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是 抛物线的一部分，如图（2）是棚顶的竖直高度（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离（单位：）近似满足函数关系 的图像， 点 在图像上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车____完全停到车棚内（填“能” 或“不能”）. 能 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】，,点的横坐标为 .在 中，当 时， , 可判定货车能完全停到车 棚内，故答案为能. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 关键点拨 根据题意求出当时，的值，若此时的值大于 ，则货车能完全停到车棚 内，反之，不能，据此求解即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 5.【2024山东烟台中考】每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是 “科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售， 根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天 可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180元.设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为 元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （1）求与 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大?最大 利润为多少元? 【解】由题意，得 . 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ，即 . ， 当时，随 的增 大而增大， 当 时，每天的销售利润最大，为 （元）. 即每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅? 【解】当时，，解得， （不合题意，舍去）, （辆）. 答：这天售出了64辆轮椅. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 思路分析 （1）根据总利润等于单件利润乘销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的 性质求最值即可； （2）令，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 考点3 二次函数的综合 6.【2024江苏连云港中考】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，为常数， . （1）若抛物线与轴交于， 两点，求抛物线对应的函数表达式； 【解】分别将，代入 ， 得解得 抛物线对应的函数表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）如图，当时，过点，分别作 轴的平行线，交抛 物线于点，，连接，.求证：平分 ； 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【证明】如图（1），连接 . ，， 当时，，即点 ，当 时，，即点 . ，， ， ，， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 在中， . ， ， . ， , , 平分 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （3）当，时，过直线上一点作 轴的平行线， 交抛物线于点.若的最大值为4，求 的值. 【解】设，则， . 当时，.令 ，解得 ，，， 点在 的 上方（如图（2））.设，故 ， 其图像的对称轴为直线，且 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 ①当时，得 . 由图（3）可知,当时， 取得最大值，即 ,解得或 （舍去）. ②当时，得，由图（4）可知，当时， 取得 最大值，即，解得 （舍去）. 综上所述，的值为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 思路分析 （3）设，则,，，当 时，令 ,解得,，得到点在的上方.设 ， 故，其对称轴为直线，分为和 两 种情况讨论即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 7.【2024湖北武汉中考】抛物线交轴于，两点（在 的右 边），交轴于点 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （1）直接写出点，， 的坐标； 【解】，，， . 在中，令得 ， ， . 令得 ， 解得或 . 在 的右边， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线 ， 交轴于点.若平分线段，求点 的坐标； 图（1） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】设直线的表达式为 . 把，，代入得 解得 直线的表达式为 . ， 设直线的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 设， ， ， ， 直线的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 令得 ， ， . 平分线段 ， 的中点坐标为， . 由，，得直线的表达式为 . 将，代入得 ， 解得或（舍去）， , ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于， 两 点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接.若 ， 求直线 的表达式. 图（2） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 【解】过点作轴，过点，分别作 的垂线，垂足分 别为， ，如图, 则 ， ， ， ， . 点与原点关于, 对称， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 设直线的表达式为，直线的表达式为 . 令 ， 整理得 . 令 ， 整理得 . 设，， ， ，， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 ， ， . ， ， ， ，，解得 ， 直线的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 章测 一、选择题（共24分） 1.【2023山东泰安质检】抛物线上部分点的横坐标，纵坐标 的 对应值如下表： 0 1 0 4 6 6 下列结论不正确的是( ) C A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线 C.抛物线与轴的一个交点坐标为 D.函数的最大值为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42 【解析】由表格可得 解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 A ，, 该抛物线的开口向下，选项A正确 B ， 该抛物线的对称轴是直线 ，选项B正确 C ， 该抛物线与轴的交点是和 ，选项C错 误 D ， 当时，函数有最大值，最大值为 ，选项D正 确 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.【2022贵州黔东南州中考】若二次函数 的图像如图所示， 则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的大致图像为( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在 轴左 侧， 抛物线与轴的交点在轴下方，， 直线 经过第一、二、三象限，反比例函数 的图像位 于第一、三象限.故选C． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 思路分析 先根据抛物线的特征判断,, 的正负，再结合一次函数和反比例函数的图像与性 质进行判断即可 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 46 3.【2023浙江杭州萧山区调研】如图，抛物线与轴交于点, ， 把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点， . 若直线与,共有3个不同的交点，则 的取值范围是( ) D （第3题图） A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 47 【解析】令，即，解得 或3，则 ，,所以,所以将向右平移2个单位长度得，所以 ,则 的函数表达式为 .当 与只有1个公共点时， ，即 ，则，解得 ;当 过点B时，即，解得 .如图,根据图像可知，当 时,直线与， 共有3个不同的交点．故选D． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 4.【2023江苏无锡调研】二次函数 的图像的一部分如图所 示，已知图像经过点，其对称轴为直线 .下列结论： （第4题图） ；；③不等式 的解集为 或；；⑤点， 是 抛物线上的两点，若，则 ；⑥若抛物线经过点 ，则关于的一元二次方程 的两 B A.2 B.3 C.4 D.5 根分别为， 5. 其中正确结论的个数为( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 【解析】①由图像可知,，，，即, ，故①正确 ， 当时，，即 ， ，,故②正确 抛 物线对称轴为直线,与轴的一个交点为， 与 轴的另一个交点为 ， 不等式的解集为，故③不正确 图像过点 ， 当时，，即 ， ,故④不正确.⑤点， 是抛 物线上的两点，若，则,故⑤不正确 图像过点 ，由 对称性可知,图像也过点，,即 有两 个解，分别是 ，5,故⑥正确.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 50 二、填空题（共24分） （第5题图） 5.【2023江苏泰州期末】如图，在中， ，且 ，设直线 截此三角形所得的阴影部分的面积为 ，则与 之间的函数关系式为__________________. 【解析】如图所示,中，，且 ， ，， ， ， ， ，即 .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 51 思路分析 中，由，且，得 ；再由平行线 的性质得出，即 ，进而证明 ，最 后根据三角形的面积公式，解答出与 的函数关系式. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 52 6.【2024浙江温州质检】已知二次函数 的图像经过点 ，，且，则 的取值范围是_______. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 .当 抛物线上的点与直线的距离越小时，对应的值越小.， ， 且，点到直线的距离小于点到直线的距离， 有两种情况： 当，两点在对称轴直线的同侧时，；当， 两点在对称轴直线 的异侧时，，解得.综上，.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 53 7.【2023江苏盐城期末】如图，水池中心点 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛 物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点 在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点 ；喷头 高时，水柱落点距点.那么喷头高___时，水柱落点距点 . 8 （第7题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54 【解析】以为坐标原点，竖直方向为 轴建立坐标系.由题意可知，在调整喷头 高度的过程中，水柱的形状不发生变化.喷头高时，可设 . 将代入表达式得出，整理得 .① 喷 头高时，可设.将代入表达式得 .② 联 立①②可求出，.设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的表 达式为.将代入可得，解得 . 故答案为8. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 8.【2023湖南岳阳期中】将二次函数 配方成顶点式后，发现其顶点的纵 坐标比横坐标大1，如图，在矩形中，点 ，点 ，则抛物线与矩形 有 交点时 的取值范围是_ _____________. 【解析】将配方成顶点式为 ， 此抛物线的顶点坐标是， ，开口向上，开口大小一定，则此抛物 线的顶点在直线 上运动. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 图（1） 如图（1），当抛物线与矩形第一次相交时，此时抛物线的经 过点，此时取最小值.将 代入 得 ，解 得或（舍去），则的最小值是 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 57 图（2） 如图（2），当抛物线与矩形最后一次相交时，此时抛物线的顶点 为矩形与轴的交点，此时取最大值.将 代入 得，解得或 （舍去）的取值范围是 .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 58 三、解答题（共52分） 9.【2024江苏镇江期末】在平面直角坐标系中，抛物线 （ 为常数）. （1）当抛物线经过点时，求 的值； 【解】将点代入得，解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 59 （2）当时，①若随的增大而减小，则 的取值范围为______； ②若 ，则函数的最大值为____，最小值为___. 10 1 【解析】当时， . ①抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上， 当时，随 的 增大而减小.故答案为 . ②若，则当时，函数有最小值，最小值为 ；当 时，函数有最大值，最大值为 .故答案为10，1. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 60 10.【2023江苏南京建邺区调研】农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进 行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格 （元/千克）之间的关系，经过 市场调查获得部分数据如表： 销售价格 （元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量 千克 600 450 300 150 0 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 61 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识 确定与 之间的函数关系式. 【解】假设与之间为一次函数关系，设函数表达式为 ,则 解得 . 检验,当时， ； 当时， ； 当时， ，符合一次函数表达式， 所求函数的表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 62 （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 【解】设日销售利润为元，则 ，即 ， 当时， 有最大值3 000.故 这批农产品的销售价格定为40元时，才能使日销售利润最大. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 63 （3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出元 的相关费用，当 时，农经公司的日获利的最大值为2 430元，求的值.（日获利 日销 售利润-日支出费用） 【解】设日获利为元，则 ，即 ，对称轴为直线 . ①若，则当时，有最大值，即 （不合题意）； 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 64 ②若，则当时，有最大值，将 代入，可得 ，当时， ，解 得， （舍去）. 综上所述， 的值为2. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 65 思路分析 （1）根据题中表格的数据，猜测与 之间为一次函数，用待定系数法求得其表达 式，再对表中数据验证即可； （2）设日销售利润为元，根据题意列出日销售利润（元）与销售价格 （元/千克）之间的函数关系式，将其写成顶点式，再根据二次函数的性质可得答案； （3）设日获利为元，由题意得日获利（元）与销售价格 （元/千克）之间的 函数关系，求得其图像的对称轴，再根据二次函数的性质及日获利的最大值为 2 430元，分情况求解 的值即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 11.【2023宁夏中考】如图，抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点.已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 67 （1）直接写出点 的坐标； 【解】 抛物线的对称轴是直线 ， ，. 抛物线与轴交于， 两 点，点的坐标是，.② 联立①②得 解得 二次函数的表达式为.令得 ， 解得或， 点的坐标为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 68 （2）在对称轴上找一点，使的值最小.求点的坐标和 的最小值； 图（1） 【解】如图（1），连接，线段与直线 的交点就是符合题意 的点.连接, 点，关于直线对称， ， .设直线的表达式为 . 把和代入 得 解得 直线的表达式为 ， ， 在中，, 的最小值为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 69 （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接 交于点.依题意补全图形，当的值最大时，求点 的坐标. 图（2） 【解】根据题意补全图形，如图（2）所示.由（1）得抛物线的表达式 为，由（2）得 ，故设 ，则, .如 图（2），过点作，垂足为，则 是等腰直角三角 形，，， 当时，有最大值，此时点的坐标为, . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 70 思路分析 （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当,, 三点 共线时，的值最小，为的长，求出直线的表达式，直线 与对称轴 的交点即为点，利用勾股定理求出的长，即为 的最小值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 71 $$