专题 5.3 二次函数培优压轴专题（7大考点13题型）- 2025-2026学年苏科版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.3 二次函数培优压轴专题（7大考点13题型） 目录 【考点一】二次函数与线段最值问题 1 【题型1】二次函数与线段最值问题 1 【考点二】二次函数与面积最值问题 13 【题型2】二次函数与面积最值问题 13 【考点三】二次函数与动点存在性问题 25 【题型3】二次函数与等腰三角形存在性问题 26 【题型4】二次函数与直角三角形存在性问题 34 【题型5】二次函数与平行四边形存在性问题 42 【考点四】二次函数与几何变换问题 52 【题型6】二次函数与平移问题 52 【题型7】二次函数与折叠问题 59 【题型8】二次函数与旋转问题 64 【考点五】二次函数与一次函数、反比例函数综合问题 70 【题型9】二次函数与一次函数综合问题 70 【题型10】二次函数与反比例函数综合问题 75 【考点六】二次函数与几何综合问题 80 【题型11】二次函数与几何综合问题 80 【考点七】二次函数与实际问题 90 【题型12】二次函数与实际问题——最值问题 90 【题型13】二次函数与实际问题——实际场景问题 94 【考点一】二次函数与线段最值问题 核心考点：利用二次函数性质、轴对称（将军饮马模型）、两点间距离公式求线段长度的最大值或最小值；动点在线段、抛物线、直线上的线段最值探究。 【题型1】二次函数与线段最值问题 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 3．（24-25九年级上·广西崇左·月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到；求出直线解析式为，得到，，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 7．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与特殊四边形，二次函数的性质，先求出点，点，则抛物线的对称轴为，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，由且，则四边形为平行四边形，所以，由抛物线的对称性知，，故有四边形周长，则当三点共线时四边形周长最小为，然后通过两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴点， 令，则或， ∴点，点， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由抛物线的对称性知，， ∴， ∴四边形周长， ∵、为定值，， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为， 即四边形周长的最小值， ∵，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接并取的中点，连接，，于是可得，，然后求得抛物线与轴的交点，的坐标，进而可求得的长，接下来求得抛物线顶点的坐标，即可求得的长，于是利用勾股定理即可求得的长，进而可求得的长，最后利用三角形三边之间的关系即可得解． 【详解】解：如图，连接并取的中点，连接，， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ， 轴， ， 又为的中点， ， 令， 解得：或， ，， ，， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， ， 当时，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 即：长的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半），求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，轴对称的性质，求函数值，勾股定理，三角形三边之间的关系等知识点，添加适当的辅助线，巧妙利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 【解题思路】解题核心是转化线段长度，利用函数性质或几何模型求解。若为定点到动点的线段最值，可设动点坐标，用两点间距离公式表示线段长，转化为二次函数求顶点最值；若为折线型线段和（如将军饮马模型），则作定点关于动点所在直线的对称点，利用 “两点之间线段最短” 将折线转化为直线段，结合一次函数与抛物线交点求坐标，进而得最值。 【考点二】二次函数与面积最值问题 核心考点：割补法求不规则图形面积，结合二次函数顶点式求面积最大值；动点引起的三角形、四边形面积的动态变化问题；面积等量关系的存在性探究。 【题型2】二次函数与面积最值问题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数最值，坐标与图形，求出面积与点P的横x的函数表达式是解题的关键． 过点P作于D，设，则，，再求出，，从而求得，，根据，然后利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：过点P作于D，如图， 设， ∵点为抛物线在第四象限部分上的一点， ∴，， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ， 令，则， 解得：，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为 ； ②当时，的面积的最大值为 ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质：包括抛物线的对称轴()、与轴交点(时的函数值)，以及求最值等． ①是以线段为底，点到的水平距离为高，利用“底高”计算面积； ②通过分析面积的函数表达式(含绝对值)，分区间讨论并求最大值． 【详解】①解：当时，二次函数解析式为， ∵点是抛物线与轴的交点，∴， ∵点坐标为， ∴=， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴点的坐标为， ∴的面积． 故答案为2； ②解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，点(轴交点)的坐标为， ∵点，直线交对称轴于， ∴点的坐标为， ∴的面积． 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向下，对称轴为直线(在范围内)， ∴此时的最大值为； 当时，， ∴， ∵该二次函数图象开口向上，在范围内随增大而增大， ∴当时，． ∵， ∴当时，面积的最大值为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，解题的关键是准确求出二次函数的解析式和直线的解析式． 利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据抛物线的性质可知有最大值，最大值为． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析为， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析为； （2）如下图所示，过点作轴交直线于点， 当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标为， ， 点到的距离是，点到的距离是， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 7．（25-26九年级上·浙江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①最大值为，② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标系中三角形面积的求解，掌握二次函数对称轴的计算和坐标系中三角形面积的表示是解题关键． （1）代入点的坐标，得到与的关系，再通过对称轴为直线求解即可； （2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可； ②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． （2）解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 【解题思路】核心方法是割补法转化面积表达式。对于三角形面积，可采用 “铅锤法”（面积 = 1/2× 水平宽 × 铅锤高），设动点坐标表示出铅锤高和水平宽，得到面积关于动点横坐标的二次函数，再用顶点式求最大值；对于四边形面积，可分割为两个三角形或一个三角形加一个梯形，分别表示面积后求和，转化为二次函数最值问题；遇到面积等量关系时，列方程求解动点坐标即可。 【考点三】二次函数与动点存在性问题 核心考点：动点在抛物线、直线上运动时，满足特定几何条件的点的存在性，包括： （1）等腰三角形存在性（两圆一线法）；（2）直角三角形存在性（两线一圆法）；（3）平行四边形存在性（中点坐标公式、平移性质）. 【题型3】二次函数与等腰三角形存在性问题 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)存在， (3)点E坐标为或或或 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； （2）存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； （3）设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 2．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键．分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。（1）可将点代入抛物线中，可得到m的值；（2）假设存在点P，接下来根据是等腰三角形分情况讨论即可求解. 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴． （2）解：存在． ∵， ∴． ∴． ∵是等腰三角形， ∴当时， ∴． 当时， ∵点A在第一象限平分线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点P的坐标为或或或． 4．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 【题型4】二次函数与直角三角形存在性问题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）令，则，解方程即可求出点A的坐标； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 3．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点G的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三角形的判定． （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可； （2）先表示出点再设的高为，然后根据，求出，再计算可得答案； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，可得点，再表示出、、，然后分两种情况，当为斜边时，则；当为斜边时，则，求出答案即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标并列出方程求解． （1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式； （2）设，先求出的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出的长，从而求得用m表示的的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值； （3）设点Q的坐标为，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出、、，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于E． 设． 设直线的解析式为 将点A和点C的坐标代入，得 解得： ∴直线的解析式为， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴点P坐标为； （3）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴可设点Q的坐标为， ∴， ， ， 要使是以为斜边的直角三角形，只需， ∴， 整理，得， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 【题型5】二次函数与平行四边形存在性问题 1．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，平行四边形中，，，之间的距离为，直线由B向C以的速度运动，且始终保持．同一时刻，点Q以的速度由D向C运动，时间为，当Q运动到C时，所有的运动停止． (1)t为何值时，？ (2)四边形的面积为s，求s与t的函数关系式； (3)是否存在时刻t，使得四边形的面积是平行四边形面积的？若存在，求出t值；若不存在，说明理由； (4)连接，是否存在时刻t，使得C在的中垂线上？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形的判定，线段的中垂线，熟练掌握性质定理，表示出线段的数量关系是解题的关键． （1）表示出，列出方程即可； （2）连接，作于H，作，表示出的面积即可求出答案； （3）结合求出的解析式，判断出即可得到结论； （4）作作，根据，解方程即可． 【详解】（1）解：如图1，作于G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：如图2， 连接，作于H，作， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得，， 化简得，， ， 方程没有实数根， 不存在t的值，使得四边形的面积是平行四边形面积的； （4）解：如图4，作于H， ， ， 当时，点C在的中垂线上， ， ， ， 不存在t使点C在的中垂线上． 2．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，取最大值，点P的坐标为 (3)存在，P坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：①若为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； ②若为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 3．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若该抛物线的顶点为点D，求的面积． (3)在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)4 (2)3 (3)存在，的坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，得，解出一元二次方程即可得答案； （2）连接，先求出顶点，再根据的面积求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况：若以为对角线，若以为对角线，若以为对角线，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：在二次函数中，令，得 解得， ， ； （2）解：如图，连接， 由得顶点． 令，得，即． 的面积 ； （3）解：存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形． 设． 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况： 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，三角形的面积，平行四边形的性质及应用等知识，运用分类思想是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法先确定函数解析式，再代入相应坐标即可求解； （2）先求出P点到x轴的距离，再将坐标代入解析式即可求解； （3）先设出M点与N点坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，设出对角线的交点，利用中点坐标关系即可求解． 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与平行四边形的判定或性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，正确确定点的坐标关系，本题涉及了分类讨论的思想方法． 【解题思路】关键是分类讨论 + 几何判定定理，结合坐标运算求解。等腰三角形存在性用 “两圆一线法”：分别以已知两点为圆心、两点间距离为半径作圆，再作两点连线的垂直平分线，圆和直线与抛物线（或直线）的交点即为所求；直角三角形存在性用 “两线一圆法”：过已知两点分别作线段的垂线，再以线段为直径作圆，垂线和圆与动点轨迹的交点即为目标点；平行四边形存在性利用 “中点坐标公式”，分三种情况讨论顶点顺序，列方程求解；相似三角形存在性先确定一组对应角，再根据对应边成比例列方程，注意分类讨论对应顶点。 【考点四】二次函数与几何变换问题 核心考点：二次函数图像的平移、轴对称、旋转；结合几何变换后的新函数解析式求解；变换后图形与原图形的位置关系、线段 / 面积关系探究。 【题型6】二次函数与平移问题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）先求出关于轴对称的抛物线，再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可； （3）设秒后，点，，分析当恰好在抛物线上时和当恰好在抛物线上时的取值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； （3）秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． 3．（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质． （1）设平移后的函数解析式为，将点和代入，即可求函数的解析式； （2）根据所给的条件求出，，再求出M、N与对称轴的距离的关系为，，即可得到； （3）设，则，，当时，当时，，求得；当时，，求得；当时，当时，，求得． 【详解】（1）解：设平移后的函数解析式为， 将点和代入， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，到对称轴距离越近值越大， ∵M、N与对称轴的距离的关系为，， ∴， ∴； （3）解：设，则，， 当时， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得或（舍）， ∴； 当时， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得，，不合题意； 综上所述：P点坐标为或． 【题型7】二次函数与折叠问题 1．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、矩形的性质、轴对称的性质等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据对称性得到，则矩形的周长为，即可求出答案； （3）设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且,即，且，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）设点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M和点F关于直线对称， ∴， ∴矩形的周长为， 即的最大值为，此时，即； （3）存在， 设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且, 即，且， 解得，， ∴或 2．（2024·河北邯郸·三模）在矩形中，的长度为a，的长度为，将矩形进行如图所示顺序的折叠，第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为，． (1)①若点落在点下方，则 ；（用含a，b的代数式表示） ②若点，重合，求的值； (2)如果b的值保持不变，改变a的值，且点始终落在点下方．若四边形的面积的最大值为3，求b的值 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质推出，，再用可得； ②令，变形可得； （2）列出，根据二次函数的最值得到当时，最大，结合最大值为3即可求出b值． 【详解】（1）①由折叠可得：， ， 若点落在点下方， 则； ②若点，，重合， 则， ∴， ∴； （2）如图所示， ∵点始终落在点下方， ∴， ∵b的值保持不变，改变a的值， ∴当时，最大， ∴，整理得：， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，二次函数的最值，解题的关键是结合折叠的性质表示线段的长度，并且能灵活运用二次函数的最值计算． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，． (1)如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求点的坐标； (2)如图（2），在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作交于点，交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设的坐标为．①探求：与之间的函数关系式．②试求出纵坐标的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)见解析 (3)①；②当时，最大为 【分析】（1）设，则，， 由勾股定理得，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可得点的坐标； （2）由题意知，四边形是矩形，则，由折叠可知：，由，可得，则，进而可证． （1）①如图，连接，证明，则，由勾股定理可得，整理作答即可；②由（1）可得，当时，最小，即，当恰好平分时，，此时最大，四边形为正方形，，则，根据二次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得， 点的坐标为； （2）证明：由题意知，四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：， 由题意知，， ∴， ∴． ∴，即． （3）①解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，整理得． ②解：由（1）可得，当时，最小，即， 当恰好平分时，，此时最大，四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大为． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【题型8】二次函数与旋转问题 1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 【答案】(1)抛物线W经过的定点坐标为和 (2)①a；② 【分析】（1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． （2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或 ∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 2．（2023·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)记的图象为，将图象绕坐标原点旋转得到图象，与组合为图形G．点为图形G上任意两点．当时，都有，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用顶点公式计算； （2）①分类讨论，两种情况，结合二次函数的增减性代入求a的取值范围． 【详解】（1）解：在抛物线中， ，， ∴抛物线的顶点为：； （2）解：①时，， ∵对任意的a，都有， ∴， 当时，如图（1）可知，函数值y随x的增大而增大， ∵点N在点M的右侧，不符合题意，舍去； 当时，如图（2），此时点N在y轴左侧， ∵， ∴点N不能在图象与x轴交点的左侧， 令， 解得：， ∴与x轴的交点为， ∴与x轴的交点为， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，图象变换和函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力，在解分式不等式中，去分母的过程中要注意分母中未知数的正负，才能正确解答． 3．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． (1)求抛物线的对称轴； (2)当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； (3)已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）设点坐标为，得到，根据旋转的性质得到点坐标为，，根据圆周角定理和切线的性质定理得到轴，得到，整理得到方程有两个相等的实数根，利用求出和的值，即可解答； （3）利用二次函数的性质得到，得出点旋转后的对应点，根据题意可知点与点重合，则有，代入得到抛物线的解析式为，设点坐标为，则有，点坐标为，结合点在点左侧求出的范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由题意得，点绕点顺时针旋转得到点， 点坐标为，， 以为直径的， 点在上，点是的中点， 点坐标为， 有且只有一个与轴相切， 轴， ，即， 有两个相等的实数根， 整理得：， ， 解得：，， 当，此时， 当，此时， 点坐标为或． （3）解：令，则， 点坐标为， 点绕点顺时针旋转得到点，则点坐标为， 在图象上， 点与点重合， ， 代入到，得， 解得：， 抛物线的解析式为， 设点坐标为， 点在抛物线上， ， 由（2）得，点坐标为， 点在点左侧， ，即， 解得：， ， 当时，有最大值；当时，有最小值； ， 点的横坐标取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、旋转的性质、切线的性质定理、抛物线与坐标轴的交点、解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 【解题思路】核心是掌握变换对函数解析式的影响规律。平移遵循 “左加右减，上加下减”，针对顶点坐标或自变量、函数值进行调整；轴对称（如关于 x 轴、y 轴、某条直线对称）先求原抛物线顶点的对称点，再结合开口方向确定新解析式；旋转（如绕原点旋转 90°、180°）先转换顶点坐标，再根据旋转后开口方向和形状确定解析式；后续结合变换后的图形与原图形的位置关系，列方程或函数式求解线段、面积等问题。 【考点五】二次函数与一次函数、反比例函数综合问题 核心考点：二次函数与一次函数的交点坐标求解；反比例函数与二次函数的图像结合；利用函数性质比较函数值大小；结合不等式求解取值范围。 【题型9】二次函数与一次函数综合问题 1．（2024·贵州·一模）平面直角坐标系内，一次函数交于轴于点，交轴于点．点，关于点对称，抛物线过点且交一次函数与点，，点，的横坐标分别为，，抛物线的顶点为． (1)求点坐标和抛物线的函数表达式； (2)若，，求的取值范围； (3)过点作轴的平行线，将抛物线上的部分向上翻折，与原函数共同构成新的函数．若一次函数与新的函数图像只有个交点，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题是一次函数与二次函数的综合，解题的关键是掌握一次函数与二次函数的性质，数形结合． （1）由点，关于点对称，抛物线过点，且顶点为，即可求出点的坐标，进而求出点的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式； （2）由可求出一次函数的解析式，联立抛物线解析式和一次函数的解析式，求出点、的坐标，再结合函数图像即可求解； （3）根据将抛物线上的部分向上翻折，点与点重合时，一次函数与新的函数图像只有个交点，即可求解． 【详解】（1）解：点，关于点对称，抛物线过点，且顶点为， 点在对称轴直线上， ， ， 将，代入， 得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）， ， 联立， 解得：或， 即，， 点，的横坐标分别为，，， ， 结合图像可知，的取值范围是：； （3）如图，将抛物线上的部分向上翻折，点与点重合时，一次函数与新的函数图像只有个交点， ，， ． 2．（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)理由见解析． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 图象顶点的坐标为． （2）解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ． 点在二次函数的图象上， ， ， ，即， 令， 当时，， 解得：，， 抛物线与轴交点为和， 抛物线开口向上， 的解为：或， 的取值范围是或． 【题型10】二次函数与反比例函数综合问题 1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数的图像于点Q，若的值随P点的横坐标增大而减小，直接写出P点横坐标b的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，二次函数的性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）设，，，列出的关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ， 解得：， ， 解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：设， 轴， ，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随b的增大而减小，即的值随P点的横坐标增大而减小． 2．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集． (3)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)，面积最大值为4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵在一次函数的图象上 ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 3．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，则，根据三角形的公式可求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值为， 此时点P的坐标为 【解题思路】解题关键是联立解析式求交点，结合函数图像性质分析。联立二次函数与一次函数解析式，解方程组可得交点坐标；联立二次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数；比较函数值大小时，结合图像看 “上下位置关系”，确定自变量的取值范围；涉及不等式时，将函数值的大小关系转化为不等式，求解解集即可。 【考点六】二次函数与几何综合问题 核心考点：二次函数背景下的三角形、四边形、圆的性质应用；切线的判定与性质；圆周角定理；图形的折叠、拼接与二次函数的结合。 【题型11】二次函数与几何综合问题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点C的坐标为． ①求二次函数的表达式； ②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①把代入解析式，确定a值即可求二次函数的表达式； ②根据抛物线的解析式确定点的坐标为，，，设直线的解析式为．确定直线的解析式为．设点的坐标为，则点．确定，，，根据三角形的面积公式解答即可． （2）由题意得，求得，可得，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，可证得，得出，建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：①把代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为； ②解：抛物线的解析式为， 当时，， 故点的坐标为． 当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ∴，， 设直线的解析式为． 将点和点代入，得 解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点． ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． （2）解：由， ∴抛物线顶点为， ∴， 当时，， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则， 如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 解得：或， 当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，三角形面积的计算，四边形面积的计算，分割思想的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 2．（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 3．（2023·广东珠海·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或，或，或 【分析】本题考查二次函数解析式的求解、对称点的几何性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法、对称点的中点与垂直关系、正方形的边长与角度特征是解题关键． （1）通过待定系数法求解抛物线解析式，将已知点代入抛物线的一般式，代入后得到关于系数的方程组，解方程组即可得到系数的值，进而确定解析式； （2）根据轴确定点E纵坐标，从而设点E坐标，结合题干运用轴对称性质，在中利用勾股定理即可求解； （3）根据 “以为边的正方形” 的条件，明确需与邻边垂直且长度相等，将正方形的问题转换为更简洁的等腰直角三角形问题，再通过直角顶点的分类讨论，利用全等三角形性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将点与点代入抛物线中， 得， 解得， ； （2）解：如图，连接，， 由题意得点D与点F关于直线对称， ，， ，轴， 当时， ， 解得，， ， ， ，， 在中，， 解得， ，， 设点，，， 在中，， ， 解得， ； （3）解：由题意得只能为正方形边长， 即只需考虑等腰的存在情况， 当点O为直角顶点时，为等腰直角三角形， 如图，过点P作，过点E作， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， 设点， 有，， ， 将点P代入抛物线得， 解得， ； 当点P为直角顶点时， 如下图，过点P作轴，过点E作， 同理可证， ，， 设点， 有，， ， 代入抛物线解析式得 解得，或， 时的情况如下图所示， ，或， 当点E坐标为时也满足条件，如下图所示， 综上所述，点E坐标为，或，或，或． 【解题思路】核心是结合几何图形性质，建立函数与几何的联系。遇到三角形时，利用等腰、直角、相似的判定定理，结合坐标计算边长和角度；遇到四边形时，运用平行四边形、矩形、菱形的性质，转化为线段相等或平行的条件；遇到圆时，利用切线性质（切线垂直于过切点的半径）、圆周角定理等，结合勾股定理列方程；图形折叠问题抓住 “折叠前后对应边相等、对应角相等”，确定折叠后点的坐标，再代入函数解析式求解。 【考点七】二次函数与实际问题 核心考点：利用二次函数解决最大利润、最高产量、最优方案等实际问题；结合几何图形（如矩形、抛物线形建筑）的实际场景建模求解。 【题型12】二次函数与实际问题——最值问题 1．（2025·辽宁鞍山·一模）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． (1)设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） (2)求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 【答案】(1) (2)原料的质量是24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，正确列出利润的函数关系式，并利用二次函数的性质求最值是解决本题的关键． ()根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； ()设销售总利润为，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】（1）解：根据题意，得． ∴关于的函数解析式为． （2）设销售利润是万元． ∴ ． ∵， ∴当时， ． 答：原料的质量是吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 2．（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)元或元 (2)当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． (1)根据总利润=单利润数量列出一元二次方程求解； (2)将利润函数配方成顶点式求最大值； (3)降价后的利润函数为，结合销售量条件和确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大的要求，得到关于a的不等式，解不等式得到 a 的范围． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 整理，得， 解得，． 答：销售单价为元或元． （2）解：由题意可得． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元． （3）解：， ∴对称轴为直线． ∵每天的销售量不低于块， ， ， 随的增大而增大，且开口向下， ， ， ， ． 3．（2025·甘肃天水·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． (1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ (2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 每个定价为70元，应进货200个 (3) 每个定价65元，获得的最大利润是6250元 【分析】 本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）根据利润售价进价直接列式； （2）根据总利润每个利润销售量列方程，解方程后选择进货量较小的解； （3）将总利润表示为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【详解】（1）解：每个进价为40元，销售定价为50元，设每个定价增加x元， ∴每个获得的利润为（元）； （2）解：设每个定价增加元，则销售量为个， 总利润为， 化简得，即， 两边除以得， 解得或， 当时，进货量（个）， 当时，进货量（个）， ∵要使进货量较少， ∴取， 定价为元，进货200个； （3）解：总利润， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 定价为元， 最大利润元． 【题型13】二次函数与实际问题——实际场景问题 1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 2．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        【答案】3.2米 【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，      由题意知：，， ∵抛物线的最高点B， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴ (米)， 答：步行通道的宽的长约为3.2米． 【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键． 3．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可； （2）利用矩形的性质求解即可； （3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴，即， ， 故答案为：；； （2）解：如图①，当点落在线段上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形， ； 如图③，当时，重叠部分是四边形， ． 【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键． 【解题思路】关键是建立二次函数模型。第一步梳理实际问题中的数量关系，设自变量（如销售单价、生产数量），表示出因变量（如利润、面积）；第二步根据题意列出函数解析式，注意标注自变量的取值范围；第三步利用二次函数的顶点式或配方法，结合自变量取值范围求最值；若顶点横坐标不在取值范围内，则根据函数单调性，取端点值求最值，最后验证结果是否符合实际意义。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 二次函数培优压轴专题（7大考点13题型） 目录 【考点一】二次函数与线段最值问题 1 【题型1】二次函数与线段最值问题 1 【考点二】二次函数与面积最值问题 4 【题型2】二次函数与面积最值问题 4 【考点三】二次函数与动点存在性问题 6 【题型3】二次函数与等腰三角形存在性问题 7 【题型4】二次函数与直角三角形存在性问题 8 【题型5】二次函数与平行四边形存在性问题 10 【考点四】二次函数与几何变换问题 12 【题型6】二次函数与平移问题 12 【题型7】二次函数与折叠问题 13 【题型8】二次函数与旋转问题 14 【考点五】二次函数与一次函数、反比例函数综合问题 15 【题型9】二次函数与一次函数综合问题 15 【题型10】二次函数与反比例函数综合问题 16 【考点六】二次函数与几何综合问题 18 【题型11】二次函数与几何综合问题 18 【考点七】二次函数与实际问题 20 【题型12】二次函数与实际问题——最值问题 20 【题型13】二次函数与实际问题——实际场景问题 20 【考点一】二次函数与线段最值问题 核心考点：利用二次函数性质、轴对称（将军饮马模型）、两点间距离公式求线段长度的最大值或最小值；动点在线段、抛物线、直线上的线段最值探究。 【题型1】二次函数与线段最值问题 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 2．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 3．（24-25九年级上·广西崇左·月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是 ． 6．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为 ． 【解题思路】解题核心是转化线段长度，利用函数性质或几何模型求解。若为定点到动点的线段最值，可设动点坐标，用两点间距离公式表示线段长，转化为二次函数求顶点最值；若为折线型线段和（如将军饮马模型），则作定点关于动点所在直线的对称点，利用 “两点之间线段最短” 将折线转化为直线段，结合一次函数与抛物线交点求坐标，进而得最值。 【考点二】二次函数与面积最值问题 核心考点：割补法求不规则图形面积，结合二次函数顶点式求面积最大值；动点引起的三角形、四边形面积的动态变化问题；面积等量关系的存在性探究。 【题型2】二次函数与面积最值问题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 3．（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线过点A、、，点为抛物线在第四象限部分上的一点，则面积的最大值为 4．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，过轴上的点作一条平行于轴的直线，交抛物线对称轴于点． ①如图，当时，的面积为 ； ②当时，的面积的最大值为 ． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为 ． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 7．（25-26九年级上·浙江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【解题思路】核心方法是割补法转化面积表达式。对于三角形面积，可采用 “铅锤法”（面积 = 1/2× 水平宽 × 铅锤高），设动点坐标表示出铅锤高和水平宽，得到面积关于动点横坐标的二次函数，再用顶点式求最大值；对于四边形面积，可分割为两个三角形或一个三角形加一个梯形，分别表示面积后求和，转化为二次函数最值问题；遇到面积等量关系时，列方程求解动点坐标即可。 【考点三】二次函数与动点存在性问题 核心考点：动点在抛物线、直线上运动时，满足特定几何条件的点的存在性，包括： （1）等腰三角形存在性（两圆一线法）；（2）直角三角形存在性（两线一圆法）；（3）平行四边形存在性（中点坐标公式、平移性质）. 【题型3】二次函数与等腰三角形存在性问题 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 2．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】二次函数与直角三角形存在性问题 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【题型5】二次函数与平行四边形存在性问题 1．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，平行四边形中，，，之间的距离为，直线由B向C以的速度运动，且始终保持．同一时刻，点Q以的速度由D向C运动，时间为，当Q运动到C时，所有的运动停止． (1)t为何值时，？ (2)四边形的面积为s，求s与t的函数关系式； (3)是否存在时刻t，使得四边形的面积是平行四边形面积的？若存在，求出t值；若不存在，说明理由； (4)连接，是否存在时刻t，使得C在的中垂线上？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 2．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若该抛物线的顶点为点D，求的面积． (3)在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 4．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】关键是分类讨论 + 几何判定定理，结合坐标运算求解。等腰三角形存在性用 “两圆一线法”：分别以已知两点为圆心、两点间距离为半径作圆，再作两点连线的垂直平分线，圆和直线与抛物线（或直线）的交点即为所求；直角三角形存在性用 “两线一圆法”：过已知两点分别作线段的垂线，再以线段为直径作圆，垂线和圆与动点轨迹的交点即为目标点；平行四边形存在性利用 “中点坐标公式”，分三种情况讨论顶点顺序，列方程求解；相似三角形存在性先确定一组对应角，再根据对应边成比例列方程，注意分类讨论对应顶点。 【考点四】二次函数与几何变换问题 核心考点：二次函数图像的平移、轴对称、旋转；结合几何变换后的新函数解析式求解；变换后图形与原图形的位置关系、线段 / 面积关系探究。 【题型6】二次函数与平移问题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 3．（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【题型7】二次函数与折叠问题 1．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·河北邯郸·三模）在矩形中，的长度为a，的长度为，将矩形进行如图所示顺序的折叠，第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为，． (1)①若点落在点下方，则 ；（用含a，b的代数式表示） ②若点，重合，求的值； (2)如果b的值保持不变，改变a的值，且点始终落在点下方．若四边形的面积的最大值为3，求b的值 3．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，． (1)如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求点的坐标； (2)如图（2），在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作交于点，交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设的坐标为．①探求：与之间的函数关系式．②试求出纵坐标的最大值． 【题型8】二次函数与旋转问题 1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 2．（2023·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)记的图象为，将图象绕坐标原点旋转得到图象，与组合为图形G．点为图形G上任意两点．当时，都有，求a的取值范围； 3．（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点为抛物线上不与顶点重合的动点，把抛物线绕点顺时针旋转得到新的图象，点在图象上的对应点为． (1)求抛物线的对称轴； (2)当以为直径的有且只有一个点与轴相切时，求点坐标； (3)已知，原抛物线图象与旋转后图象的其中一个公共点为，当点在点左侧，求点的横坐标取值范围． 【解题思路】核心是掌握变换对函数解析式的影响规律。平移遵循 “左加右减，上加下减”，针对顶点坐标或自变量、函数值进行调整；轴对称（如关于 x 轴、y 轴、某条直线对称）先求原抛物线顶点的对称点，再结合开口方向确定新解析式；旋转（如绕原点旋转 90°、180°）先转换顶点坐标，再根据旋转后开口方向和形状确定解析式；后续结合变换后的图形与原图形的位置关系，列方程或函数式求解线段、面积等问题。 【考点五】二次函数与一次函数、反比例函数综合问题 核心考点：二次函数与一次函数的交点坐标求解；反比例函数与二次函数的图像结合；利用函数性质比较函数值大小；结合不等式求解取值范围。 【题型9】二次函数与一次函数综合问题 1．（2024·贵州·一模）平面直角坐标系内，一次函数交于轴于点，交轴于点．点，关于点对称，抛物线过点且交一次函数与点，，点，的横坐标分别为，，抛物线的顶点为． (1)求点坐标和抛物线的函数表达式； (2)若，，求的取值范围； (3)过点作轴的平行线，将抛物线上的部分向上翻折，与原函数共同构成新的函数．若一次函数与新的函数图像只有个交点，直接写出的值． 2．（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【题型10】二次函数与反比例函数综合问题 1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数的图像于点Q，若的值随P点的横坐标增大而减小，直接写出P点横坐标b的取值范围． 2．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集． (3)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 3．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 【解题思路】解题关键是联立解析式求交点，结合函数图像性质分析。联立二次函数与一次函数解析式，解方程组可得交点坐标；联立二次函数与反比例函数解析式，转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数；比较函数值大小时，结合图像看 “上下位置关系”，确定自变量的取值范围；涉及不等式时，将函数值的大小关系转化为不等式，求解解集即可。 【考点六】二次函数与几何综合问题 核心考点：二次函数背景下的三角形、四边形、圆的性质应用；切线的判定与性质；圆周角定理；图形的折叠、拼接与二次函数的结合。 【题型11】二次函数与几何综合问题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点C的坐标为． ①求二次函数的表达式； ②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值． 2．（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 3．（2023·广东珠海·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 【解题思路】核心是结合几何图形性质，建立函数与几何的联系。遇到三角形时，利用等腰、直角、相似的判定定理，结合坐标计算边长和角度；遇到四边形时，运用平行四边形、矩形、菱形的性质，转化为线段相等或平行的条件；遇到圆时，利用切线性质（切线垂直于过切点的半径）、圆周角定理等，结合勾股定理列方程；图形折叠问题抓住 “折叠前后对应边相等、对应角相等”，确定折叠后点的坐标，再代入函数解析式求解。 【考点七】二次函数与实际问题 核心考点：利用二次函数解决最大利润、最高产量、最优方案等实际问题；结合几何图形（如矩形、抛物线形建筑）的实际场景建模求解。 【题型12】二次函数与实际问题——最值问题 1．（2025·辽宁鞍山·一模）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． (1)设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） (2)求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 2．（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 3．（2025·甘肃天水·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． (1)写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ (2)商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (3)商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【题型13】二次函数与实际问题——实际场景问题 1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 2．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        3．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【解题思路】关键是建立二次函数模型。第一步梳理实际问题中的数量关系，设自变量（如销售单价、生产数量），表示出因变量（如利润、面积）；第二步根据题意列出函数解析式，注意标注自变量的取值范围；第三步利用二次函数的顶点式或配方法，结合自变量取值范围求最值；若顶点横坐标不在取值范围内，则根据函数单调性，取端点值求最值，最后验证结果是否符合实际意义。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $