精品解析：浙江省温州市鹿城区2024—2025学年上学期九年级数学期中数学试卷

2024-2025学年浙江省温州市鹿城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　　） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C. 明天太阳从东方升起 D. 奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 3. 已知的半径是5，点P到圆心O的距离是7，则点P在（　　） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不能确定 4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 书架上一共有本书，分别是本数学书，本科学书．从中任取本书，取到数学书的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在抛物线上，则（　　） A. B. C. D. 8. 小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B. 抛一枚硬币，出现反面的概率 C. 任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D. 从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 9. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象上有两点：点，，其中，．当时，则t的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 当时，二次函数的函数值为_____． 12. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 ___灯．（填“红、绿、黄”） 13. 如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为____． 14. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 4000 10000 发芽频数 92 188 476 951 1900 3800 9500 估计该麦芽的发芽概率是____．（精确到0.01） 15. 已知二次函数的图象如图，该函数在自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是_______． 16. 如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 ________． 17. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x（m），面积为S（），则所围成的花圃的面积S的最大值是_______． 18. 在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是______． 三、解答题（本题有6小题，共46分） 19. 小S同学积极参加社区志愿者服务工作．在某次活动中，根据社区的安排，志愿者会被随机分到A组（场地布置），B组（场地安保），C组（场地应急）． （1）小S同学被分到B组的概率是 ． （2）小Y同学也参加了本次志愿者服务工作，请用列表或树状图法表示出两人分组的所有可能结果，并求出小Y和小S两位同学被分到同组的概率． 20. 已知二次函数，经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若点在该函数图象上，求的值． 21. 如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 22. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式 ． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 23. 如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． （1）请直接写出 ， ． （2）点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省温州市鹿城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，）的式子叫二次函数解答即可． 【详解】解：A．不符合二次函数的定义，是一次函数，故A错误，不符合题意； B．不符合二次函数的定义，是反比例函数，故B错误，不符合题意； C．符合二次函数的定义，故C正确，符合题意； D．不符合二次函数的定义，是一次函数，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　　） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C. 明天太阳从东方升起 D. 奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； B、从装有3个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D、奥运射击冠军李豪射击一次，命中10环是随机事件，符合题意． 故选：D． 3. 已知的半径是5，点P到圆心O的距离是7，则点P在（　　） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离大于圆的半径，点在圆外，是解题关键．根据点P到圆心O的距离大于圆的半径，可知点P在外． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为7，且， ∴点P在外． 故选：C． 4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 5. 书架上一共有本书，分别是本数学书，本科学书．从中任取本书，取到数学书的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率满足条件的事件数量总的事件数量，根据公式计算即可． 【详解】解：根据题意可得， 从中任取本书，取到数学书的概率为． 故选：B． 6. 如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据定理进行计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 7. 已知点，，都在抛物线上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可求解，理解“抛物线开口方向向上时，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大.”是解题的关键. 【详解】解： ， 抛物线开口向上，对称轴为， 到对称轴的距离为个单位长度， 到对称轴的距离为个单位长度， 到对称轴的距离为个单位长度， 抛物线开口向上，到对称轴距离越大的点，对应的函数值越大， ． 故选：A． 8. 小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B. 抛一枚硬币，出现反面的概率 C. 任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D. 从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率． 故选：C． 9. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 10. 已知二次函数图象上有两点：点，，其中，．当时，则t的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；由题意可知点到对称轴的距离比点到对称轴的距离要远或相同，而关于对称轴的对称点为，即可得出． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∵点到对称轴的距离比点到对称轴的距离要远或相同， ∴， ∵，，关于对称轴的对称点为， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 当时，二次函数的函数值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把代入二次函数解析式，计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 12. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 ___灯．（填“红、绿、黄”） 【答案】黄 【解析】 【分析】本题考查的知识点是可能性的大小，根据可能性大小的定义解答即可． 【详解】解：∵遇到红灯的概率＝＝； 遇到绿灯的概率＝＝； 遇到黄灯的概率＝＝， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 13. 如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的性质和勾股定理，根据题意连接，根据垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，由垂径定理知， ， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的半径长为5． 故答案为：5． 14. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 4000 10000 发芽频数 92 188 476 951 1900 3800 9500 估计该麦芽的发芽概率是____．（精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据大量试验的前提下，用发芽频数除以试验种子数即可解答． 【详解】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率是， 故答案为：0.95． 15. 已知二次函数的图象如图，该函数在自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数图象的最值问题解答即可． 【详解】解：由图可知，时， 该二次函数时，有最小值， 时，有最大值3． 故答案为：． 16. 如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据平角定义求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x（m），面积为S（），则所围成的花圃的面积S的最大值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的综合应用，可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积＝长宽，得出S与x的函数关式． 【详解】解：由题可知，花圃的宽为x米，则为米． 这时面积， ∵， ∴ ∵， 当时，S的最大值为， 故答案为：． 18. 在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，抛物线与x轴的交点问题，勾股定理，垂径定理．解方程得到，，，求得，，设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，过M作于E，于F，根据垂径定理得到，，，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 解得或， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， 设经过A，B，C三点的圆的圆心为M， 过M作于E，于F，则四边形是矩形， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴经过A，B，C三点的圆的半径长是， 故答案为：． 三、解答题（本题有6小题，共46分） 19. 小S同学积极参加社区志愿者服务工作．在某次活动中，根据社区的安排，志愿者会被随机分到A组（场地布置），B组（场地安保），C组（场地应急）． （1）小S同学被分到B组的概率是 ． （2）小Y同学也参加了本次志愿者服务工作，请用列表或树状图法表示出两人分组的所有可能结果，并求出小Y和小S两位同学被分到同组的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法求概率，通过列表求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小S同学被分到B组的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出两人分组的所有等可能的结果，以及小Y和小S两位同学被分到同组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意知，共有3种等可能的结果， 其中小S同学被分到B组的结果有1种， ∴小S同学被分到B组的概率是． 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 由表格可知，两人分组的所有等可能的结果共有9种， 其中小Y和小S两位同学被分到同组的结果有3种， ∴小Y和小S两位同学被分到同组的概率为． 20. 已知二次函数，经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质： （1）代入点求出值即可得到二次函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式即可得到值． 【小问1详解】 将点代入二次函数得：， 二次函数解析式为：． 【小问2详解】 将点坐标代入得：， 解得：． 21. 如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点． （1）求证：点D为的中点． （2）若，求的半径长度． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； （2）13． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识点． （1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为13． 22. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式 ． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 【答案】（1）； （2）70元时，最大总利润是6000元； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值； （3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：（1）设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ∵，． ∴函数图象开口向下，对称轴是直线． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元； 【小问3详解】 解：由， 当时，， 解得：， ∵， ∴， 又∵； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用函数增减性得出是解题关键． 23. 如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． （1）请直接写出 ， ． （2）点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；2； （2）； （3），或，或，或． 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得b的值； （2）设，则，由，可得，解出t的值可得P的坐标为； （3）过M作轴交直线于K，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出m的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：5；2； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，， ∵， ∴， 解得或（此时P不在直线上方，舍去）； ∴P的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下： 过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 解得或 ∴M的坐标为，或，或，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，解一元二次方程，三角形面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $