第二十七章 大招专题3 相似三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)
2024-12-11
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教辅
内容正文：
数 学
九年级下册 RJ
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第二十七章 相似
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大招专
题3
相似三角形判定的常考模型
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刷难关
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难关
母题学大招6 A字型
1.【2024北京昌平区期中，中】如图，在中，，，点为
中点，点在上，当为_____时，与以点，， 为顶点的三角形相似.
3或
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【解析】为中点，.当时， ，
，；当时， ，
，.综上，或.故答案为3或 .
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关键点拨
先得到，再分与两种情况讨论即可解答
大招解读 A字型
正A字型 斜A字型（共角） 斜A字型（共边）
______________________
已知： ；
结论： _____________________
已知： ；
结论： _______________________
已知： ；
结论：
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子题练变式
2.［较难］中，， ，过
上一点作，，分别交，
于点， .
（1）如图（1），求证： .
【证明】，，，， .
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（2）如图（1），若四边形是菱形，求 的长.
【解】设 四边形是菱形， ，
，，，即 ，解得
，即的长为 .
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（3）如图（2），若以，，为顶点的三角形与相似，求 的长.
【解】设，则，， ,四边形
为平行四边形，， ，
,，即，则， ，
， 当时，， ，
即，解得；当时，，即 ，解得
（舍去）或.综上所述，的长为或 .
易错警示
注意本题（3）中两个三角形未用相似符号连接，所以需要分情况讨论，不要漏解.
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母题学大招7 8字型
3.【2024重庆沙坪坝区调研，中】如图，在边长为 的
菱形中， ，过点作于点 ，现
将沿直线翻折至的位置，与 交于点
，则 等于_______.
【解析】在中， ，， ，由勾股定理得，
.根据翻折性质可得，. ，
，.设，则，解得 ，故答
案为 .
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大招解读 8字型
正8字型 斜8字型（蝴蝶型）
____________________________
已知： ；
结论： __________________________
已知： ；
结论：
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子题练变式
4.【2023安徽六安校级期末，较难】如图，在矩形中，，交于点 .
（1）作于点，求证：点是线段 的二等分点；
【证明】 四边形是矩形， 点为的中点， ，
，，，， 点是 的二等分点.
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（2）连接交于点，作于点，求证：点是线段 的一个三等分点；
【证明】，，是的中位线， ，
.
，，，，， .
， .
点是 的一个三等分点.
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（3）你能在图中作出线段 的一个四等分点吗？
【解】能.如图所示，过点作于点，连接交于点，过点 作
于点，则点为 的一个四等分点.
刷有所得
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
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母题学大招8 手拉手型
5.【2024四川成都双流区质检，较难】如图，在和 中，
，，为的中点，， .将
绕点旋转，直线，交于点，连接，则 的最小值是 _________.
（第5题图）
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【解析】如图，取的中点，连接， ，则
，， ，
. ， ，
， ，
， ，
， ，
， .又为 的中点，
.为的中点，为的中点，， 的最
小值为.故答案为 .
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思路分析
取的中点，连接，，则.由题意可知， ，
进而可得，所以 ，根据四边形内角和可得
，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出
的长，根据中位线定理可得的长，由此可得结论
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大招解读 手拉手型
和共顶点 ，通过两边成比例且
夹角相等或利用旋转构造等角来判定三角形
相似.常见模型如下:
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子题练变式
6.【2024陕西汉中质检，较难】如图，已知正方形的边长为2，对角线 ，
相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线
时， 的长为 _______________.
或
（第6题图）
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【解析】①当在的上方时，， 是等腰直角三
角形， .
， ，
， ，
， .
，， ，
，， .
②当在的下方时，如图所示.同理可证 ，
.， ，
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.， ，
，，， .综上
所述,的长为或 .
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母题学大招9 一线三等角型
7.［中］如图，正方形边长为4，，分别是， 上
的两个动点，当点在上运动时，保持和 垂直，设
.
（1）求证： ；
【证明】在正方形中，， ，
， .在 中，
，， .
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（2）当点运动到什么位置时？求此时 的值.
【解】 ， 要使，必须有 .由
（1）知，， 当点运动到 的中点时，
，此时 .
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大招解读 一线三等角型
如图，已知，，三点共线，且 .
（1）点在线段 上:
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（2）点在线段 的延长线上:
结论： .
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子题练变式
8.【2023福建福州校级期末，较难】如图，在中，点，分别在边 ，
上，连接，，且 ．
（1）求证： ；
【证明】由题图，得 .在 中，
,, ,
．
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（2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且
是等腰三角形时，求 的长．
【解】， ，
是等腰直角三角形， .
， .
①当时， ， ，
， . 点在上运动（点不与， 重
合）, 此情况不符合题意．
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②当时，如图（1）， .
由（1）易证 ，
， ．
③当时，如图（2）， ， 是等腰直角三角
形. , ，即 ，
．
综上所述， 或1．
关键点拨
（2）当是等腰三角形时，注意分，， 三种情况
进行讨论.
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母题学大招10 射影定理（子母型）
9.［中］如图，在中， ，是斜边 上的高.
（1）求证： ；
【证明】， ，
.又 ， ，
.
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（2）求证： ；
【证明】 ，，， ，即
.
（3）若，，求 的长.
【解】， ，
，，， .
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刷有所得
在任意直角三角形中过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和原
直角三角形相似 .
大招解读 射影定理（子母型）
基本模型 结论
_________________________________
中，
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子题练变式
10.【2024安徽六安调研，较难】如图， 中，
，，点，分别为， 的中点，
于点 .
（1）求证： ；
【证明】， ，
， ， ，
，， .
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（2）求 的大小；
【解】如图，过点作，交的延长线于 点是 的中点，
.又 ，， ，
，，.又 ，
，， ，
.
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（3）若，求 的面积.
【解】如图，， ，
，，，.
点，分别是，的中点，，， ，
.又，， ，
，.， ，
，，，， 的面积为
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思路分析
（3）通过证明，可得，进而可求，由可求 ，
证明，得，可求 ，由三角形面积公式可求解.
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