精品解析： 四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答，保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 2. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 反比例函数的图象在第（　　）． A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 二、三象限 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为4，则的面积为（ ） A. 9 B. 10 C. 25 D. 12 8. 如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 如果，那么_________． 10. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为：___________（填“>”或“<”）． 11. 如图，，，，则______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是___________． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为点，； ②过点，作直线，交于点； ③连接．若，则菱形的周长为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围． （2）若方程一实数根为，求实数的值． 16. 学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF=3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF=4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF=14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B．已知点A的纵坐标为6． （1）求k的值： （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 18. 如图，在正方形中，，点在对角线上，，连接，过点做，交线段于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）连接交于点，求的长． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，且，则的值为______． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为，则的坐标为_____． 21. 若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 22. 已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于两点（在的右侧）．是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点，若，，则_____． 23. 如图，在和中，，，为的中点，，将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 25. 如图，在锐角中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，连接．的平分线交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）试探究线段之间的数量关系； （3）若，求的长． 26. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足． （1）求的面积和的值； （2）求直线的表达式； （3）过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答，保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 3. 反比例函数的图象在第（　　）． A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 一、二象限 D. 二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，掌握，函数图象在第一、三象限是解题的关键． 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，只有一行，有两个正方形，即 故选B 【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为4，则的面积为（ ） A. 9 B. 10 C. 25 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似比等于位似比，是解题的关键． 根据比例的性质，求出位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，求出的面积即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴， ∴和相似，且相似比为：， ∴， ∴； 故选：C． 8. 如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方， 不等式组的解是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 如果，那么_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据比例的性质变形即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 10. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为：___________（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：的图象当时，y随x的增大而减小， ∵，故， 故答案为：>． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 11. 如图，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，，是解题的关键． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为点，； ②过点，作直线，交于点； ③连接．若，则菱形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可得是的中点，根据菱形的性质得出是的中点，根据三角形中位线的性质得出，根据菱形的性质即可得周长． 【详解】解：根据作图可知是的垂直平分线， ∴是的中点， ∵菱形的对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握基本作图是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程；实数的混合运算； （1）根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴， 解得： 15. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围． （2）若方程一实数根为，求实数的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系及方程的解，解题的关键是熟练掌握方程有实数根判别式大于或等于0． （1）根据方程有实数根得到判别式大于或等于0，列不等式求解即可得到答案； （2）将代入方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，，方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：若方程一实数根为，则， ， ，， 由（1）得，两个解都符合题意． 16. 学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF=3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF=4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF=14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作于点，交于点，根据证得，利用相似三角形的性质求出即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵， ， ， ， ， ， ，， ，， ∵， ， ， 即， 解得， 则 答：教学楼的高度为． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B．已知点A的纵坐标为6． （1）求k的值： （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】（1）48； （2） 点的坐标为或 ． 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入求得，再把点A的坐标代入求出； （2）以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，当是对角线时，由中点坐标公式得∶，即可求解；当是对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：设点， 把代入得， ，即点 把代入得， ； 【小问2详解】 解：∵与轴交于点， ∴， 由（1）知，反比例函数的表达式为：， 由点在反比例函数的图象上，设点， ∵，点的纵坐标为， ∴当是对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得，即点； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得 ，此时点，，， 在一条直线上，应舍去； 当是对角线时，由中点坐标公式得：， 解得 ，即点； 综上，点的坐标为或 ． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和平行四边形的性质，熟练利用用待定系数法求反比例函数的解析式、利用平行四边形的性质以及分类讨论思想求解是解题的关键． 18. 如图，在正方形中，，点在对角线上，，连接，过点做，交线段于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）连接交于点，求的长． 【答案】（1）证明：过E作于M，于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）过E作于M，于H，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）过G作于N，设，证明，求出即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过G作于N，则， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，设，，，代入原式后以达到约分的目的即可． 【详解】设，，，且， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为，则的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或解答． 【详解】解：∵点A的坐标为，以原点为位似中心将缩短，位似比为， ∴点的对应点的坐标为：或，即或． 21. 若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意得到，，再将所求式子变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程解的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 22. 已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于两点（在的右侧）．是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例数的性质，得出是解题的关键． 根据题意作出图形，得出，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ， ， ， 则， 根据对称性可得 ∴ 故答案为： 23. 如图，在和中，，，为的中点，，将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．取的中点，连接，则，当三点共线时，最小，证明，进而推出，进而得到，根据三角形中位线定理以及斜边上的中线等于斜边的一半，求出，进而求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接， 则， ∴当三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，为的中点， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元 （2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元 【解析】 【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可； （2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可． 【小问1详解】 解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得， ， 即 解得：， 答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元 【小问2详解】 解：， 即 ∵，原方程无解， ∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”． 25. 如图，在锐角中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，连接．的平分线交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）试探究线段之间的数量关系； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，得到，利用等角的余角相等，即可得证； （2）过点作，交于点，证明，得到，进而推出线段，，之间的数量关系； （3）证明，得到，利用，求出的长，进而求出的长，过点作，垂足为，证明，求出的长，进而求出的长，利用平行线分线段成比例，求出的长，进而求出的长，作，交于点，得到，求出的长，再证明，求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交于点， 则：， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 过点作，垂足为， 则：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作，交于点， 则：， ∴，即：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，正确的添加辅助线证明三角形的全等和相似，是解题的关键． 26. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足． （1）求的面积和的值； （2）求直线的表达式； （3）过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标． 【答案】（1）的面积为，的值为3 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识． （1）首先可知C的坐标，从而得出的面积，再根据，得，可得k的值； （2）由点在反比例函数上，可得，再将点A的坐标代入反比例解析式即可； （3）设，分点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数与y轴交于C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴的面积为，的值为3； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将代入一次函数得， ， ∴， ∴直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：设，则， 分以下三种情况： 当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点P为的平分线上一点，， ∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则， ∴，解得， ∴； 当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图， 同理可得，，， ∴，， ∴， ∵点P为的平分线上一点，， ∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为， ∴， 当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $