精品解析：海南省海口市美兰区海口实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二年级第一学期期中考试 数 学 (考试时间: 150分钟 试卷满分: 150分) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题： 本大题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列直线中过第一、二、四象限的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 空间三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值 D. 平面的一个法向量是 4. 在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据，且．若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 6. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离d等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 7. 在正方体中，，E为 的中点，点F满足下列结论错误的是( ). A. 若，则点F到平面的距离为 B. 若，则四面体的体积是定值 C. 若，则点F的轨迹长为 D. 若，，则存在点使得，的最小值为 8. 若平面，平面，平面， 则称点F为点E在平面内的正投影，记为 如图，在直四棱柱 中， ，，P，N 分别为，的中点，，.记平面为， 平面ABCD为， ，，，则不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 存在点H，使得 C. 线段长度的最小值是 D. 存在点H，使得平面 二、多项选择题： 本大题共3小题， 每小题6分， 共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且 ，则 B. 已知向量，不共线，若，，，则，，共面 C. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 D. 已知空间两点，，若向量，且，则 10. 在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.下列说法正确的是（ ） A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队防守技术水平更稳定 C. 甲队防守有时表现很差，有时表现又非常好 D. 乙队很少失球 11. 已知空间中的三点，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 不是直线AB的一个方向向量 B. 直线AB 的一个单位方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 三、填空题： 本大题共3小题， 每小题5分， 共15分. 12. 如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________． 13. 在直三棱柱中，，，点 P 满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为_______ 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 四、解答题： 本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l：，（）. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 17. 某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且将的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 B会场 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本． （1）求的值； （2）若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 18. 如下图，直角梯形中， , ，平面平面，为等边三角形， 分别是的中点，. (1)证明：; (2)证明：平面; (3)若,求几何体的体积. 19. 已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二年级第一学期期中考试 数 学 (考试时间: 150分钟 试卷满分: 150分) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题： 本大题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列直线中过第一、二、四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于直线过第一、二、四象限，所以，由此可判断选项 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足. 故选：C 【点睛】此题考查直线方程的性质，属于基础题 2. 如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，易知平面的一个法向量为，并计算出平面的一个法向量，然后利用计算出的值，即可得出的长度. 【详解】如下图所示，以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，由，得， 令，得平面的一个法向量为， 由题意知，解得，故选A. 【点睛】本题考查利用二面角求线段的长度，求解二面角的问题通常利用空间向量法求解，需要建立空间直角坐标系，转化为平面法向量所成的角来计算，考查计算能力，属于中等题. 3. 空间三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】由题得，，，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意得，， A： 显然，所以与不共线，故错误； B：的单位向量为，即为或，故错误； C：，故错误； D：设平面ABC的一个法向量是，因为，，所以，即，所以，所以D正确 故选：D 4. 在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，可得，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，可得， 所以， 设直线与平面所成角的为， 则. 故选：D. 5. 已知一组数据，且．若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得该组数据的众数是，以及中位数是，利用众数是中位数的倍列方程解出，进而可计算出该组数据的平均数． 【详解】，这组数据为，则该组数据的众数是， 又该组数据的众数是中位数的倍，则中位数是，即，解得， 则该组数据的平均数为， 故选：A． 6. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离d等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】欲求底面中心到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点A，B，P的坐标，及侧面的方程，最后利用所给公式计算即可． 【详解】以底面中心为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设平面的方程为，将点A，B，P的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即， 所以． 故选：B. 【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 7. 在正方体中，，E为 的中点，点F满足下列结论错误的是( ). A. 若，则点F到平面的距离为 B. 若，则四面体的体积是定值 C. 若，则点F的轨迹长为 D. 若，，则存在点使得，的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】由条件确定点的轨迹，证明点到平面的距离为点到平面的， 由此判断A，由可得点的轨迹为，结合锥体体积求法即可判断B； 由条件确定点的轨迹，由扇形弧长公式即可判断C；把沿着进行翻折， 使得，，，四点共面，结合平面几何知识可求的最小值，判断D. 【详解】 对于A，如图，取线段，的中点，， 连接， 则，，因为，， 所以， 则，又， 所以点的轨迹为线段，因为，，所以， 平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 又为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， 连接，，记其交点为，因为底面是正方形，所以， 由已知平面，平面，所以， ，，平面，所以平面， 又，所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为，故A错误； 对于B，连接，由得点在线段上， 在正方体中，，又， 所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值，所以四面体的体积是定值，故B正确； 对于C，在正方体中，平面， 又点满足， 则在平面内，又，则， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆弧，又， 则点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，若，，则点与点重合， 在正方体中，平面，又平面， 则，即， 把沿着进行翻折，使得，，，四点共面， 此时有最小值，此时， 又，所以在中， 由余弦定理得， 解得，即的最小值为，故D正确； 故选：A 8. 若平面，平面，平面， 则称点F为点E在平面内的正投影，记为 如图，在直四棱柱 中， ，，P，N 分别为，的中点，，.记平面为， 平面ABCD为， ，，，则不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 存在点H，使得 C. 线段长度的最小值是 D. 存在点H，使得平面 【答案】B 【解析】 【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于B，依据，则，从而可判定H的存在性；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于选项D，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置； 【详解】对于A：因为为直四棱柱，， 所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接PQ， 则，，，，， 故，， 所以，即Q，B，N，P四点共面， 若，则，解得，A正确； 对于D：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即， 过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得， 则，，，， 故，，，， 易得是平面的一个法向量，若平面， 则，即，解得，符合题意， 所以存在点H，使得平面，D正确， 对于C：， 当时，取得最小值，最小值为，C正确. 对于B：若，则， 得，无解，所以不存在点H，使得，B错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据题意可知在平面上，然后建立坐标系，根据投影表示所需要点的坐标，然后利用坐标计算即可. 二、多项选择题： 本大题共3小题， 每小题6分， 共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且 ，则 B. 已知向量，不共线，若，，，则，，共面 C. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底 D. 已知空间两点，，若向量，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由向量共面的判定方法直接判断；对于B，由向量共面的判定方法直接判断；对于C，按照基底的定义直接判断；对于D，计算出，即可判断. 【详解】对于A，根据向量共面的判定方法，只需，即，故A正确； 对于B，因为已知向量，不共线，且，，， 设， 则，解得， 所以，所以，，共面，故B正确； 对于C，按照基底的定义，不共面的三个向量才能作为基底， 因为，所以不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，因为空间两点，，所以， 又向量，且，所以，故D错误. 故选：AB 10. 在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球个数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.下列说法正确的是（ ） A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队防守技术水平更稳定 C. 甲队防守有时表现很差，有时表现又非常好 D. 乙队很少失球 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两个队伍的平均数和方差，进行比较，结合平均数以及标准差的意义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A正确； 对于选项BC：因为，可知乙队比甲队技术水平更稳定， 即甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故BC正确； 对于选项D：因为乙队每场比赛平均失球数是2.1，且标准差为0.4， 结合选项B可知，乙队平均失球数多，且乙队防守技术水平更稳定， 即乙队很少不失球，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知空间中的三点，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 不是直线AB的一个方向向量 B. 直线AB 的一个单位方向向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，可判断AB；根据向量夹角公式，可判断C；根据平面法向量的求法，即可得出结果判断D. 【详解】对于A ，，，所以不存在实数， 使得，则不是直线AB的一个方向向量，所以A正确； 对于B，因为，， 所以直线AB 的一个单位方向向量是， 或，所以B错误； 对于C，向量，， 所以，所以C错误； 对于D项，设平面的一个法向量是，，， 所以，则，令，可得，所以D正确. 故选：BC. 三、填空题： 本大题共3小题， 每小题5分， 共15分. 12. 如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得. 【详解】解：因为成立，所以共面，即平面， 如图，取中点，连接、、， 根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，， 由勾股定理得， 故答案为：. 13. 在直三棱柱中，，，点 P 满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】分别取中点，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦值，然后结合函数知识得最大值. 【详解】分别取中点，则，即平面， 连接,因为,所以, 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知,,,,, 则, 因为， ，， 易知平面的一个法向量是， 设直线AP与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是． 故答案为：． 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空：设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 四、解答题： 本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l：，（）. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)；(2) S的最小值为16，直线l的方程为 【解析】 【分析】(1)直线含参先求出定点，再利用数形结合求出k的取值范围； (2)直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程. 【详解】(1) 直线方程为：，所以直线恒过.由图可得， 当直线由逆时针旋转到时，直线不过第四象限，所以. (2)设直线l为，因为在直线上，所以. 又，所以，两边同时平方得：，，当且仅当，即，时取等号，所以的面积为，此时直线方程为，化简得：. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 因为，所以，解得：． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 17. 某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且将的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 B会场 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本． （1）求的值； （2）若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 【答案】（1）； （2）；高一年级人数为，高二年级人数为， 高三年级人数为. 【解析】 【分析】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去会场的各年级人数，由此可得比例； （2）由B会场的高二学生人数求得样本容量，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 【小问1详解】 设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c， 则去A会场的学生总数为， 去B会场的学生总数为， 则对应人数如下表所示： 高一 高二 高三 A会场 B会场 则． 【小问2详解】 依题意，，解得， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 则高一年级人数为， 高二年级人数为， 高三年级人数为． 18. 如下图，直角梯形中， , ，平面平面，为等边三角形， 分别是的中点，. (1)证明：; (2)证明：平面; (3)若,求几何体的体积. 【答案】（1）∵△BCE为等边三角形，F是BC的中点 又因为平面平面，交线为,平面， 根据面面垂直的性质定理得 平面， 又平面， ； （2）取中点G，连接， ， ,且， ,， ,且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面 平面； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得平面，进而即证； （2）利用线面平行的判定定理即证； （3）利用棱锥的体积公式即得. 【详解】(1)略 (2)略 (3)在直角梯形中，， 则直角梯形的面积为， 由（1）可知平面，是四棱锥的高， 在等边中，由边长，得， 故几何体的体积为： . 19. 已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） (i)不妨设的中点为，的中点为， 再设 由题可知直线斜率必存在，且， 以上两式相减得， 即，同理， 因为可得：，则，即三点共线； 又因为四边形是梯形，且与交于， 由平面几何知识可知三点共线， 即得证四点共线； (ii)由(i)可知，，而， 所以， 设直线的方程为：，设直线的方程为：， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得：，不妨设， 同理，， 因为，所以 化简得：， 即 上式两边平方化简得：， 由平面几何知识易知三点共线，故设， 由可得， ，， 所以，即或（舍去） 化简得：， 结合，可得， 故直线与直线的交点为定点. 【解析】 【分析】（1）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式来求解椭圆方程； （2）(i)用点差法可得中点弦斜率与中点与原点的斜率之积为定值，利用斜率相等来证明三点共线； (ii)用坐标来研究斜率，再用三点共线得到斜率相等，来找到相等关系，最后求出定点. 【小问1详解】 由直线过点，得， 联立，消得：，易知， 设，则，整理得：， 又因为，所以，解得， 即椭圆. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $