精品解析：广西南宁市第十四中学2024—2025学年上学期八年级期中数学考试卷 -

2024-2025学年度秋季学期八年级期中学科素养检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分。） 1. 2024年巴黎奥运会项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握：①关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：D． 3. 如图，，点分别在边上，若，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由可得即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【详解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定． 故选：D． 5. 下列多项式中是完全平方式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式的结构特点及基本形式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 6. 如图，在中，，是边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， 故选：C． 7. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键； 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）一一判断，即可求解； 【详解】解：A、，该选项正确； B、，该选项不正确； C、，该选项不属于因式分解，故选项错误； D、，该选项不属于因式分解，故选项错误； 故选：A 8. 一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为：时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，这个三角形的周长是； 故选B． 9. 在下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，再判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，能求出每个式子的值是解此题的关键． 10. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，，由，可得，则，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为2， 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查坐标与图形的性质、轴对称-最短路线的问题等知识，作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，因为，，所以，，可证明，得，则，当点P与点E重合时，则，此时的值最小，所以要使的值最小，则点P的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，则， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵x轴垂直平分，且点E在x轴上， ∴， ∴当点P与点E重合时，则，此时的值最小， ∴要使的值最小，则点P的坐标为， 故选：C． 12. 如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（ ） A. 3.2 B. 10 C. 3.2或6 D. 3.2或10 【答案】D 【解析】 【分析】先可求出各节点的时间，由得出是等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出．分三种情况：当时，当时，当时，分别进行求解． 【详解】解：根据题意可得（秒），（秒），（秒），（秒），（秒）. 在中，， ∴是等边三角形， ∴． 当时， ∵，， ∴， ∴， 即 解得：． 当时，点，在边上，不符合题意； 当时， ∵， ∴点为边的中点， 即， 解得：． 综上所述，当时，的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、等边三角形的性质以及解直角三角形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分。） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，直接提取公因式即可． 【详解】， 故答案为：． 15. 如图是某种落地灯的简易示意图，为悬杆，为支杆．已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时两点之间的距离为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，且 ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时B，D两点之间的距离为， 故答案为：30． 16. 若，，为正整数，则______． 【答案】200 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键． 对进行变形可得，再计算即可． 【详解】解：∵，（m，n为正整数）， ∴ ． 故答案为：200． 17. 将矩形纸片（如图1）按如下步骤操作：（1）沿过点A的直线折叠，使点B的对应点恰好落在边上，折痕与边交于点E（如图2）；（2）沿过点E的直线折叠纸片，使与折痕重合，新的折痕交边于点F（如图3），则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质，先根据图形翻折变换的性质得出，，再根据平行线的性质得出，推出，再由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：由图形翻折变换的性质可得：，， 由得：， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为______． 【答案】3.2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3.2． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，合并同类项，掌握基础运算法则是解本题的关键． 先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据整式的混合运算先进行化简，再将，代入求解即可； 【详解】解： ， 当，时， ； 21. 如图，，，，垂足分别为，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明，即可得到结论． （2）由可得，从而可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理， （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，最后根据，可得，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 阅读材料：若，求和的值． 解：，， ，，，，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知，请直接写出和的值； （2）已知的三边长都是正整数，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 等腰三角形， 证明：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， 即， ∵a、b、c都是正整数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）将变形为，然后根据二次方的非负性求出结果即可； （2）先根据可得，求出，，，根据三角形三边关系求出，根据a、b、c都是正整数，求出即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：． 【小问2详解】 略 24. 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【问题初探】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，，．求证：． 【方法迁移】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答．） 【问题拓展】 （3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论， 如图2，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）选择①为条件，②为结论， 如图3，在取点N，使，连接， 同理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容． （1）利用证明即可； （2）（Ⅰ）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （Ⅱ）选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）如图4，在上截取，连接，先证明，再证明，则，从而可以解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： 如图4，在上截取，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【解析】 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 26. 如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． （1）如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； （2）若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】（1） ①证明：，， ， 又， ， ，， ， ， ② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：证明：①略 ② 的面积是， 则的面积是， ， 解得：， 【小问2详解】 解：点与点关于线段成轴对称， ，， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， 综上，的度数为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋季学期八年级期中学科素养检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分。） 1. 2024年巴黎奥运会项目的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，点分别在边上，若，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中是完全平方式的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个等腰三角形的一边长，一边长，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 9. 在下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（ ） A. 3.2 B. 10 C. 3.2或6 D. 3.2或10 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分。） 13. 计算：______． 14. 因式分解：________． 15. 如图是某种落地灯的简易示意图，为悬杆，为支杆．已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时两点之间的距离为______． 16. 若，，为正整数，则______． 17. 将矩形纸片（如图1）按如下步骤操作：（1）沿过点A的直线折叠，使点B的对应点恰好落在边上，折痕与边交于点E（如图2）；（2）沿过点E的直线折叠纸片，使与折痕重合，新的折痕交边于点F（如图3），则的度数为___________． 18. 如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，，，，垂足分别为，，．求证： （1）； （2）． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 23. 阅读材料：若，求和的值． 解：，， ，，，，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知，请直接写出和的值； （2）已知的三边长都是正整数，且满足，请判断的形状，并说明理由． 24. 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【问题初探】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”，，．求证：． 【方法迁移】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答．） 【问题拓展】 （3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段之间的数量关系． 25. 【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 26. 如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． （1）如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； （2）若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $