第1章 大招专题2 二次函数图象中的交点问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第1章 二次函数 4 大招专 题2 二次函数图象中的交点问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招4 确定图形找临界状态 1.【2023山东临沂期中,较难】如图,已知抛物线的顶点为，与 轴的交 点为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）请直接写出 的表达式； 【解】的表达式为 抛物线的顶点为 ， 设抛物线的表达式为 . 把代入得 ， ， 抛物线的表达式为，即 . （2）若直线与有唯一的交点，求 的值； 【解】由得 . 直线与 有唯一的交点， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （3）若抛物线关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作 .试结 合图形回答：当为何值时，与和 共有：①两个交点?②三个交点?③四个交点? 【解】 抛物线关于轴对称的抛物线记作， 抛物线的顶点坐标为 ， 与轴的交点为， 抛物线的表达式为.①当直线 过抛 物线的顶点和抛物线的顶点时，即时，与和 共有两个 交点.②当直线过，即时，与和共有三个交点.③当 或时，与和 共有四个交点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 大招解读 确定图形找临界状态 （1）根据已知条件画出确定的图形； （2）将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置（常见位置:①二次 函数图象顶点;②图象交点;③与二次函数图象的切点）； （3）联立直线和抛物线的表达式得一元二次方程,利用 求解； （4）临界位置之间的部分即为满足题意的部分. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 子题练变式 与坐标轴的交点问题 2.【2024陕西西安校级模拟，中】抛物线 与坐标轴有且仅有两 个交点，则 的值为( ) D A.3 B.2 C.2或 D.2或3 【解析】抛物线 与坐标轴有且仅有两个交点，分两种情况讨 论:当与轴有一个交点，与轴有一个交点，且不重合时，令 得 与轴有一个交点，，解得 ;当 与轴有两个交点，且其中一个交点与 轴交点相重合（即过原点）时，此时 ，.综上, 的值为2或3.故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 子题练变式 与平行于坐标轴的直线交点问题 3.【2023湖北孝感孝南区期中,中】已知二次函数 ，将该二次函数 图象在轴上方的部分沿轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图 象，如图所示,点为抛物线 的顶点翻折后的对应点，当直线 与新图象有2个交点时， 的取值范围是( ) C A. B.或 C.或 D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 【解析】当直线与 轴重合或位于点A的下方时，直线与新图象有2个交点. 当直线与轴重合时，；当直线在点A的下方时， 抛物线 的顶点坐标为,，故点，， 此时 .综上所述，的取值范围是或 .故选C. 关键点拨 此类型题目采用数形结合思想，结合图形，找出临界位置可得答案.本题中，当直 线与轴重合或在点 的下方时，直线与新图象有2个交点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 子题练变式 与一次函数图象的交点问题 4.【2023浙江舟山校级质检,较难】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，将向右平移4个单位长度，得到抛物线，过点作 轴的 垂线，交于点，交于点，为与 的纵坐标中的较小值（若二者相等则 任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形.若直线 与图形 恰好有4个交点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 【解析】 抛物线，将向右平移4个单位长度，得到抛物线 ， 抛物线的表达式为 . 联立解得 两抛物线的交点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 由题意得图形 如图所示. 把代入，得，解得.当直线与 只有一个交 点时，，即 有两个相等的实数根， ，解得. 直线与图形 恰好有4 个交点， 结合图形可知， .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 思路分析 求得平移后的抛物线的表达式，联立两个表达式求得两抛物线的交点坐标为 ， 再由题意画出图形 ，利用数形结合解题即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 母题学大招5 端点值代入法 5.【2024江苏泰州质检，中】二次函数的图象经过点 和 .直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点 ，若抛 物线与线段只有一个公共点，求 的取值范围． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 图（1） 【解】设直线的表达式为.把点 和 代入得 解得 直线的表达式为 . 把代入，得，，由平移得 二次 函数的图象经过点和 , 解得 . ①当时，若抛物线与线段 只有一个公共点，如图（1）， 则抛物线上的点在点的下方， ，解得 ， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 图（2） ②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段 只有一个公共点．如图（2）,,即 ， 解得或 . 综上，的取值范围是或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 大招解读 端点值代入法 （1）确定由抛物线和线段所在直线的表达式得到的方程； （2）抛物线与线段仅有一个交点 时： 情况1：如图（1）,满足条件且 . 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 情况2：如图（2）,满足条件且时，；时， . 图（2） 情况3：如图（3）,满足条件且时，；时， . 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 子题练变式 6.【2024河北唐山期中，中】在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，点，.若二次函数 的图 象与线段有两个不同的交点，则 的取值范围为___________________． 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 图（1） 【解析】①如图（1），当 时，抛物线对称轴为直线 , 时， ，解得 ， ; 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 图（2） ②如图（2），当时， 点，，设直线 的表达式为，解得 直线 的表达式为.令 ，整理得 二次函数 的图象与线段 有两个不同的交点，，且 时， ， . 综上,的取值范围为或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 $$