精品解析：天津市北辰区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

北辰区2024～2025学年度第一学期期中检测试卷 高二数学 说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上） 1. 在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 5. 若圆与圆外切，则（ ） A. 32 B. 26 C. 18 D. 6. 已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上） 10. 已知向量，，，则________． 11. 已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为________． 12. 圆与圆的公共弦的长为______. 13. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为________． 14. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________. 15. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则实数的值为________． 三、解答题．（本大题共5个小题，共60分） 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程． 17. 如图，平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，长轴长为，且短轴长是焦距的倍． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 20. 设椭圆左右焦点分别为，，且过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北辰区2024～2025学年度第一学期期中检测试卷 高二数学 说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：100分钟 一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上） 1. 在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的规则得出点的坐标. 【详解】点，关于平面对称的点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数，所以坐标是. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，由，，得到， 所以直线的倾斜角为， 故选：C 3. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C 4. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 5. 若圆与圆外切，则（ ） A. 32 B. 26 C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若两圆相外切，则圆心距等于半径之和，即可求解. 【详解】由得圆心，， 由得， 圆心，， 因为两圆向外切，所以， 即，可得，解得， 故选：A 6. 已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则，，，解得. 故选：C 7. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线一般方程的平行公式，求解得，再利用平行线的距离公式，即得解 【详解】由题意，直线与平行， 故 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，舍去. 故 此时与间的距离 故选：C 8. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 9. 若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，分别与圆相交、相离即可得的取值范围． 【详解】作与直线平行，且到直线距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 较近的一条到原点的距离为， 又圆上有2个点到直线的距离为1， 两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点， 与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图， 由此可得圆的半径， 故选：B 二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上） 10. 已知向量，，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量的模求出，再有数量积坐标运算得解. 【详解】由，可知，解得， 所以， 故答案为：6 11. 已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论． 【详解】当焦点在轴上时，，解得， 所以长轴长为； 当焦点在轴上时，，解得（舍去）， 综上所述，椭圆的长轴长为. 故答案为：. 12. 圆与圆的公共弦的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆相减可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆圆心到直线的距离， 圆的半径为，所以公共弦长为. 故答案为：. 13. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】考虑截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 14. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得． 【详解】如图，矩形是货车截面图，，则， 故答案为：． 15. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则实数的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，要使圆C的面积最小，则半径要最小，求出半径最小时的值，从而可求得圆的圆心与半径，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】解：由圆， 得， 当时，圆C的半径最小为，即面积最小， 所以当圆C的面积最小时，圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线与圆C相切， 所以圆心到直线的距离， 解得或. 故答案为：或. 三、解答题．（本大题共5个小题，共60分） 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心半径求圆的标准方程； （2）根据点到直线的距离以及勾股定理求解弦长； （3）分类讨论然后结合圆心到直线的距离为半径求解； 【小问1详解】 由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆的半径， 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即， =2，解得 ，所以. 综上所述：切线的方程为和． 17. 如图，平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，，设平面的法向量为， 则，取，又平面的法向量可以为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，长轴长为，且短轴长是焦距的倍． （1）求椭圆标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件求出，即可得到椭圆标准方程； （2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解； （3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【小问1详解】 依题意，，得到，由短轴长是焦距的倍，得， 又，所以，解得，所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，故该直线为， 由，消可得， 故，由弦长公式，. 【小问3详解】 显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消得， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线得出线线平行，可得出面面平行，由面面平行的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦即可； （3）设，利用向量法求直线与直线所成角即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，如图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，所以， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 平面PAC平面，平面平面AC， 平面，平面. 平面，，又， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，且， 所以， 所以，解得， 所以. 20. 设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析，定点；② 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）①设直线，联立椭圆方程，得到，由韦达定理得到，，再根据题设可得，即可求解；②将问题转化成，利用①中结果，通过换元得到，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上定点． ②由①知，，，且，即， 又， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”， 所以． 【点睛】 关键点点睛，本题的关键在于（2）中的第②问，利用，从而得到，再令，通过换元得出，再结合基本不等式计算即可得出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$