专题训练：指对幂的运算-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

指对幂的运算 题型一：指数幂与根式的互化 1．已知，化简：（   ） A． B． C． D． 2．若，则的化简结果是（     ） A． B． C． D． 3．当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 4．计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 5．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中成立的是（    ） A． B． C．（其中，） D． 7．化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则 . 9．下列判断正确的有（    ） A． B．（其中） C． D．（其中，） 题型二：指数幂的化简和求值 10．若，则（    ） A．1 B． C． D． 11．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 12．下列各式正确的是（    ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 13．化简： . 14．计算 . 15． . 16．（1）化简：． （2）已知，求． 17．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．计算． (1)； (2)． 题型三：指数和对数互化求值 19．（1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 20．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 21．若，则（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 23．若，则等于（    ） A． B．4 C． D．3 24．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 25．已知，且，，则(    ) A． B． C． D． 26．下列命题是真命题的是（   ） A． B． C．若，则 D． 27．已知实数m，n满足，则 . 28．若 则ab= ． 29．若，则 ． 30．若，则 . 31．已知，则 ． 题型四：对数的运算的化简和求值 32．若正数a，b满足，则（   ） A．128 B．108 C．2 D．1 33．（多选）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 34．（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 35．已知，，则 （用，表示）． 36．已知，，用含a、b的式子表示 ． 37．已知，，则用，表示 38．已知，，则 . 39．设，若，则 ． 题型五：指对的混合运算 40．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．已知且，则的最大值为 . 42．已知函数则（   ） A． B． C． D． 43．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 44．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 45．计算： (1)+； (2). 46．求下列各式的值： (1)； (2). 47．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 48．（1）计算 （2）计算. 49． ． 50．求值： ． 51．设，，则 . 52．计算:   53． . 题型六：指对运算的实际应用题 54．已知甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.若要使甲的“日能力值”达到乙的“日能力值”的20倍，则大约需要经过的天数为（    ） （参考数据：，，） A．76 B．77 C．78 D．79 55．年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品，在预定区域安全着陆，嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）､火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式为.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（    ） A． B． C． D． 56．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min 57．声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（   ） A．28 B．27 C．23 D．14 58．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，那么要消除的污染物，至少需要的时间是（   ）h.（参考数据：） A．45 B．76 C．109 D．118 59．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（   ） A．20倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 60．放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 61．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指对幂的运算 题型一：指数幂与根式的互化 1．已知，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为分数指数幂，再计算即可． 【详解】， 故选：D. 2．若，则的化简结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 3．当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 4．计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答. 【详解】. 故选：B 5．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 6．下列各式中成立的是（    ） A． B． C．（其中，） D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算法则逐一判断即可. 【详解】解：对于A，，故错误； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确． 故选：BD. 7．化简（a，b为正数）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分数指数幂的概念和指数幂的运算律计算. 【详解】. 故选：C. 8．已知，则 . 【答案】/1.5 【分析】根据给定条件，利用指数运算及根式运算求解作答. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为： 9．下列判断正确的有（    ） A． B．（其中） C． D．（其中，） 【答案】BCD 【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，A错误； 对于选项B，因为，所以，B正确； 对于选项C，，C正确； 对于选项D，因为，，所以，D正确； 故选：BCD. 题型二：指数幂的化简和求值 10．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 11．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 12．下列各式正确的是（    ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】BCD 【分析】由幂指数的运算可判断AB,由对数的运算性质以及换底公式可判断CD. 【详解】对于A, ,故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C,由，得， 所以，故C正确， 对于D，，故D正确， 故选：BCD 13．化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 14．计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 15． . 【答案】 【分析】利用对数运算和分式指数幂，以及根式的运算公式，化简求值. 【详解】原式， . 故答案为： 16．（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果. （2）由可得，，从而计算出的值. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 17．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 18．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【详解】（1） =； （2） . 题型三：指数和对数互化求值 19．（1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 【答案】（1）2 （2）；证明见解析 【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解； （2）结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求，然后结合基本不等式即可求证. 【详解】（1） （2）因为， 所以，， ， 因为，， 所以，且， 所以，即. 20．若，，则的值是（    ） A．3 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 21．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 22．已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得. 【详解】由，得，即，而， 所以. 故选：C 23．若，则等于（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据换底公式与对数恒等式进行计算. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选：C 24．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 25．已知，且，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】∵，∴，同理， ∵在时递增，故，故A正确； ∵，∴B错误； ∵，，∴，当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确； ∴，即，∴D正确． 故选：ACD． 26．下列命题是真命题的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，由，得，所以C错误， 对于D，无意义，所以D错误， 故选：AB 27．已知实数m，n满足，则 . 【答案】1 【分析】根据已知条件，推得，，再结合对数的运算法则，即可求解． 【详解】解：， 所以，， 所以． 故答案为：1． 28．若 则ab= ． 【答案】2 【分析】由指对互化，结合换底公式求解即可. 【详解】因为所以， 所以. 故答案为：2 29．若，则 ． 【答案】9 【分析】将对数式化成指数式，再利用幂的运算性质，化简代入计算即得. 【详解】由可得，，则. 故答案为：9. 30．若，则 . 【答案】1 【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：1. 31．已知，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解. 【详解】依题意，， 则． 故答案为：3 题型四：对数的运算的化简和求值 32．若正数a，b满足，则（   ） A．128 B．108 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由对数的运算法则变形，把对数式化为指数式即可得． 【详解】令， 则，，， 因为，所以，所以， 故选：B． 33．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数幂运算、对数的运算性质以及换底公式逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 34．（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）2；（2）4 【分析】（1）由对数的运算性质化简即可； （2）由对数的运算性质化简后再结合定义域解方程即可； 【详解】（1）原式 ； （2）由已知可得， 因为， 所以，化简可得， 解得（舍去），或， 所以 35．已知，，则 （用，表示）． 【答案】 【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式化简可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 36．已知，，用含a、b的式子表示 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 37．已知，，则用，表示 【答案】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 38．已知，，则 . 【答案】2 【分析】根据对数性质判断且，由已知条件利用对数运算可求解. 【详解】因为，，则且， 所以， 所以，. 故答案为：. 39．设，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用换底公式将已知转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】由 整理得：，解得或， 即（舍去）或. 故答案为：3 题型五：指对的混合运算 40．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 41．已知且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，结合对数运算法则求出最值. 【详解】且，故， 即，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 42．已知函数则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】, 因为， 所以, 所以 故选：C. 43．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】借助分段函数性质与指数与对数的运算法则计算即可得. 【详解】由，故， 则. 故选：C. 44．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据幂的运算法则计算； （2）利用换底公式后计算； （3）指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3），又， 所以. 45．计算： (1)+； (2). 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）由对数的运算性质和分数指数幂的运算性质可得答案 （2）由对数的运算法则和性质可得出答案. 【详解】（1）原式= （2）原式=3+log23⋅log32+lg100=3+1+2=6． 46．求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)83 (2)10 【分析】（1）运用指数幂的运算和根式的化简求值； （2）运用对数的运算和换底公式化简求值. 【详解】（1） . （2） . 47．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）利用换底公式与对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式 . 48．（1）计算 （2）计算. 【答案】（1）（2） 【分析】利用指数与对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 49． ． 【答案】11 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 ， 故答案为：11. 50．求值： ． 【答案】 【分析】利用分数指数幂、分数指数幂与根式的互化和对数运算法则计算出答案. 【详解】 . 故答案为： 51．设，，则 . 【答案】/ 【分析】结合指、对运算的性质分部求解，利用立方和公式及已知条件对化简求值；利用换底公式对化简求值；利用对数恒等式对化简求值等；再然后做加减混合运算即可得. 【详解】由式子有意义可知，且，故，且. 由，，得， 则； 又； ； ； 则原式； 故答案为：. 52．计算:   【答案】/ 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为： 53． . 【答案】 【分析】由指数和对数的运算求得结果. 【详解】 故答案为： 题型六：指对运算的实际应用题 54．已知甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步.若要使甲的“日能力值”达到乙的“日能力值”的20倍，则大约需要经过的天数为（    ） （参考数据：，，） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别、， 依题意可得，即，两边取对数得，即 因此， 所以大约需要经过天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 故选：A. 55．年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品，在预定区域安全着陆，嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）､火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式为.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，结合对数运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，则， 即，解得， 所以如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是. 故选：D 56．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min 【答案】B 【分析】根据题意可得出，，从而求得，代入，即可利用公式求解； 【详解】由题意可知，， 当时，，于是， 整理得， 当，于是， 所以，故， 将代入可得，故， 故. 故选：B 57．声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（   ） A．28 B．27 C．23 D．14 【答案】C 【分析】设声强的声强级为，声强的声强级为，则，再代入数据进行对数运算即可. 【详解】设声强的声强级为，声强的声强级为， 则, 由题知, 所以. 故选：. 58．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，那么要消除的污染物，至少需要的时间是（   ）h.（参考数据：） A．45 B．76 C．109 D．118 【答案】C 【分析】代入数据，根据指对互化，即可求解. 【详解】设要消除的污染物，至少需要的时间小时， 由题意得，， 故选：C. 59．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（   ） A．20倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】D 【分析】根据已知可得，分别计算当时和时的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 当时，， 所以，即“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的倍. 故选：. 60．放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可． 【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为； 故选：B． 61．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$