精品解析：四川省眉山市仁寿县四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026届高二上学期半期考试 数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1； B. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； C. 设，且，则； D. 若变量x和y满足关系，则x与y负相关． 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数、残差平方和的性质，以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； 对于B，用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，，， 则，故C错误； 对于D，变量x和y满足关系，由，得x与y负相关，故D正确． 故选：C 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，然后令的次数为求出，进而可得系数. 【详解】展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故选：D. 3. 已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列的性质和期望公式求出，再根据即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 4. 某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖， 则，，，， 由全概率公式得， 所以甲参加抽奖活动中奖的概率． 故选：D 5. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】用插板法求得将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份的分法总数，再减去甲、乙两人分得的份数相同的分法总数，即可求解. 【详解】将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法， 而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法， 所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种. 故选：C 6. 某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知每局比赛甲，乙获胜的概率都是，利用独立事件的概率乘法公式计算，，再结合条件概率公式求解. 【详解】因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是， 比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况， 甲获得冠军，可能进行了3局或4局或5局比赛， 则，， ， 所以. 故选：. 7. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合，可得答案. 【详解】令，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 且， 则，即. 故选：C. 8. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出及的范围，然后代入，构造函数求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 又函数存在两个极值点， 所以方程在上有两个不相等的正实数根， 则，解得， 又 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增加， 因为不等式恒成立， 即恒成立， 所以． 故选：A． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个得3分；若有3个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分．） 9. 从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出4个数字，则（ ） A. 可以组成300个无重复数字的四位数 B. 可以组成144个无重复数字的四位奇数 C. 可以组成160个无重复数字且比3400大的四位数 D. 可以组成21个无重复数字且能被25整除的四位数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据计数原理和特殊位置优先和特殊元素优先的方法计数即可. 【详解】对于A，首位不能排0，有种排法，后面三位从剩下的5个数字中任选3个进行排列，所以共有种排法，即可以组成300个无重复数字的四位数，故A正确； 对于B，个位从1，3，5选择一个，有种选法；千位数字不可选0，从剩下的4个中选一个，有种选法；在剩下的4个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有种选法，则有个无重复数字的四位奇数，故B正确； 对于C，比3400大的四位数分三类： 第一类千位比3大的数，其它三位任意排，有个， 第二类千位是3，百位比4大的数只有5，其它两位任意排，有个， 第三类千位是3，百位是4的数，其它两位任意排，有个， 根据分类计数原理得比3400大的四位数共有种，故C不正确； 对于D，能被25整除的四位数分两类： 第一类：形如□□25，共有个；第二类：形如□□50，共有个， 所以能被25整除的四位数共有个，故D正确． 故选：ABD 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D． 【详解】由已知有，故，． 所以． 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，， 后一项即为余数1，C正确． 对于D，由有． 在中取得， 所以，D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 若在R上单调递增，则 B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切 C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D. 若，且的解集为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A.由导数和单调性的关系，转化为恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解；B.首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利用导数以及零点存在性定理，即可判断；C.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；D.首先求解不等式，再将转化为关于的式子，即可求解. 【详解】对于A，对求导得：， 因为函数在R上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，记，则， 因为，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值，所以，即，故选项A正确； 对于B，时，，， 设图象上一点，则， 故过点的切线方程为， 将代入上式得，整理得， 构造函数，则， 构造函数，则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以函数单调递增， 又，， 即方程在区间仅有一解，从而在R上也仅有一解， 所以过点只能作一条直线与曲线相切，B选项错误； 对于C，因为函数有两个极值点，， 所以有两个零点，，即方程有两个解为，， 记，因为， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此，函数在处取得最大值， 方程有两个解为，等价于与图像有两个不同公共点， 所以，所以，C选项正确； 对于D，由，得，等价于，即， 当时，，，又，故，所以， 当时，，无解， 故的解集为， 此时， 当时，，，从而D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是BC选项，属于函数零点问题，B选项转化为判断零点各数，C选项是已知零点个数，求参数的取值范围. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为__________.（残差观测值-预测值） 【答案】 【解析】 【分析】首先求样本点中心，并代入回归方程，求，并代入后，即可求解残差. 【详解】， 因为回归直线过点，代入，可得， 当时，， 所以残差为. 故答案为： 13. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的均值和方差公式求出，再利用二项分布的概率公式求出答案. 【详解】根据题意可得，解得或（舍）， 所以， . 故答案为：. 14. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）则实数a的值为__________； （2）设，若对任意的恒成立，则k的最大整数值为__________． 【答案】 ①. 1 ②. 4 【解析】 【分析】空1由切线特点“切点在切线上也在曲线上”和导数几何意义即可求解；空2将问题转化为对任意的恒成立，利用导数研究函数的最小值情况即可求解. 【详解】由题意，即①， 又，故由题意，即②， 所以由①②得. 所以， 故对任意的恒成立对任意的恒成立， 所以， 所以， 所以恒成立，故在上单调递增， 又，， 故存在，使得，即，即， 则当时，；时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 故，又，所以k的最大整数值为4. 故答案为：1；4. 【点睛】方法点睛：恒成立求参问题通常结合参数分离法将恒成立问题转化成研究具体函数的最值问题来求解： 函数在区间上满足 （1）恒成立； （2）恒成立. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的单调区间与最大值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）先根据切点在曲线上确定切点的坐标；再根据切点在切线上和导数的几何意义列出方程组求解即可. （2）根据导函数的符号与原函数单调性的关系即可得出单调区间；再根据单调性可求出最大值.. 【小问1详解】 因为， 所以，， 则切点坐标为. 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）可得：函数的定义域为：，. 令，得；令，得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 16. 现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． （1）若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． （2）若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． （3）若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 【答案】（1） （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球，利用全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可知，从甲箱中任取出两个球， 这两个球的颜色不同的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 【小问3详解】 用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球， 则，，， ，， 由全概率公式可得. 17. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 0 1 2 3 ，有关. （2）的分布列为：，.【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可； （2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可. 【小问1详解】 （1）列联表，如图所示： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为， 由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以,. 18. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），13（百万辆） （3）0.3 【解析】 【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【小问1详解】 设模型①和②的相关系数分别为，， 由题意可得：， , 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. 【小问2详解】 因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【小问3详解】 净利润为，， 令， 所以， 可得在上为增函数，在上为减函数， 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3） 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二上学期半期考试 数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1； B. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； C. 设，且，则； D. 若变量x和y满足关系，则x与y负相关． 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 6. 某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个得3分；若有3个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分．） 9. 从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出4个数字，则（ ） A. 可以组成300个无重复数字的四位数 B. 可以组成144个无重复数字的四位奇数 C. 可以组成160个无重复数字且比3400大的四位数 D. 可以组成21个无重复数字且能被25整除的四位数 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 若在R上单调递增，则 B. 若，则过点能作两条直线与曲线相切 C. 若有两个极值点，，且，则a的取值范围为 D. 若，且的解集为，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据： 1 3 4 5 7 15 20 30 40 45 根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为__________.（残差观测值-预测值） 13. 已知随机变量，若，则__________. 14. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）则实数a的值为__________； （2）设，若对任意的恒成立，则k的最大整数值为__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的单调区间与最大值． 16. 现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． （1）若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． （2）若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． （3）若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 17. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $