5.4二次函数与一元二次方程 课件2024-2025学年苏科版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过一次函数问题导入回顾方程解与不等式解集，再迁移到二次函数图像探究，搭建从一次到二次的学习支架，帮助学生类比理解三者联系。 其亮点是以数形结合为核心，通过合作探究（小组分析图像与方程、不等式关系）、分类讨论（a>0/a<0的表格对比）培养数学思维，结合中考题变式（例2探究方程根的个数）提升应用能力。既发展学生几何直观和推理意识，又为教师提供系统探究活动与分层练习，助力高效教学。

二次函数与一元二次方程 问题1：已知直线y＝kx＋b过点(1，0)、（0，-2），求不等式kx＋b＜0的 解集. 一、问题导入 温故知新 解：由函数图象可得，不等式kx＋b＜0的解集为x＜1. y x 0 （1，0） y＝kx＋b （0，-2） 由函数图象可得，方程kx＋b=0的解为x=1. 由函数图象可得，不等式kx＋b＞0的解集为x＞1. 问题2：已知二次函数y=x2+x-2的图象如图所示，请同学们结合图象思考： 二、合作探究 类比迁移 y x 0 （-2,0） （1,0） y<0，即x2+x-2 <0 -2< x <1 y=0，即x2+x-2=0 x1 =-2， x2 = 1 y>0, 即 x2+x-2 >0 x <-2或 x > 1 y = x2+x-2 (1)x取什么值时，y=0？ (2)x取什么值时，y＜0？ (3)x取什么值时，y＞0 解：由函数图象可得：x = -2或1时，y=0. 解：由函数图象可得： -2< x＜1时，y＜0. 解：由函数图象可得： x < -2或x＞1时，y＞0. 二、合作探究 类比迁移 合作探究： 以小组为单位，利用二次函数y=ax2+bx+c的图象，探究一元 二次方程ax2+bx+c=0根的情况、 不等式ax2+bx+c> 0（或＜0） 的解集. y=ax2+bx+c 图象 ax2+bx+c=0 根的情况 ax2+bx+c＞0 解集 ax2+bx+c＜0 解集 二、合作探究 类比迁移 △＞0 有两个不相等的实数根 x1≠x2 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2 △<0 无解 没有实数根 全体实数 △=0 无解 有两个相等的实数根 x1＝x2＝ a＞0 y=ax2+bx+c 图象 ax2+bx+c=0 根的情况 ax2+bx+c＞0 解集 ax2+bx+c＜0 解集 二、合作探究 类比迁移 △＞0 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2 △=0 无解 △<0 没有实数根 全体实数 无解 a＜0 有两个不相等的实数根 x1≠x2 有两个相等的实数根 x1＝x2＝ 问题3： 对于一般的二次函数y=ax2+bx+c、一元二次方程 ax2+bx+c=0、 不等式ax2+bx+c> 0 （或＜0），三者之间有什么关系？ 二、合作探究 类比迁移 不等式 ax2+bx+c ＞0（或＜0） 函数图象在x轴(y=0)上方（或下方）时自变量的取值范围 不等式解集 方程的根 不等式解集端点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 函数图象与x轴（y=0）交点横坐标 方程的根 二次函数 y=ax2+bx+c 试一试：已知不等式x2+bx+c＞0的解集为x﹤-2 或 x >1，求b、c的值. 三、实践应用 尝试练习 解析：不等式x2+bx+c＞0的解集为x﹤-2 或 x >1 方程x2+bx+c=0的根为：x1=-2 ， x2 =1 b=1，c=-2 例1：若不等式 mx2+mx-2＜0的解集为全体实数，求 m的取值范围. 四、变式拓展 思维延伸 -8＜m＜0 m＜0 △=m2+8m＜0 ｛ 解析：不等式 mx2+mx-2＜0的解集为全体实数 （1） m=0 对m进行分类讨论 -2＜0，成立 （2） m≠0 函数y= mx2+mx-2开口 向下，与x轴没有交点 例2： 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，请 根据图象解决下列问题： （1）方程ax2+bx+c=0的根是 由此求不等式ax2+bx+c＜0的解集是 （2）方程ax2+bx+c=2的根是 由此求不等式ax2+bx+c＞2的解集是 （3）探究方程ax2+bx+c=m实数根的个数. y x 0 -2 2 2.25 1 x 1 = -2 x 2 =1 x﹤-2或 x >1 y=2 -1 x 1 = 0, x 2 =-1 -1< x <0 -0.5 四、变式拓展 思维延伸 y x 0 -2 2 2.25 1 y=2 -1 -0.5 例2： 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，请 根据图象解决下列问题： （3）探究方程ax2+bx+c=m实数根的个数. 方程ax2+bx+c=m实数根的个数 二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m交点的个数 数形结合 y=m 当m＜2.25时，方程ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根 当m=2.25时，方程ax2+bx+c=m有两个相等的实数根 当m＞2.25时，方程ax2+bx+c=m无实数根 四、变式拓展 思维延伸 案例：直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y²=1的右支交于不同的两点A、 B,求实数k的取值范围. 五、知识前瞻 展望未来 ｛ 解析：联立 y=kx+1 2x2-y²=1 (k2-2)x2+2kx+2=0 k2-2≠0 △=(2k)2-8（k2-2）＞0 - k2-2 2k ＞0 k2-2 2 ＞0 k的取值范围 y=(k2-2)x2+2kx+2 方程的根 不等式解集 不等式解集端点 二次函数 y = ax 2 +bx+c 方程的根 图象在轴x(y=0)上方时自变量的取值范围 不等式 ax 2 +bx+c＞0 一元二次方程 ax 2 + bx+c=0 函数与x轴（y=0）交点横坐标 图象 六、总结归纳 梳理提升 本节课我们获取了哪些知识？ 本节课我们用到了哪些数学思想？ 数形结合 分类讨论 类比推理 转化化归 六、回顾思考 梳理提升 课后拓展：已知抛物线y1=mx2-mx-2与直线y2=-x-1. （1）求证：两个函数图象必有交点； （2）当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，求m的取值范围. 六、回顾思考 梳理提升 知识点1　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 1.(2024江苏苏州昆山秀峰中学月考)若二次函数y=ax2+bx+c 的图像经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为(　    ) A.x1=-1,x2=2　    B.x1=-2,x2=1 C.x1=1,x2=2　     D.x1=-1,x2=-2 A 解析　∵二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-1,0),(2,0), ∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1,x2=2.故选A. 2.(2025江苏泰州靖江实验学校月考) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像 如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0的解为　　　　　    . 解析　∵抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线和x轴的一个交 点坐标为(-3,0),∴根据函数图像的对称性,可知抛物线和x轴 的另外一个交点坐标为(1,0),则关于x的一元二次方程ax2+bx +c=0的解为x1=-3,x2=1.  x1=-3,x2=1 3.(2025黑龙江大庆中考)已知函数y=mx2+3mx+m-1 的图像与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为　　　    . 1或-  解析　当m=0时,y=-1,此函数图像与坐标轴只有一个交点,不 符合题意.∴m≠0,∴函数y=mx2+3mx+m-1是二次函数,分情况 讨论:①过坐标原点,∴m-1=0,∴m=1;②与x轴、y轴各一个交 点,∴b2-4ac=0,∴(3m)2-4m(m-1)=0,解得m=0(舍去)或m=- . 综上所述,m的值为1或-   . 4.(2024江苏南京玄武期末)已知二次函数y=2(x-m)(x-m-4)(m为常数). (1)求证:无论m为何值,该函数的图像与x轴必有两个公共点; (2)若点A(2,y1),B(2m,y2)在二次函数的图像上,且y1>y2,则m的 取值范围是　　　    . 解析    (1)证法一(求解法):当y=0时,2(x-m)(x-m-4)=0,解得x1= m,x2=m+4,∵m≠m+4,∴方程有两个不相等的实数根,∴无论 m为何值,该函数的图像与x轴必有两个公共点. 证法二(根的判别式法):∵y=2(x-m)(x-m-4),∴y=2x2+(-4m-8)x+ 2m2+8m.当y=0时,2x2+(-4m-8)x+2m2+8m=0,∴Δ=(-4m-8)2-4×2× (2m2+8m)=64>0,∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实 数根,∴无论m为何值,该函数的图像与x轴必有两个公共点. (2)把A(2,y1),B(2m,y2)分别代入y=2(x-m)(x-m-4)得y1=2(2-m)(2- m-4),y2=2(2m-m)(2m-m-4)=2m(m-4),∵y1>y2,∴2(2-m)(2-m-4) > 2m(m-4),解得m>1. 知识点2　利用二次函数图像确定一元二次方程的近似根 5.(2024江苏南通如皋期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的变 量x,y的部分对应值如表: x … -3 -2 -1 0 1 … y … -11 -5 -1 1 1 … 根据表中信息,可得一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x的取 值范围是 (　    ) A.-3<x<-2　    B.-2<x<-1 C.-1<x<0　    D.0<x<1 C 解析　当x=-1时,y=-1;当x=0时,y=1,∴方程的一个根x的取值 范围是-1<x<0, 故选C. 6.(2025浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x +3(a≠0),下列说法正确的是 (　    ) A.点(1,2)在该函数的图像上 B.当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8 C.该函数的图像与x轴一定有交点 D.当a>0时,该函数图像的对称轴一定在直线x= 的左侧 C 解析　对于y=ax2-(3a+1)x+3,当x=1时,y=a×12-(3a+1)×1+3=2- 2a,∵a≠0,∴y=2-2a≠2,∴点(1,2)不在该函数的图像上,故选 项A不正确;当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),即当x=2时,y取最小值-1,故选 项B不正确;令y=0,则ax2-(3a+1)x+3=0, ∵Δ=[-(3a+1)]2-4a×3=(3a-1)2≥0,∴该函数的图像与x轴一定 有交点,故选项C正确;∵该抛物线的对称轴为直线x= =  + , 又∵a>0,∴ + > , ∴该抛物线的对称轴一定在直线x= 的右侧,故选项D不正 确. 故选C. 7.(2025四川自贡中考)经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m) 两点的抛物线y=- x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线 段AB的长为 (　    ) A.10　    B.12 C.13　    D.15 B 解析　∵经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=- x2+bx -b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,∴ =- , b2-4× ×(-b2+2c)≥0,∴b=c+1,b2≤4c,∴(c+1)2≤4c,∴(c-1)2 ≤0,∵(c-1)2≥0,∴c-1=0,解得c=1,∴b=c+1=2,∴AB=|(4b+c-1) -(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=|14+1-3|=12,故选 B. 8.(2025湖南衡阳中考)已知m>n> 0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<x2),关于x的方程 x2+2x-3-n=0的解为x3,x4(x3<x4),则下列结论正确的是 (　    ) A.x3<x1<x2<x4　    B.x1<x3<x4<x2 C.x1<x2<x3<x4　    D.x3<x4<x1<x2 B 解析　关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为抛物线y=x2+2x-3与直 线y=m的交点的横坐标,关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为抛物 线y=x2+2x-3与直线y=n的交点的横坐标,如图:   由图可知,x1<x3<x4<x2,故选B. 9.(2025江苏南通海安曲塘中学附中月考)已知二 次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图像与x轴的一个交点坐标为(-2, 0),则关于x的一元二次方程ax2-2ax+c=0的两根之积是　　    . 解析　∵二次函数y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=- =1,二 次函数的图像与x轴的一个交点坐标为(-2,0),∴二次函数的 图像与x轴的另一个交点坐标为(4,0),∴关于x的一元二次方 程ax2-2ax+c=0的两根为x1=-2,x2=4,∴关于x的一元二次方程 ax2-2ax+c=0的两根之积为-8. -8 10.(2024江苏南京建邺期末改编)如图,二次函数 图像顶点坐标为(-1,-4),与x轴的一个交点坐标为(1,0). (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为　　　    ; (2)求这个二次函数的表达式; (3)当y>0时,x的取值范围为　　　    ,当-4<x<0时,y的取值范 围为　　　    .   解析    (1)∵二次函数图像的对称轴为直线x=-1,与x轴一个 交点坐标为(1,0),∴二次函数图像与x轴的另一个交点坐标为 (-3,0),故答案为(-3,0). (2)设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4(a≠0),把(1,0)代 入得4a-4=0,解得a=1,∴二次函数的表达式为y=(x+1)2-4. (3)∵抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0),∴当y>0时,x的取 值范围为x<-3或x>1.∵抛物线开口向上,顶点坐标为(-1,-4), ∴抛物线的最小值为-4,∵-1-(-4)>0-(-1),∴当x=-4时,y取得最 大值5,∴当-4<x<0时,y的取值范围为-4≤y<5. 的一个根x1所在的范围是0<x1<1. 第三步:通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围.取x= =0. 5,因为当x=0.5时,y=-1<0,又因为当x=1时,y>0,所以0.5<x1<1. (1)请仿照第二步,通过运算验证2x2+x-2=0的另一个根x2所在 的范围是-2<x2<-1; (2)小明在-2<x2<-1的基础上,重复应用第三步中取平均数的 方法,将x2所在范围缩小,得到的近似值约为-1.6,判断小明的 结论是否正确,并说明理由. 解析    (1)证明:因为当x=-2时,y=4>0;当x=-1时,y=-1<0,所以方 程2x2+x-2=0的另一个根x2所在的范围是-2<x2<-1. (2)小明的结论不正确.理由如下: 取x= =- ,因为当x=- 时,y=2× - -2=1>0,当x=-1时,y=-1 <0,所以- <x2<-1.故小明的结论不正确. 同学们再见！ $