精品解析：江苏省苏州市草桥中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期草桥中学期中测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共3大题，满分100分．考试用时100分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级、学号填写完整，并在相应位置贴上条形码； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 3. 2024年国庆假期期间，苏州文旅市场持续七天“人从众”模式，不断升温的消费热情，让网友直呼：“这来了得有一亿人”．据当地通信运营商数据，今年国庆假期，苏州全市累计接待游客人次．其中精确到（ ） A. 十万位 B. 百万位 C. 十分位 D. 百分位 4. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 5. 等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（ ） A. 9或12 B. 9 C. 12 D. 10 6. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 5 C. 20 D. 15 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 要使二次根式有意义，则x应满足条件________． 11. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 12. 比较大小：_____． 13. 的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是______． 14. 如图，的边的垂直平分线相交于点．若，则=________°． 15. 如图，在中，，，，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点A与点E重合，则的长为______． 16. 如图，线段、在的同侧，点M为线段中点，，，，若，则线段的最大值为___． 三、解答题（共9题，共60分） 17. 化简与解方程： （1）解方程：； （2）化简：； （3）化简：． 18. 如图：在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线1成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使的长最短； （3）若是以为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上，这样的点M共有_____个． 19. 如图，，，的垂直平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 20. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 21. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 ， ； （2）剩余木板的面积为 ； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 个这样的木条． 22. 2024年4月14日7∶30，2024苏州马拉松在苏州市金鸡湖畔鸣枪起跑，比赛赛道先后经过金鸡湖、盘门、寒山寺、干将路、文化艺术中心等城市地标及人文景观．学生小明操控无人机记录下了赵老师在干将路段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度从P向Q匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． （1）若，请求出的长度； （2）在（1）的条件下，点M以的速度从点A出发，在点M前方90米的点N以 的速度匀速前进，在点M追上点N前，经过多少分钟，是以为底的等腰三角形． 23. 如图，E为上一点，，，，，交于点F，且． （1）试说明； （2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 24. 张同学在深入研究课本82页第2题时发现：如图（1），一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端点B距离墙角O的距离是，此时梯子到达的垂直高度是，通过计算可以得到梯子的长为______m，爱动脑筋的张同学发现，梯子的中点为M，当梯子底端从B向右滑动到点D的过程中，中点M到O的距离______．（填变大、不变、变小）张同学继续研究发现，在梯子沿着墙滑动过程中，的角平分线 交于点H． （1）如图（2），过点B作，交的延长线于点E，连接，在滑动的过程中，线段，有何数量关系，并说明理由； （2）在滑动的过程中，面积的最大值为______． 25. 操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料： ①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为； ②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B； ③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）． （1）根据以上操作，结合图2试证明是等边三角形； 初步探究： （2）将沿翻折到位置，延长交于点Q，如图3，求证：点Q是的三等分点． 深入探究： （3）如图4，点M在上移动，将沿翻折到点，连接、并延长交于点H，N是的中点，连接，，请直接写出、、之间的等量关系______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期草桥中学期中测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共3大题，满分100分．考试用时100分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级、学号填写完整，并在相应位置贴上条形码； 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列四个数中，无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、，是有理数，故本选项错误； B、是有理数，故本选项错误； C、0是有理数，故本选项错误； D、π是无限不循环小数，选项正确. 故选：D. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3. 2024年国庆假期期间，苏州文旅市场持续七天“人从众”模式，不断升温的消费热情，让网友直呼：“这来了得有一亿人”．据当地通信运营商数据，今年国庆假期，苏州全市累计接待游客人次．其中精确到（ ） A. 十万位 B. 百万位 C. 十分位 D. 百分位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了近似数的精确度，考虑近似数的精确度时，一般要将科学记数法表示的数还原为原数，再进一步确定近似数的精确度．将还原为原数，根据8所在的位数即可求解． 【详解】解：， ∴近似数精确到十万位． 故选：A． 4. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式须满足的条件对每个选项逐一分析即可得出结论． 【详解】选项A：，不符合题意； 选项B：，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义的理解与运用能力．最简二次根式满足下列条件：被开方数不含分母，也就是被开方数是整数或整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．恰当利用最简二次根式的定义进行分析是解本题的关键． 5. 等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（ ） A. 9或12 B. 9 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，通过非负性可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴． 又因为是等腰三角形， 所以三边长为5，5，2，或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为． 故选：C． 6. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积； 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 7. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于， 由题意得：，， ， ∴， 在中，． 故选D． 8. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（ ） A. 10 B. 5 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积为：5， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 要使二次根式有意义，则x应满足条件________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义需被开方数大于等于0求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 11. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 12. 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 13. 的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，算术平方根等知识，先估算，即可求出a，然后根据算术平方根的性质可求出b，把a、b代入计算，最后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∵算术平方根等于本身的正整数记为b， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 14. 如图，的边的垂直平分线相交于点．若，则=________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，的垂直平分线，相交于点， ，， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点A与点E重合，则的长为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，根据翻折的性质可得出，，，设，则，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 16. 如图，线段、在的同侧，点M为线段中点，，，，若，则线段的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵点M为线段中点， ， ∴， 如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， 则，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共60分） 17. 化简与解方程： （1）解方程：； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，零指数幂的意义，平方根的定义等知识，解题的关键是： （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可； （3）先根据二次根式的乘除法则计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解∶原式 ． 18. 如图：在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线1成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使的长最短； （3）若是以为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上，这样的点M共有_____个． 【答案】（1） 如图所示，′即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； （3）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）依据轴对称的性质得到各顶点，进而得出与关于直线l成轴对称的； （2）依据两点之间，线段最短，连接交直线l于点P，因为，故此时的长最短； （3）分别以点和点为圆心，长为半径画弧，即可得到符合条件的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，符合条件的点M共有4个， 故答案为4． 19. 如图，，，的垂直平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，平时要熟练掌握各性质定理． 20. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【小问1详解】 解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：当，时, ． 21. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 ， ； （2）剩余木板的面积为 ； （3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 个这样的木条． 【答案】（1），； （2）15 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积， 故答案为：15； 【小问3详解】 解：剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条， 故答案为4． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． 22. 2024年4月14日7∶30，2024苏州马拉松在苏州市金鸡湖畔鸣枪起跑，比赛赛道先后经过金鸡湖、盘门、寒山寺、干将路、文化艺术中心等城市地标及人文景观．学生小明操控无人机记录下了赵老师在干将路段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度从P向Q匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． （1）若，请求出的长度； （2）在（1）的条件下，点M以的速度从点A出发，在点M前方90米的点N以 的速度匀速前进，在点M追上点N前，经过多少分钟，是以为底的等腰三角形． 【答案】（1）米， （2）0.2分钟 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质： （1）先根据勾股定理可得米； （2）过点B作，根据等腰三角形三线合一，可得若，则，用含t的代数式表示出相关线段长度，列方程求出t值即可． 【小问1详解】 解：由题意知：（米），米， ， ， ∴（米）. 【小问2详解】 解：过点B作， ∴， ∴，解得：（米） 当时，点M和点N在H点异侧， ∴， 设时间为t分钟，则（米）， （米）， ， 解得， 在点M追上点N前，经过0.2分钟，是以为底的等腰三角形． 23. 如图，E为上一点，，，，，交于点F，且． （1）试说明； （2）连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1） 证明：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ； （2） 证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明， （1）根据证明，可得答案； （2）根据，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 张同学在深入研究课本82页第2题时发现：如图（1），一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端点B距离墙角O的距离是，此时梯子到达的垂直高度是，通过计算可以得到梯子的长为______m，爱动脑筋的张同学发现，梯子的中点为M，当梯子底端从B向右滑动到点D的过程中，中点M到O的距离______．（填变大、不变、变小）张同学继续研究发现，在梯子沿着墙滑动过程中，的角平分线 交于点H． （1）如图（2），过点B作，交的延长线于点E，连接，在滑动的过程中，线段，有何数量关系，并说明理由； （2）在滑动的过程中，面积的最大值为______． 【答案】5；不变；（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，垂线段最短； 题干由勾股定理求解出，由直角三角形斜边中线的性质得出结论； （1）延长、交于点，证明，得，由直角三角形斜边中线的性质即可得出结论； （2）过点作，由垂线段最短可得，由此得出在滑动的过程中，点与的中点重合时，，面积的最大据此得出结论. 【详解】解：依题意得：，，， 如图： ∴， ∵的中点为M， ∴， 故中点M到O的距离不变； （1）结论： 如图，延长、交于点， ∵， ， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， （2）如图，过点作， ∴，即， ∵， 故在滑动的过程中，点与的中点重合时，，面积的最大， ， 即面积的最大值为. 25. 操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料： ①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为； ②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B； ③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）． （1）根据以上操作，结合图2试证明是等边三角形； 初步探究： （2）将沿翻折到位置，延长交于点Q，如图3，求证：点Q是的三等分点． 深入探究： （3）如图4，点M在上移动，将沿翻折到点，连接、并延长交于点H，N是的中点，连接，，请直接写出、、之间的等量关系______． 【答案】 （1）证明：在正方形中，，， ∵为正方形对折线， ∴，， ∴， ∵为对折所得， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：连接，设正方形边长为a，则，， ∵为翻折所得， ∴，且，， ∴， 又， ∴， ∴， 设长度为， 则，， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴点是的三等分点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，，根据翻折性质可得，结合正方形的性质即可得证； （2）连接，设正方形边长为a，根据证明，可得出，设长度为，表示出，，的长，结合勾股定理解出的长即可得证； （3）过D作交于G，根据翻折的性质、等腰三角形三线合一的性质等可得出，结合已知可得出，根据等角对等边得出，根据证明，得出，则，在中，根据勾股定理可求出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： 理由：过D作交于G ∵翻折， ∴，， ∵N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识并采用数形结合的方法巧妙作辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $