5.2 二次函数的图像和性质～5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.2~5.3 综合训练 5 刷综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 综合 1.【2024江苏南京浦口区期末，中】将二次函数的图像绕点 旋转 得到的图像的表达式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线的顶点坐标为，开口向上， 抛物线 绕点旋转 后得到的抛物线的顶点坐标为 ，开口向 下， 所得到的图像的表达式为 ，故选C. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2.【2024江苏扬州邗江区期末，中】如图，一条抛物线与 轴相交 于，两点，其顶点在折线上移动，若点，， 的 坐标分别为，，，点 的横坐标的最大值为2，则 点 的横坐标的最小值为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】当顶点在 处时，A点的横坐标最大，设此时抛物线的表达式为 ，将代入，解得 ，则抛物线的表达式为 .当顶点在 处时，B点的横坐标最小，此时抛物线的表 达式为.当时，，解得 ， ，， 点B的横坐标的最小值为1.故选A. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 3. 【2023江苏如皋期末，中】定义：若函数图像上至少存在不同的两点关 于原点对称，则称该函数为“黄金函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一 对“黄金点”.若点，是关于 的“黄金函数” 图像上的一对“黄金点”，且该函数图像的对称轴始终 位于直线的右侧，下列结论：；； ； .其中正确的是( ) C A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 【解析】 点，是关于的“黄金函数” 图像上的一对“黄金点”，，B关于原点对称，，， ， ，代入得 正确. 该函数图像的对称轴始终位于直线的右侧， ， ，，正确.，， .当 时，， ， ， 错误.综上所述，结论正确的是①②④.故选C. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 4.【江苏南通中考，中】如图，在中，对角线，相交于点 ， ，， ．若过点且与边，分别相交于点 ， ，设，，则关于 的函数图像大致为( ) C A. B. C. D. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 【解析】如图，过点作于 ， ， ， ， . 四边形为平行四边形，，交于点 ， ， ， ， ， ， 函数图像是一条抛物线，由题意得，当 时， ，故符合表达式的函数图像为选项C.故选C. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 5.【2023江苏江阴调研，较难】如图，抛物线 与直线经过点 ，且相交于 另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点.点 在 线段上，过点的直线交抛物线于点，且 轴，连接 ，，，.当点在线段上移动时（不与， 重 合），下列结论中正确的是( ) C A. B. C. D.四边形 的面积最大为13 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 【解析】将代入抛物线 与直线 ，解得，.设点的横坐标为 ，则 ，， .联立 解得点B的坐标为 .对于 ,令，可得,， 易知 ， 则，是等腰三角形选项，当 与抛物线的对称轴重合 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 时，点， 的坐标分 别为，， 由勾股定理得， ， ，故本选项错误选项， 轴（B，C两点纵坐标相 同），，而 是等腰三角形，不是等边三角形， ，不成立，故本选项错误 选项，如图，作 ，是等腰三角形，是 的平分线.易证 ，而 ，故本选项正确 选项， 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ， ， ，其最大值为，故 的最 大值为 ，故本选项错误.故选C. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 开放性试题【2024江苏无锡锡山区期末，中】请写出一个二次函数的表 达式：_____________________________，使它满足以下两个条件：①图像经过原 点；②函数的最大值为2. （答案不唯一） 【解析】由题意，设函数表达式为 图像过原点，.又 函数有最大值2，，， 若取，则的值为 .综上，函数的 表达式可以是，故答案为 （答案不唯一）. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 7.【2024江苏南京期末，中】已知二次函数的图像经过点 ，则 函数 的图像经过的定点坐标为_________________. ， 【解析】， 当时，， 二次函数 的图像经过定点.将二次函数 的图像向右平移1个单 位，再向下平移2个单位得到抛物线 二次函数 的图像经过点，， 将点， 分别向右平移1个 单位，再向下平移2个单位，得点，.故答案为， . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 8.【2023江苏连云港赣榆区二模，中】点在以 轴为对称轴的二次函数 的图像上，则 的最大值为__. 【解析】 抛物线的对称轴为轴，，即 ， .将代入得 ， ，时，取最大值，为 .故 答案为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 关键点拨 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 9.【2024江苏南通通州区调研，较难】如图，二次函数 的图像 经过点，，，点 是函数图像上任意一点，有下列结 论：①二次函数的最小值为；②若，则 ；③若 ，则；④一元二次方程的两个根为和 .其中 正确的是______.（填序号） ①④ 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 【解析】 二次函数的图像经过点，， 设二次函数表达式为 ， 抛物线开口向 上， 二次函数的最小值为 ，故①结论正确. ， 当时，；当 时， ；当时，有最小值， 若，则 ，故 ②结论错误.若，则点到直线的距离比点到直线 的距离小， ，，解得或 ，故③结论错误. ，， 一元二次方程 可化为 ，即，解得或 ，故④结论正确.故 答案为①④. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 思路分析 利用交点式得到，即 ， 根据二次函数的性质可对①进行判断；分别计算和 时的函数值，由于 在范围内且此时有最小值 ，从而可对②进行判断；根据二 次函数的性质由得到点到直线的距离比点到直线 的距离小， 得到，解带绝对值的不等式可对③进行判断；把 代入一 元二次方程，化简得 ，然后解方程可对④进 行判断. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 10.【2024山东德州期中，较难】已知二次函数 ，将其图像 在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．在图形 上任 取一点，点的纵坐标的取值满足或，其中．令 ， 则 的取值范围是______. 【解析】二次函数的图像关于 轴对称后的图像的函数表达 式为 点的纵坐标的取值满足或 ， ， ，当时， ， ， . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 11.【2023浙江宁波鄞州区期末，较难】定义：在平面直角坐标系中，若点 满足 横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．如：, 都是“整 点”．当抛物线与其关于 轴对称的抛物线围成的封闭 区域内（包括边界）共有9个整点时， 的取值范围是__________. 【解析】若抛物线与其关于 轴对称的抛物线围成的封 闭区域内（包括边界）共有9个整点，则轴上有3个整点，且 轴上方、下方各有3 个整点.， 抛物线的开口向上,对称轴为直线 , 抛物线必过点 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 如图，若抛物线过点，则，解得 ，此 时刚好有9个整点；若抛物线过点，则 ， 解得，此时有11个整点，．故答案为 . 思路分析 先通过抛物线的表达式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，且过点 ， 再通过封闭区域内（包括边界）有9个整点，找到临界情况，求出 的取值范围． 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 12. 【2023江苏南京建邺区调研，较难】如图，“爱心”图案是由函数 的部分图像与其关于直线的对称图形组成.点是直线 上方 “爱心”图案上的任意一点，点是其对称点.若，则点 的坐标是_____ ________________________________________________________________________. 或 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 【解析】如图，过点作轴，交轴于点，交直线 于点，连接，交轴于点，关于直线 对称，设 ，, 易知 是等腰直角三角形，四边形 是正方形. ， ， ，，， 或 （舍去），. 又在函数 的图像上， ，即，整理，得，解得 ， .当时，， 点的坐标为；当 时，， 点的坐标为.故答案为或 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 关键点拨 作垂线构造等腰直角三角形和正方形是解题的关键. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 13. 【2024江苏常州期末，中】定义：若一个点的横坐标是它纵坐标的2倍， 则将这个点称为“横双倍点”. （1）下列坐标中，是“横双倍点”的是______.（填序号） ；；； . ②④ 【解】①，不是“横双倍点”， 是 “横双倍点”，不是“横双倍点” ， 是“横双倍点”.综上，是“横双倍点”的是②④，故答案为②④. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 （2）已知二次函数（ 为常数）. ①若该二次函数经过点 ，求出该函数图像上的“横双倍点”的坐标； 【解】把代入得， 该函数表达式为 ，.把代入 得 ，解得,， 该函数图像上的“横双倍点”的坐标 为,, . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 ②若该函数图像上在时一定存在两个“横双倍点”，请直接写出 的取 值范围. 【解】.把代入得 ，整理得 该函数图像上一定存在两个“横双倍点”， ，解得.把代入 得 ;把代入得 该函数图像上在 时一定存在两个“横双倍点”， 解得.综上, 的取值范 围是. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 14.【2023江苏淮安期末，较难】如图，二次函数的图像与 轴交 于和两点，交轴于点，点， 关于二次函 数图像的对称轴对称，一次函数的图像过点， . （1）求二次函数表达式. 【解】由抛物线与轴的交点坐标和 ，设抛物线的表达式为 .将代入，得，解得 ，则抛物线的表达式 为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 （2）求出顶点坐标和点 的坐标. 【解】， 顶点坐标为 ，抛物线的对 称轴为直线， 点关于对称轴的对称点的坐标为 . （3）二次函数图像的对称轴上是否存在一点，使 的周长最小？若存在， 求出 点坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.要使的周长最小，只需最小即可. 点和 关于直 线对称， 直线与直线的交点就是点.设直线 的表达式为 .把和代入得 直线的表达式为 .设 点的坐标是，则，即点的坐标为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 （4）若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点，则点 坐标为 多少时， 最长？ 【解】如图，设点的坐标是， 点 的坐标是 ，则 . ， 当时，的长取最大值，为 ，此时 ， 即点坐标为时， 最长. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 思路分析 （4）设点的坐标是，则点的坐标是，表示出 的 长度，根据二次函数的性质求得最大值即可. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 $$