第二十七章 大招专题4 相似三角形的常见辅助线的作法-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第二十七章 相似 4 大招专 题4 相似三角形的常见辅助线 的作法 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招11 作平行线 1.［中］如图，在边长为6的正方形中， ， ，连接和交于点，求 的长． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解】如图，作，交于点 . 在边长为6的正方形中，， ， ,， ， . , ， .， . ，， ， 即， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 大招解读 作平行线 如果题目中的线段有比例（或数量）关系,且已知线段和所求相关线段能放在“A 字型”或“8字型”相似三角形中,那么可在成比例线段的端点作平行线构造“A 字型”或“8字型”相似模型. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 2.【2023河北邢台质检，中】如图，在中，，为边 上的一 点，，取的中点，连接并延长交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （1）求 的值. 【解】如图，过点作交于，则 是 的中点，.在和 中， ， ， . ，，， 的值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）若，那么所在的直线与边 有怎样的位置关系？证明你的结论. 【解】.证明：若，则.由（1）知 ，解得 ， 点是的中点.， . （3）点能否成为的中点？若能，求出相应的 的值；若不能，说明理由. 【解】不能.理由如下：假设点能成为的中点，则， .由（1） 知，解得，这与相矛盾， 点不能成为 的中点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 思路分析 （1）过点作交于 .根据两直线平行，内错角相等可得 ，根据对顶角相等得 ，再根据中点定义可得 ，然后利用“角边角”证明和 全等，根据全等三角形对应 边相等可得，然后求出，再证明和 相似，根据相似三角形 对应边成比例即可得到，从而得到 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 母题学大招12 作延长线 3.［中］如图,在平行四边形中,连接,点是上一点, , ,且 ,若,求 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解】如图，延长，交于点 . 在平行四边形中, ， ， ， . ， 设, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 ，，即 , ，， . , , ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 大招解读 作延长线 如果题目中的线段有比例（或数量）关系和平行关系,且已知线段和所求相关线段 能放在 “8字型”相似三角形中,那么可延长平行线使其与另一条延长线相交构造 “8字型”相似模型. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 子题练变式 4.【2024福建三明期中，中】在矩形 中， ，，点是边的中点，是 边上一 动点（点不与点，重合），线段与 相交于点 . （1）如图（1）,若，求 的长； 【解】 在矩形中， ， ， , , ,.，，点是边 的中点， ，,解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）如图（2）,连接交于点，若，求 的长. 【解】如图，延长，交于点 . ， ， . 在中，，， 由勾股定理得 . ， , 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 ,即,解得 . ,, . ,, . ,,., , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 母题学大招13 作垂线 5.［中］如图,在中, ,,,点为 边上一点,且 ,连接,过点作交边于点,求点到 的距离. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解】如图,过点作于点 ， ， ， , ，, ， .,, , , ，, ， ，即.设 , , ,, ， ，， 点到的距离为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 大招解读 作垂线 适用情形：①题目中所求线段与垂线有关；②题中已有 角或垂直关系，且已 知线段和所求相关线段能放在相似三角形中,可借助作垂线构造“A字型”或“一 线三垂直型”相似模型. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 子题练变式 6.［中］如图，中， ，，分别在边，上，， 相交于 ，给出下列信息： 平分；； ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条信息作为结论组成 一个命题．试判断这个命题的真假，并说明理由．你选择的条件是______，结论 是____（只填序号）． ②③ ① 【解析】（答案不唯一）选择的条件是②③，结论是①.该命题是真命题.理由如 下： ， ， . ,, ， ， ，平分 ． 故该命题是真命题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （2）在（1）的情况下，若，，求 的长． 【解】如图，作于平分 ， ， ． 在中， ．设 , , , ，，解得, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 思路分析 （2）作于，由角平分线性质可得，再通过勾股定理求出 的 长，设,证明 ，根据相似三角形对应边成比例列出方 程，即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 母题学大招14 作与中点相关的线段 7.［中］如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点，交 于点，，，，求 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解】如图，取的中点，连接 . 为的中点，为 的中点， 为的中位线， . 在平行四边形 中， , , , ,,, ,即 , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 大招解读 作与中点相关的线段 适用情形：①如果题目中有中点，那么可过中点作已知三角形的中位线，构造相 似三角形模型；②如果题目中无中点，但已有直角三角形（垂直关系）和多条相 等线段，且已知线段和所求相关线段能放在三角形中,那么可作直角三角形斜边上 的中线，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到线段之间的数量关系， 再利用等边对等角得到角之间的数量关系，从而证得三角形相似，利用相似三角 形的性质解题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 子题练变式 8.［中］如图，在中，，于点，点在 边上，若 ，求 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 【解】取的中点，连接 . ，， . 又, , , ， .， ， .① 易证, , .② 由①②得,解得或0（不合题意，舍去）, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 $$