精品解析：重庆市巴渝学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市巴渝学校高二年级2024—2025学年上学期期中测试 数学试卷 （考试时间：120分钟　　试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】直线的方程为，即， 所以直线的斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：B. 2. 已知，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由空间两点间距离公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 3. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 4. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 5. 圆与圆的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆位置关系，可确定公切线条数. 【详解】由题可得圆圆心，半径为2；圆圆心，半径为3. 则两圆圆心距为，注意到， 则两圆相交，故两圆有2条公切线. 故选：B 6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 7. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，所以圆的标准方程为. 故选：D 8. 已知圆：，点在椭圆：运动，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，依题意可得切点弦方程为，取的中点，连接，则，利用点到直线的距离公式及的范围计算可得. 【详解】设，，，设切线上任意一点为，则， 所以，即，即切线的方程为， 同理可得切线的方程为， 所以且， 所以直线的方程为， 取的中点，连接，则，， 又，即， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：A 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 与的距离为 B. 当点为的中点时， C. 当点在的中点时，点到平面的距离为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】找出直线与的公垂线段，并求其长度，可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，连接， 因为平面，平面，则， 同理可得，所以，与的距离为，A错； 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于B选项，当点为线段的中点时，， 此时，，B对； 对于C选项，当点在的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 此时，点到平面的距离为，C对； 对于D选项，设，其中， ， 所以，点到直线的距离为 ， 当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为，D错. 故选：BC. 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ） A. 若的周长为6，则 B. 若当时，的内切圆半径为，则 C. 若存在点，使得，则 D. 若的最大值为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求解即可判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围判断D. 【详解】对于A，由椭圆，可得， 因为的周长为6，所以，解得， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 当时，由余弦定理可得 ， 则，解得， 所以. 又的内切圆半径为，所以， 所以，所以，解得（舍去）或， 所以，故B正确； 对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得，则，故C错误； 对于D，设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为，又的最大值为，故时取最大值， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论： （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将直线化为，再由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】直线即， 所以平行直线与直线的距离. 故答案为： 13. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【小问1详解】 因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. 【小问2详解】 B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）若为中点，连接，易证是平行四边形，有，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 若为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. 【小问2详解】 由平面，，构建如图所示空间直角坐标系， 由，，，则，显然面的一个法向量为， 所以，若面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 17. 已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）首先求出的中点坐标及，即可得到圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程，进而可得弦长. 【小问1详解】 因为，，所以的中点为，且， 因为圆是以线段为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 圆的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 所以圆心到该直线的距离， 所以两圆公共弦的长的长为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，, , ，且平面平面. （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为0即可证明线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明即可； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量求异面直线的夹角即可； （3）求出平面的法向量，假设通过空间向量的线性运算求得，利用已知条件列出等式求解即可得到的值，进而可求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 异面直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由（1）得，,． 设平面的法向量， 由得，， 令，则， 设， ． 整理得，，解得或存在点或． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为且焦距为2，上顶点为，且直线的斜率之积为. （1）求椭圆的方程： （2）设直线不经过点且与相交于两点， (i)证明：直线过定点； (ii)设为①中点关于轴的对称点，过点作直线交于椭圆于两点，且，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）;(ii) 【解析】 【分析】（1）根据直线与的斜率之积得到，结合焦距得到，，得到椭圆方程； （2）（i）设直线,椭圆方程整理为,利用直线的方程将椭圆的方程齐次化，然后转化为关于斜率的方程，此方程的两根为.利用椭圆的性质，结合已知条件得到，进而利用韦达定理求得，从而得到直线经过定点；（ii）设，利用弦长公式求得，同理得,利用由对角线及其夹角所表示的四边形的面积公式得到四边形面积关于的表达式，进而进行变换，利用基本不等式和函数单调性求得其面积的取值范围. 【小问1详解】 由题意有，，, 则， 可得， 由椭圆焦距为2，有，得，， 椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 (i)由题意可知直线不过椭圆的右顶点， 故可设直线①, 椭圆方程整理为, 整理得：②, 联立①②得：③， 设,这两点坐标都满足方程③， , 方程③两边同除以得：, 即，此方程的两根为. ∵点在椭圆上，∴， 又∵，∴，∴，∴, ∴直线，，与轴交点坐标为, ∴直线恒过定点. (ii)关于原点的对称点为. 当直线的斜率不为零时，设其方程为. 将直线代入椭圆E的标准方程为， 整理得：，， ， 当时，，，四边形面积为 同理得. 又∵，∴四边形面积为： ，当时，取到， 又∵当直线的斜率为零时，必经过椭圆的左右顶点，与题意矛盾； ∴四边形面积的取值范围是. 【点睛】（2）（i）中的齐次化方法转化为关于斜率的方程是求解类似此题中的定点问题的简洁的方法，使得运算量得到较大的减少，值得注意学习和掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴渝学校高二年级2024—2025学年上学期期中测试 数学试卷 （考试时间：120分钟　　试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则A，B两点间的距离为（ ） A. B. C. 12 D. 24 3. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 4. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公切线有（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：，点在椭圆：运动，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 10. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 与的距离为 B. 当点为的中点时， C. 当点在的中点时，点到平面的距离为 D. 点到直线的距离的最小值为 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ） A. 若的周长为6，则 B. 若当时，的内切圆半径为，则 C. 若存在点，使得，则 D. 若的最大值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 13. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边所在的直线方程； （2）求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 17. 已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点． （1）求证：面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为且焦距为2，上顶点为，且直线的斜率之积为. （1）求椭圆的方程： （2）设直线不经过点且与相交于两点， (i)证明：直线过定点； (ii)设为①中点关于轴的对称点，过点作直线交于椭圆于两点，且，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $