精品解析：北京市对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中质量监测数学试题

对外经济贸易大学附属中学2024级高一年级第一学期期中 质量监测试卷数学 （满分150分，考试时间120分钟．命题人：王雪 审核：高一数学组） 一、选择题（共10小题：共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可； 【详解】因为， 所以． 故选：D． 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案. 【详解】是奇函数，不符合题意. 、是非奇非偶函数，不符合题意. 是偶函数且在上单调递增，符合题意. 故选：C 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得， 则，解得， 所以“”是“”成立的必要而不充分条件. 故选：B. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 5. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A. 为减函数 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 的定义域为R 【答案】B 【解析】 【分析】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】解：设，将代入，得，解得， 故，易知在上单调递增，在上单调递减，且值域为，故A选项错误，B选项正确； 的定义域为，且，为偶函数， C，D选项错误； 故选：B． 6. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解：是增函数，故， 而，故. 故选：A. 8. 设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（ ） x 0 1 2 2 1 0 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 9. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 10. 已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义判断和证明函数是否为“理想函数” 【详解】A:当时，对当时，，因此不是“理想函数”，故A错误. B：当时，对当时，，所以不是“理想函数”，故B错误. C：当时，例如时，所以不是“理想函数”，故C错误. D：当时，对当时，，所以是“理想函数”，故D正确 故选：D 二、填空题（共5小题：共25分） 11. 若命题，，则的否定为___ 【答案】， 【解析】 【分析】由特称命题的否定可直接得到结果. 【详解】由特称命题的否定知：的否定为：，. 故答案为：，. 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零和二次根式有意义的条件列出不等式组求解. 【详解】由， 得，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为________，此时x的值为________. 【答案】 ①. . ②. . 【解析】 【分析】先变形，再利用基本不等式求最值，利用等号成立的条件求出对应的值. 【详解】， 当且仅当，即当时取到最小值. 故答案为：(1). . (2). . 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 已知函数，若，则______. 【答案】16或-2 【解析】 【分析】 讨论和两种情况讨论，解方程，求的值. 【详解】当时，，成立， 当时，，成立， 所以或. 故答案为：或 15. 设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 三、解答题（共6小题：共85分） 16. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次不等式的解法和分式不等式的解法求出集合，再根据集合的交并补的运算即可得解； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 或； ， 或， 所以， 或； 【小问2详解】 若， 当时，符合题意，则，即； 当时， 则，解得， 综上所述，. 17. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解； （2）由题意易得的解集为，分类讨论与两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解. 【小问1详解】 根据题意，得， 由得，即， 解得：或， 故不等式的解集为或. 【小问2详解】 由题意得，的解集为， 当时，不等式可化为，解得，即的解集为，不符合题意，舍去； 当时，在开口向上，且与轴没有交点时，的解集为， 所以，解得，即， 综上：， 故实数的取值范围为. 18. 已知函数（且）. （1）求； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）时，求使成立的x的取值范围. 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 由题意，，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式即可得解； （2）先求出函数的定义域，再判断与的关系即可得出结论； （3）根据对数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 函数是奇函数，证明略； 【小问3详解】 当时，函数在上是减函数， 由，得，所以，解得， 所以使成立的x的取值范围为. 19. 计算： （1） （2） （3），，试用，表示 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可. （2）根据对数的运算性质计算即可. （3）根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则计算即得. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 由，得， 则. 20. 已知二次函数的最小值为，且． （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 21. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】（1） 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， 是倒函数， 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数； （2） 因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故， 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故. 必要性：当时， 有 ， 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件． 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案； （2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 对外经济贸易大学附属中学2024级高一年级第一学期期中 质量监测试卷数学 （满分150分，考试时间120分钟．命题人：王雪 审核：高一数学组） 一、选择题（共10小题：共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A. 为减函数 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 的定义域为R 6. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（ ） x 0 1 2 2 1 0 A. B. C. D. 9. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数满足：，当时，有，则称函数为“理想函数”．根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题：共25分） 11. 若命题，，则的否定为___ 12. 函数的定义域是______． 13. 已知，则的最小值为________，此时x的值为________. 14. 已知函数，若，则______. 15. 设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共6小题：共85分） 16. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 18. 已知函数（且）. （1）求； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）时，求使成立的x的取值范围. 19. 计算： （1） （2） （3），，试用，表示 20. 已知二次函数的最小值为，且． （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 21. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $