第二十七章 专题5 相似三角形与几何变换的综合-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第二十七章 相似 4 专题5 相似三角形与几何变换的 综合 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 平移变换中的相似问题 1. 【2024新疆乌鲁木齐一模，中】如图，在 中，，于点， ， ，点从点出发，在线段 上以每秒3个单 位长度的速度向点匀速运动，与此同时，垂直于 的直线从底边出发，以每秒2个单位长度的速度沿 方向匀速平移，分别交 ，，于，，，当点到达点时，点与直线 同时停止运动，设运 动时间为秒 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 7 （1）_______，________（用含 的式子表示）. 【解】根据题意可知，，， ， ，即，解得.故答案为, . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 8 （2）在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当 的面积最 大时，求线段 的长. 【解】如图（1）， ， 当时，取最大值，最大值为10，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 9 （3）是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，请求出此时 的值； 若不存在，请说明理由. 【解】存在，分三种情况：①若 为直角顶点，如图（2）. 此时，，， ， ， ， ，，即 ，此比例式不成立，故不 存在这种情况. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 10 ②若 为直角顶点，如图（3）. 此时，，， ， ，， ，即 ，解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 11 ③若 为直角顶点，如图（4）. 过点作于点，过点作于点 ，则 ， ， ,，即，解得 ， ， ， , ，即，解得 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 12 ， ， ,解得或 （舍去）. 综上，当或时， 为直角三角形. 易错警示 （3）题中并未说明 的直角顶点，故要注意分情况讨论，不要漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 类型2 对称变换中的相似问题 2.【2023江苏扬州调研，中】如图，在矩形中，，，点 是边 上的一动点，连接 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 14 （1）若将沿折叠，点落在矩形的对角线上点处，试求 的长； 图（1） 【解】①如图（1），当点落在对角线上时，设 .在 中，， ， ，.在 中， ，即，解得， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 15 图（2） ②如图（2），当点落在对角线 上时，由折叠的性质可知 , , .又 , ， ，．综上，的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 16 （2）当点运动到边的中点处时，过点作直线交于点，将与 分别沿与折叠，点与点重合于点处，连接，请直接写出 的长． 图（3） 【解】.如图（3），作于 ．由折叠的性质可知 ，， , ， , 点，， 共线. 设.在中， ,即 ，解得， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 17 .，, ， ，，， .在 中， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 思路分析 （1）①当点落在对角线上时，设 ,利用勾股定理构建方程即可 解决问题； ②当点落在对角线 上时，利用相似三角形的判定与性质即可解决问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 19 类型3 旋转变换中的相似问题 3.［难］将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为 ，连接 ，过点作垂直于直线，垂足为点，连接， . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 20 （1）如图（1），当 时，的形状为________________ ， 的值 为____. 等腰直角三角形 【解】连接绕点逆时针旋转至， ， ， ， 是等边三角形， , . ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 21 ， ， 是等腰直角三角形. 四边形 是正方形， ， 易得 ， 同理可得， . ， ， ， ， . 故答案为等腰直角三角形， . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 （2）当 且 时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图（2）的情形进行证明； 如果不成立，请说明理由. 【解】 中的两个结论仍然成立. 证明：连接 . ， ， . ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 23 ， ， 是等腰直角三角形， 易得 . 四边形 是正方形， 易得， ， . ， ， 即， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 的值. 【解】 或1. 如图（1），若为平行四边形的对角线，点在以为圆心， 长为半径的圆上， 取的中点，连接交于点，连接 . 同（1）可知是等腰直角三角形， 易得 .同（1）可知 ，则 . . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 25 若为平行四边形的一边，如图（2），点与点重合，综上， 的值为3或1. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 26 思路分析 （1）连接.由旋转的性质得出， ，证得 是等边 三角形，可得出是等腰直角三角形，再证明 ，即可求解. （2）①得出 ，则 是等腰直角三角形，证明 ，由相似三角形的性质即可求解； ②分两种情况，分别画出图形，由平行四边形的性质可得出答案． 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 27 $$