第1章 二次函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第1章 二次函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象与性质 1.【2024广东中考】若点，，都在二次函数 的图象上， 则( ) A A. B. C. D. 【解析】抛物线的对称轴为轴，开口向上， 当时，随 的增大而 增大. 点,,都在二次函数的图象上，且 ， ，故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2.【2024四川眉山中考】定义运算： ，例如 ，则函数 的最小值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得， ， 函数的最小值为 .故选B. 思路分析 根据新定义运算可得与 之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 3.【2024陕西中考】已知一个二次函数的自变量与函数 的几组 对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) D A.图象的开口向上 B.当时，的值随 值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 【解析】由题意得 解得 二次函数的表达式为 ， 图象的开口向下，故选项A不符 合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时， 的值 随值的增大而增大，当时，的值随 值的增大而减小，故选项B不符合题意； 顶点坐标为，且图象经过原点，图象的开口向下， 图象经过第一、三、 四象限，故选项C不符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 4.【2024四川乐山中考】已知二次函数，当 时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以抛物线的对称轴为直线 ，且 顶点坐标为.因为，所以所对应的函数值和 所 对应的函数值相等.因为，且当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，所以，，所以 ，解得 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 5.【2024山东滨州中考】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为______. 【解析】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得 到的抛物线表达式为， 顶点坐标为.故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 6.【2024江苏苏州中考】二次函数的图象过点 ， ，，，其中，为常数，则 的值为____. 【解析】把，，代入 ， 得解得.把 代入 ，得，即 ， ，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 考点2 二次函数与一元二次方程的关系 7.【2023湖南衡阳中考】已知，若关于的方程 的 解为，，关于的方程的解为， . 则下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】如图，设直线与抛物线 交于A, B两点，直线与抛物线 交于C,D两点. ,关于的方程的解为 , ,关于的方程的解为 , ,,，， 分别是点A,B,C,D的横坐标， .故选B. 关键点拨 分别画出抛物线，直线和直线 的图象，再根据一元二 次方程与二次函数的关系，观察图象即可得出答案. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 8.【2024四川德阳中考】如图，抛物线的顶点的坐标为 ，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论： ； ；③若抛物线经过点，，则；④若关于 的一 元二次方程无实数根，则 .其中正确结论是________ （请填写序号）. ①②④ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 【解析】 抛物线的顶点的坐标为，， ， 抛物线开口向下，，.当时， ， ，故①正确．由图象可得当时，， ， 故②正确. 直线 是抛物线的对称轴， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错 误． 关于的一元二次方程无实数根， 顶点， 在直线 的下方， ，故④正确.故答案为①②④. 关键点拨 解题的关键是掌握二次函数的图象与性质. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 考点3 二次函数的应用 9.【2024广西中考】如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是,高度是 .若 实心球落地点为,则___ . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴、所在直线为 轴建立平面直角坐 标系.由题意得该抛物线的顶点为， 设该抛物线的表达式为 抛物线经过，，，解得 ， 该抛物线的表达式为.当时， ， 解得（舍）,, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 10.【2024四川自贡中考】九（1）班劳动实践基地内有一块 面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点 （如图），其中上的 段围墙空缺.同学们测得 ，，， ， 46.4 ，班长买来可切断的围栏 ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩 形菜地，则该菜地最大面积是______ . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 【解析】设矩形菜地在射线上的边长为.当 时， ，当时， 最大， 最大面积为.当 时， ，在 的范围内， 均小于，所以该菜地的最大面积为.故答案为 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 思路分析 要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，就必须尽量使用原来的 围墙，由题图可知，应尽量利用围墙的段和 段，也就是说矩形菜地的两条边， 一边在射线上，另一边在射线上.设矩形菜地在射线上的边长为，则 可能小于等于的长，也有可能大于 的长，所以分成两种情况进行讨论. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 11.【2024山东滨州中考】春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营 成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价 （单位：元 /张）之间满足一次函数关系（，且 是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价 （元/张） 40 50 售出电影票数量 （张） 164 124 （1）请求出与 之间的函数关系式； 【解】设与之间的函数关系式是.由表格可得 解得 即与之间的函数关系式是（，且 是整 数）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 （2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为（单位：元），求 与 之间的函数关系式； 【解】由题意可得，，即 与 之间的函数关系式是（，且 是整数）. （3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【解】由（2）知 ， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时 . 答：该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4 560元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 考点4 二次函数中的存在性问题 12.【2024四川凉山州中考】如图，抛物线与直线 相交 于，两点，与轴相交于另一点 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 （1）求抛物线的表达式； 【解】把代入，得，.把， 代入，得解得 抛物线的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 26 （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与，重合），过点 作直线 轴于点，交直线于点，当时，求 点坐标； 【解】由题意可设，则， ， ，解得或 （不合题意，舍去）， ，点坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 27 （3）抛物线上是否存在点使的面积等于 面积的一半？若存在，请 直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.的坐标为，或，或， 或 ， . 过作轴,交直线于，如图.在 中， 令，得，解得或 ， ，， ， .设 ，则 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 ，的面积等于 面积的一半， ， ， 或，解得 或 ，的坐标为，或， 或 ，或， . 关键点拨 解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.【2024山东烟台中考】如图,抛物线与轴交于, 两点，与 轴交于点,,,对称轴为直线,将抛物线绕点 旋转 后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线 . （1）分别求抛物线和 的表达式; 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 【解】设直线与轴交于点.由题意得 对称轴为直线 ， ，,，，.将,, 的坐标分别代入 ，得 解得 ， 抛物线 的顶点为 抛物线绕点旋转 后得到新抛物线， 抛物线 的 顶点为，的表达式为，即 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 图（1） （2）如图（1）,点的坐标为,动点在直线 上, 过点作轴与直线交于点,连接, ,求 的最小值; 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 图（1） 【解】如图（1）,将点向右平移2个单位至 ，则 ，，作点关于直线的对称点 ，连接 ,,， . ， 直线 的表达式为 轴， .对于抛物线 ，令，则， 点与点关于直线对称， 点 轴，， 四边形为平行四边形， ， ， 当, , 三点共线时， 取得最小值，为 的值. ，的最小值为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 图（2） （3）如图（2）,点的坐标为,动点在抛物线 上， 试探究是否存在点,使 ?若存在，请直接写 出所有符合条件的点 的坐标；若不存在,请说明理由. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 图（2） 【解】存在，或.①当点在直线右侧抛物线 上时，如图（2）. 抛物线， 轴， ，.作关于直线 的对称点，由对称得,则点在直线上. 点 的坐标 为，直线，.设直线 的表达式为 ，将，代入,得 解得 直线的表达式为 .联立得 解得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 图（3） ②当点在直线左侧抛物线上时，延长交轴于点 ，作 的垂直平分线交于点，交轴于点，连接，过点 作轴于点，则 ，如图（3）. 垂直平分，， ， , ， .由点,,得 , ，， ， ，.设,则， ， .在和 中，由勾股定理得 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 ，，解得 或 （舍去）,， ， .设直线的表达式为 ，将点 ，的坐标代入，得解得 直线 的表达式为.联立得 解得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示 线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 章测 一、选择题（共30分） 1.关于的函数是二次函数，则 的值是( ) A A.2 B.4 C.或2 D. 或4 【解析】 关于的函数是二次函数， 且 ，解得 ，故选A. 易错警示 根据二次函数的定义求字母的值时，要注意二次项的系数不等于零.综上所述， 或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 2.【2023湖南邵阳期中】如图，已知关于的一元二次方程 的两 根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②内，区域均含端点，则 的值可能是 ( ) C A. B.0 C.1 D.2 【解析】 关于的一元二次方程 的两根在数轴上对应的点分别 在区域①和区域②内，区域均含端点，设两个根分别为,, ， 抛物线的对称轴是直线，抛物线与 轴的两 个交点关于对称轴对称， 的值可能为1.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 3.【2023湖南张家界质检】二次函数和一次函数 ，都是常数，且 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】选项A，B，D，由一次函数的图象可知，.当， 时， 抛物线的开口向上，与 轴交于负半轴，且一次函数与二次函数的图象交于点 ，对称轴为直线 ，故选项A正确，选项B和选项D错误.选项C， 由一次函数的图象可知，.当，时，抛物线与 轴交于正半轴， 选项C错误.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 4.【2023河北中考】已知二次函数和（ 是常数）的 图象与 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个 函数图象对称轴之间的距离为( ) A A.2 B. C.4 D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 【解析】， 其图象与轴交于点 ， ， 其图象与轴交于点 ， 这四个交点中每相邻两点间的距离相等，为与 的中 点，，解得,（舍去）； ，解得 ，（舍去），的图象的对称轴为直线 ， 的图象的对称轴是轴， 这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 5.在平面直角坐标系中，对于点和 ，给出如下新定义，若 则称点是点的限变点，例如：点 的限 变点是，点的限变点是.若点 在二次函数 的图象上，则当时，其限变点的纵坐标 的取值范 围是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知,当时，， 当 时，;当时，， 当时，， 当时，其限变点的纵坐标 的取 值范围是 .故选D． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 6.【2023山东聊城中考】已知二次函数 的 部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线 .下 列结论：；②若点， 均在二次函数图象 上，则；③关于的一元二次方程 有两个 相等的实数根；④满足的 的取值范围为 .其中正确结论的个数为( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 【解析】 抛物线对称轴为直线，，即 当 时， ，，故①错误. 抛物线开口向下， 在对称轴的 右侧随的增大而减小.关于直线对称的点为，且 ， ，故②正确.由图象可知抛物线与直线 有两个交 点， 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故③错 误.关于直线对称的点为， 由图象可知，满足 的的取值范围为 ，故④正确.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 二、填空题（共30分） 7.将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线 的表达式是________________. 【解析】抛物线，则它的顶点坐标为 .点 向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为 ，所 以所得抛物线的表达式为.故答案为 . 技巧点拨 抛物线平移后求表达式，一般应化为顶点式求解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 8.【2024浙江二模】如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两条抛 物线的一部分组成的，且关于轴对称.其中半圆与轴相交于点 ，两条抛物线的 顶点分别为，，与轴分别相交于点，.已知，， ， 则图案中 这段抛物线的函数表达式为_________________________________. （第8题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 【解析】记与轴的交点为，且半圆关于 轴对称， ，，则这段抛物线的顶点 的坐标 为， 设这段抛物线的函数表达式为. ，点 ，关于轴对称，.将点坐标代入得 ， .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 （第9题图） 9.【2023湖南长沙岳麓区调研】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点 .若 ,则 的值为____. 【解析】设，， ，则 ，， ， ，，， ，即 .根据根与系数的关系可知，， ，故答案 为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 10.【2024湖南岳阳调研】如图，菱形的边长为8， ，点是 上一动点（不与点，重合），点是上一动点，且，则 面积的最大值为_____. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 【解析】过点作交的延长线于点，如图. 菱形 的边长为8， ， ， ， .设 ， ， ， ， 在 中， ， . ， 当时，的面积最大，最大值为 . 故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 11.定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫作 “整点”．如：,都是“整点”．当抛物线 与其关于轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时， 的取 值范围是__________. 【解析】当时，抛物线 开口向上，封闭区 域如图所示.当封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，易知整 数点为,,，,,，, , ,则解得,故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 三、解答题（共40分） 12.【2023湖南长沙期末】在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上. （1）该抛物线的对称轴为__________. 直线 【解析】将代入得， 抛物线经过 点 在 抛物线上， 抛物线对称轴为直线，故答案为直线 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 （2）已知，当时，的取值范围是，求 ， 的值. 【解】由（1）得抛物线对称轴为直线， ， ，当时， 的取值范围是 ， 当时，，抛物线顶点坐标为 ， ，解得 ， ， 当时， .当 时，或.又， 当 ，解得 ，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 （3）在（2）的条件下，是否存在实数，满足当时， 的取值范围 是.若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， 当 ， 时，，时， ， ；当，即,时，， 时， ， 此时方程组无实数根；当 时，有最小值，与题中的最小值不符.综上所述， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 13.某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场 调查，得出每天销售量（件）是每件售价（元）（ 为正整数）的一次函数，其 部分对应数据如下表所示： 每件售价 （元） … 15 16 17 18 … 每天销售量 （件） … 150 140 130 120 … （1）求关于 的函数表达式. 【解】设关于的函数表达式为.由表可知，当 时， ，当时，，则解得关于 的 函数表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 （2）若用（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求关于 的函 数表达式. 【解】由题意可得， 关 于的函数表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 （3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大? 最大利润是多少元？ 【解】 对称轴为直线，，是整数， 当 或21时，有最大值，最大值为900， 该工艺品每件售价为20元或21元时， 工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元. 易错警示 求二次函数的最大值时，要注意自变量的限制条件，如本题中 是整数. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 14.【2023湖南邵阳中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经 过点和点，且与直线交于，两点（点在点 的右 侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为 . 备用图 备用图 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 （1）求抛物线的表达式. 【解】把，代入，得 解得 抛物线表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 （2）过点作轴的垂线，与抛物线交于点.若，求 面积的最大值. 【解】 抛物线与直线交于， 两点 （点在点 的右侧）， 联立得解得 或 ， 点为直线 上的一动点，横坐标为，，， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 ， ， ， 当时，取最大值，为， 面积的最大值是 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以，，， 为 顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 的坐标. 【解】在中，令得 ， .已知，设 . ①当，为对角线时，，的中点重合，且 ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 64 解得当，为对角线时，， 的中点重合，且 ，解得或 的坐标为 ，或， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 ③当，为对角线时，，的中点重合，且 ， 解得或 的坐标为，或， . 综上所述，的坐标为或或或 或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 66 思路分析 （3）求出，已知，设，分三种情况：①当， 为 对角线时，，的中点重合，且；②当，为对角线时， ， 的中点重合，且；③当，为对角线时，， 的中点重合， 且 ，分别列方程组求解即可得到答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 67 $$