第二十六章 反比例函数 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第二十六章 反比例函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 反比例函数的图象与性质 1.【2024广东广州中考】函数与 的图象如 图所示，当( ) 时，，均随着 的增大而减小． D A. B. C. D. 【解析】由函数图象可知，当时，随着 的增大而减小； 的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，均随着 的增大而减小， 当时，，均随着 的增大而减小，故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 2.【2024天津中考】若点,,都在反比例函数 的图象 上，则,, 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】， 反比例函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象 限内随的增大而减小. 点,都在反比例函数 的图象上， ，在反比例函数的图象上， ， ， .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 3.【2024江苏扬州中考】在平面直角坐标系中，函数 的图象与坐标轴的交 点个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】当时，， 函数的图象与轴交于点 ；当 时，，此方程无解， 函数的图象与轴无交点， 函数 的图象与坐标轴的交点个数是1.故选B. 易错警示 与坐标轴的交点既要考虑与轴的交点,也要考虑与 轴的交点，不要漏解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 4. 开放性试题【2024湖北武汉中考】某反比例函数 具有下列性质：当 时，随的增大而减小.写出一个满足条件的 的值是_________________. 1（答案不唯一） 【解析】对于反比例函数，当时，随的增大而减小，则， 的值可以是1.故答案为1（答案不唯一）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 5.【2024内蒙古包头中考】若反比例函数，，当 时，函数 的最大值是，函数的最大值是，则 __. 【解析】对于函数，当时，随的增大而减小， 时， .对于函数，当时，随的增大而减大， 时，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 6.【2024河南中考】如图，矩形 的四个顶点都在 格点（网格线的交点）上，对角线,相交于点 , 反比例函数的图象经过点 . （1）求这个反比例函数的解析式. 【解】 反比例函数的图象经过点，， ， 这个反比例函数的解析式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 的三个格点，再画出反比例函数 的图象. 【解】对于，当时，，当 时，，当时，， 反比例函数 的图象经过点，， ，画出图 象如下： 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 （3）将矩形向左平移，当点 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距 离为__. 【解析】 四边形是矩形，,, 点 向左平移后，落在反比例函数的图象上， 平移后点 对应点 的纵坐标为4，当时，，解得， 平移的距离为 .故答案 为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 考点2 反比例函数中 的几何意义 （第7题图） 7.【2023广西中考】如图，过的图象上点 ，分别 作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 ，，，，若，则 的值为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 【解析】设.在中，令得，令得 ， ，，. 易得. ， ，，解得，经检验， 是分式方程的解， 符合题意，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （第8题图） 8.【2024黑龙江齐齐哈尔中考】如图，反比例函数 的图象经过平行四边形的顶点，在 轴上，若点 ，，则实数 的值为____. 【解析】延长交轴于点， ， ，， ， ，， 反比例函数 的图象在第二象限，．故答案为 ． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 考点3 反比例函数的实际应用 9.【2024河北中考】节能环保已成为人们的共识，淇淇家计划购买500度电，若平 均每天用电度，则能使用 天.下列说法错误的是( ) C A.若,则 B.若,则 C.若减小，则也减小 D.若减小一半，则 增大一倍 【解析】 淇淇家计划购买500度电，平均每天用电度，能使用 天， ，.当时， ，故A选项不符合题意；当 时，，故B选项不符合题意；，， 若 减小，则 增大，故C选项符合题意；若减小一半，则 增大一倍，表述正确，故D选项不符 合题意.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 10.【2024湖南中考】在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长 成反比例关系， 即为常数,，若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则 的值为_____. 180 【解析】把，代入为常数,，得 ，解得 ，故答案为180. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 11.【2023吉林中考】笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长 （单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化.已知波长 与 频率 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 10 15 50 波长 30 20 6 （1）求波长 关于频率 的函数解析式. 【解】设波长 关于频率的函数解析式为.把 代入上式，得 ，解得， 波长 关于频率的函数解析式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 （2）当时，求此电磁波的波长 . 【解】当时， . 答：当时，此电磁波的波长 为 ． 易错警示 在利用待定系数法求解析式时，首先要明确函数类型，根据已知的函数类型准确 设出函数解析式. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 考点4 反比例函数的综合 12.【2024四川泸州中考】已知关于的一元二次方程 无实数 根，则函数与函数 的图象交点个数为( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 关于的一元二次方程 无实数根， ，解得，则函数 的图象经过第二、四象限. 函数的图象分布在第一、三象限， 两个函数的图象没有交点．故选A． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 13.【2023山东烟台中考】如图，在直角坐标系中，与 轴相切 于点，为的直径，点在函数 的图象 上，为轴上一点，的面积为6，则 的值为____. 24 【解析】连接与等高， ， 的面积为6， ， ， .故答案为24. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 14.【2024四川凉山州中考】如图，正比例函数 与反比 例函数的图象交于点 . （1）求反比例函数的解析式； 【解】 点在正比例函数的图象上，，解得 ， 在反比例函数的图象上，， 反比例函数 解析式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点 ，连接 ,，求 的面积. 【解】把直线 向上平移3个单位长度得到的直线的解析 式为，令，则.设直线与 轴 交点为，则，连接 ，如图所示. 由题意得，, 同底等高， . 思路分析 （2）根据题意得出平移后直线的解析式，设其与轴交点为，可得 ，从 而得出 ,根据点的坐标计算即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 15.【2023贵州中考】如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，反比例函数的图象分别与， 交于点和点，且点为 的中点． （1）求反比例函数的解析式和点 的坐标； 【解】 反比例函数的图象分别与，交于点和点 ， ， 反比例函数的解析式为 四边形 是矩形， 且为的中点，， 点的纵坐标为2.把代入,得 ，解 得， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点 在反比例函数图象上，之间的部分时（点可与点，重合），直接写出 的 取值范围． 【解】 . 把代入，得，解得;把代入 ， 得，解得，的取值范围是 ． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 章测 一、选择题（共30分） 1.【2024湖南郴州质检】下列各选项中的两个变量成反比例关系的是( ) B A.圆的面积与其周长 的关系 B.王同学完成赛跑时，所用时间与他的平均速度 的关系 C.一根弹簧原长，在其弹性范围内所挂物体的质量 与弹簧拉伸的长度 的关系 D.一个容器的容积是，该容器盛满溶液时溶液的质量 与其密度 的关系 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 【解析】 A 设圆的半径为，则， 与C不是反比例关系， 不符合题意 B ，即，与 是反比例函数关系，符合题意 C （其中是重力加速度，为弹性系数），即，与 不是反 比例关系，不符合题意 D ，与 不是反比例关系，不符合题意 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 2.反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是( ) D （第2题图） A. B. C. D. 【解析】设反比例函数的解析式为 .观察函数图象可知 ，即 .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 思路分析 根据点，的坐标结合反比例函数图象的位置，即可得出 ，再对照 四个选项即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 （第3题图） 3.【2023山东泰安校级期末】如图，在平面直角坐标系中，函数 与的图象交于，两点，过作 轴的垂线，交函 数的图象于点，连接，则 的面积为( ) D A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】 正比例函数与反比例函数 的图象交点关于原点对称， 设A点坐标为，则B点坐标为， ， ．故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 （第4题图） 4.【2024山东泰安期中】如图是反比例函数 和 在轴上方的图象，轴的平行线 分别与这两个 函数图象交于，两点，点在轴上，则 的面积为 ( ) A A.3 B.6 C.8.2 D.16.5 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 【解析】如图，连接，，设交轴于 轴的平行 线分别与这两个函数图象相交于点A，B，轴. 点A，B分别在反比例函数和在 轴上方的图象 上，， ， 轴,点在轴上，与 “同底等高”， ，故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 5.【2024北京朝阳区期中】已知点，， 在反比例函数 的图象上，，有下面三个结论：①若 ，则 ；②若，则；③若，则 .所有正确结论的 序号是( ) A A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 【解析】， 该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内，随 的 增大而减小，，， 点 ， 位于第一象限内，，故①正确， ， ， 点位于第一象限内，， 位于第三象 限内，,，，故②正确，, 或,， 当,时， ， ；当,时，， ,故③错误.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 根据反比例函数的性质判断函数图象上的点的纵坐标的大小关系时，要先确定点 所在的象限. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 （第6题图） 6.【2023河北石家庄期末】如图所示，若双曲线 与 抛物线 在第一象限内所围成的区域（即图中阴影 部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个， 则 的值可能是( ) B A.1 B.2.5 C.3 D.4 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 【解析】, 结合图象易得抛物线 与 轴所围成的区域（不含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整 数）的个数是7，坐标分别为，，，，，， .要 使双曲线与抛物线 在第一象限内所围成的区域 （即题图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个， 结合图象可得，当双曲线恰好经过点时， 取临界值3，当双曲 线恰好经过点时，取临界值2， 结合图象可得双曲线 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 与抛物线 在第一象限内所围成的区域（即题图中阴 影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个时， 的取值 范围为 ，故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、填空题（共20分） 7.【2023陕西西安二模】已知直线与双曲线相交于点 ， 则 的值等于____． 【解析】 直线与双曲线相交于点， ， ，，，则．故答案为 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 8.【2024陕西西安质检】已知反比例函数且 的图象与一次函 数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积 ，请写出一 个满足条件的 值：_________________. 1（答案不唯一） 【解析】， 一次函数 的图象必定经过第一、三象限. ， 反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， 反比 例函数且的图象在第二、四象限， ， ， 满足条件的 值可以为1，故答案为1（答案不唯一）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 9.如图，若直线（为常数）与函数 的图象恒有两个不同的 交点，则常数 的取值范围是___________. （第9题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 【解析】由图象可得，直线（为常数）与函数 的图象恒有两 个不同的交点时，常数的取值范围是.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.【2023四川宜宾调研】如图， 是边长为10的等边三角形，反比例函数 的图象与边，分别交于点，（点不与点 重合）．若 于点，则 的值为_____． （第10题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 【解析】过点作轴于点，过点作轴于点 ，如图. 是边长为10的等边三角形， ， ， .设，则 ， ，， ， ， ， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 ， ， ，由勾股定理得 ， ， ，两点都在反比例函数 的图象上， ，解得或5.当 时， ，此时与重合，不符合题意，舍去， ， ，故答案为 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 归纳总结 若反比例函数图象上有未知两点，可设出其中一点的坐标，然后用这个坐标中的 字母表示出另一点的坐标，再利用两点纵、横坐标之积相等,可列出方程求解，这 种方法俗称“设坐标法”． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 三、解答题（共50分） 11.【2024甘肃酒泉期末】如图，反比例函数 与正比例 函数的图象交于点和点，点是点关于 轴 的对称点，连接， . （1）分别求出反比例函数与正比例函数的解析式； 【解】把点代入得，， 反比例函数的解析 式为.把点代入得，， 正比例 函数的解析式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 （2）结合函数图象，直接写出不等式 的解集； 【解】或 反比例函数 与正比例函数 的图象交于点和点， .根据图象得不等式 的解集为或 . （3）求 的面积. 【解】 点是点关于轴的对称点，，， , . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 12.【2023安徽宣城期末】学校下午放学时校门口的“堵 塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校 门口“堵塞”情况做了一个调查，发现每天放学时间2分 钟后校门口学生流量变化大致可以用“拥挤指数” 与放学后时间（分）的函数关系描述．如图， 分 钟呈抛物线状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函 数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．当“拥挤指数” 时，校门口呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 （1）求该二次函数的解析式和 的值； 【解】设该二次函数的解析式为.把 代入，得 ，解得， 所求二次函数的解析式为 .把点向左平移4个单位，得,将 代入 得 . （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由． 【解】超过20分钟.理由如下：令,解得 ， （舍去）.令，解得， ，而 ， “拥挤状态”持续的时间超过20分钟． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 13.如图，点，在反比例函数图象上，轴于点， 轴于 点， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 （1）求， 的值并写出反比例函数的解析式； 【解】 点，在反比例函数图象上，.① ， .② 联立①②，解得，，， .设反比例函 数的解析式为.将代入，得，则反比例函数的解析式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 54 （2）连接，在线段上是否存在一点，使 的面积等于10？若存在，求 出 点坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.如图，设，则 ， 轴， 轴， ， ， 解得，则 . 关键点拨 （2）设出的坐标，表示出，，利用 列方程求解即可． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 $$