专题训练：对数（型）函数单调性和奇偶性综合复习题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

对数（型）函数单调性和奇偶性综合复习题 题型一：求对数（型）函数单调性区间 1．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足，且当时，，则的单调增区间为 . 7．函数的单调递增区间为 ． 8．函数的单调递增区间为 ． 题型二：已知对数（型）函数单调性求参数的范围 9．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 15．已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 题型三：利用对数（型）函数单调性求值域问题 16．已知函数 在区间上的最大值为 . 17．函数的最小值是 ． 18．已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 21．已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 22．函数的最小值为 . 23．函数的最大值为 . 24．已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 25．（多选）下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．有最大值，在上为增函数 B．有最大值，在上为减函数 C．有最小值，在上为增函数 D．有最小值，在上为减函数 26．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 题型四：利用对数（型）函数单调性比较大小 27．已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 28．设，则（   ） A． B． C． D． 29．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 31．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 32．已知，则（   ） A． B． C． D． 33．若，，，则（   ） A． B． C． D． 34．（多选）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 题型五：对数（型）函数奇偶性的判断与证明 36．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 38．（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （        ） A． B． C． D． 39．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为偶函数 40．函数是（   ） A．是奇函数，不是增函数 B．是增函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是增函数 D．既不是奇函数，也不是增函数 41．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 42．已知函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 43．已知函数，下列说法错误的是（  ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增 44．已知函数，，（，且）．则函数是 函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）． 题型六：利用对数（型）函数奇偶性求值 45．设函数，若是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D． 46．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 47．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 48．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 49．若是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 50．若是奇函数，当时， ． 51．若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 题型七：利用对数（型）函数奇偶性求参数 52．已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 53．函数是奇函数，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 54．已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 55．已知函数（）为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 56．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 57．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 58．已知函数是偶函数，是自然对数的底数，，则的最小值为 ． 59．若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 60．已知函数为奇函数，且有意义，则实数的值为 . 题型八：利用对数（型）函数单调性和奇偶性解不等式 61．已知集合则（    ） A． B． C．或 D． 62．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 63．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 . 65．已知函数，若实数满足，则的取值范围是 . 66．设，若，则实数的取值范围是 ． 67．已知函数，则不等式的解集是 . 68．已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 题型九：对数（型）函数单调性和奇偶性的综合应用 69．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 70．已知函数，记集合为的定义域． (1)求集合； (2)判断函数的奇偶性； (3)当时，求函数的值域． 71．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 72．已知函数，其中，，. (1)当时，证明：函数在区间上是减函数. (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (3)当时，若实数满足，求实数的范围. 73．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 74．已知函数是偶函数，其中为实数. (1)求的值； (2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 75．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 76．已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对数（型）函数单调性和奇偶性综合复习题 题型一：求对数（型）函数单调性区间 1．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：A 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 4．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 5．下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】对任意，都有，则在上单调递增； 所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增， ，是奇函数，D正确. 故选：BD. 6．定义在上的函数满足，且当时，，则的单调增区间为 . 【答案】， 【分析】根据指数函数的单调性及偶函数的性质求解. 【详解】当时，， ∴当时，单调递减；当时，单调递增， ∵函数满足定义域关于原点对称，且，∴是偶函数，图象关于轴对称. ∴当时，单调递增；当时，单调递减， 则的单调增区间为，. 故答案为：，. 7．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数定义域,再根据复合函数的单调性即可得解. 【详解】由,解得, 要求函数的单调递增区间， 则应求函数的单调递减区间， 易知函数的单调递减区间为， 结合定义域可得函数的单调递增区间为. 故答案为:. 8．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为. 函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是. 故答案为： 题型二：已知对数（型）函数单调性求参数的范围 9．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数定义域列式求解即得. 【详解】设，则函数由，复合而成， 而是减函数，则在上单调递增，从而， 解得，又当时，恒成立， 则当时，，解得， 所以a的取值范围为． 故选：D 10．已知函数是上的减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案． 【详解】由题意可得，函数在上单调递减，函数在单调递减，且， 即有，即，解得， 故选：B． 11．已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 12．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数单调性并结合对数函数和二次函数性质列出不等式组，解出即可. 【详解】由对数函数和二次函数复合可得函数单调递增， 再根据二次函数性质可知，若在上单调递增需满足， 解得， 故选：A. 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，得出若要满足题意，当且仅当且在上有定义，由此即可转换为恒成立问题求解. 【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递增， 即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增， 从而在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递减， 若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义， 若，恒成立，即，恒成立， 当时，的取值范围是，      所以当且仅当且时，满足题意. 故答案为：. 14．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由换底公式将化简，由函数的单调性建立不等式并求解即可. 【详解】， 因为在上单调递减，而在上单调递增， 所以，又， 或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型三：利用对数（型）函数单调性求值域问题 16．已知函数 在区间上的最大值为 . 【答案】0 【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可． 【详解】因为在区间上单调递减， 所以当时，函数 在区间上的最大值. 故答案为：0. 17．函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 18．已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值，在上的最小值，再结合已知及恒成立问题求解即得. 【详解】当时，函数，则当时，， 函数在上单调递增，， 由，，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 19．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 20．若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 21．已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 22．函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 23．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】由题意，知在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递减， 则当时该函数取到最大值， 故答案为： 24．已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 25．下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．有最大值，在上为增函数 B．有最大值，在上为减函数 C．有最小值，在上为增函数 D．有最小值，在上为减函数 【答案】BCD 【分析】利用换元法，令，则，然后求出的值域，再利用对数函数的单调性可求出的最值，求出的单调区间，再利用复合函数单调性的求法可求出的单调区间. 【详解】令，则， 所以， 所以有最大值，所以CD错误， 因为在上递减，在上递增，而在定义域内递减， 所以在上递增，在上递减， 所以A正确，B错误， 故选：BCD 26．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 【答案】AC 【分析】利用对数函数真数大于0建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到的单调性，再求值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D即可. 【详解】对于函数， 令，解得， 函数的定义域为，故A正确； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增， 所以为上的增函数， 又， 其中， 因为，所以，所以，所以， 则，所以，即，又的值域为， 函数的值域为，故B错误； 又， 函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误． 故选：AC． 题型四：利用对数（型）函数单调性比较大小 27．已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象与性质可以判断即，根据中间变量1，可以比较. 【详解】因为时，的图象永远在图象的上方， 所以，即， 又，，所以， 所以， 故选：A. 28．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，， 所以. 故选：B. 29．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 30．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， ， ，且. 所以. 故选：A 31．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用对数函数的单调性比大小即可. 【详解】因为在定义域上都是单调递增函数， 所以，即. 故选：B 32．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得. 【详解】，，， 故，故. 故选：C. 33．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的性质及中间值比较大小. 【详解】，， ∵，∴， ∴， 故选：A. 34．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数函数的性质来确定正确答案. 【详解】依题意，， 若，则，C选项正确. 若中一个大于，一个位于与之间，则，此时， A选项正确. 若，则，所以B选项正确. 综上所述，ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 35．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用介值法比较的大小，再应用的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 题型五：对数（型）函数奇偶性的判断与证明 36．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用排除法.先判断函数的奇偶性，排除AB，再分析函数的单调性，排除C，可得问题答案. 【详解】是奇函数，既不是奇函数也不是偶函数，排除AB； C，D中函数都是偶函数，时，是减函数，排除C． 对于D，，当时，为增函数且, 而在为增函数，故在上为增函数， 故D正确． 故选：D． 37．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 38．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有 ②对于定义域上任意，当 时，恒有 ，则称函数为“ 函数”，下列函数中的“ 函数” （        ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的单调性、奇偶性的知识来确定正确答案. 【详解】由于，所以是奇函数； 由于对于定义域上任意，当 时，恒有， 所以在上单调递增. A选项，是偶函数，不符合题意. B选项，是奇函数，且在上单调递增，符合题意. C选项，， 所以是奇函数，且在上单调递增，符合题意. D选项，是偶函数，不符合题意. 故选：BC 39．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据定义域得到，B错误；CD选项，的定义域为，根据，得到为偶函数. 【详解】A选项，令，解得，故的定义域为，A正确； B选项，， 因为，所以，则，值域为，B错误； CD选项，的定义域为，， 故为偶函数，C错误，D正确. 故选：AD 40．函数是（   ） A．是奇函数，不是增函数 B．是增函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是增函数 D．既不是奇函数，也不是增函数 【答案】C 【分析】根据对数可得，即可知是奇函数，再根据复合函数单调性以及奇函数性质判断单调性. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 即，所以是奇函数， 当时，在内单调递增，可知内单调递增， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递增， 由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增. 故选：C. 41．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的概念判断即可. 【详解】显然是偶函数，故A错误； 由，知是奇函数，故B错误； 由，知是偶函数，故C错误； 令，由知不是奇函数，由知不是偶函数，故D正确. 故选：D. 42．已知函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知， 所以， 令，则，显然， 所以为奇函数，即D正确. 故选：D 43．已知函数，下列说法错误的是（  ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质一一判断即可. 【详解】函数，则，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又， 所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确； 因为，又在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确. 故选：B 44．已知函数，，（，且）．则函数是 函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）． 【答案】奇 【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性即可. 【详解】由题设，其定义域为， 由， 所以是奇函数. 故答案为：奇 题型六：利用对数（型）函数奇偶性求值 45．设函数，若是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式及奇函数的性质得解. 【详解】因为， 所以， 又因为是奇函数，所以， 即，所以， 故选：D 46．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，且，又当时，， 所以， 故选：B. 47．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 当时，， 则. 故选：B 48．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，则， 所以. 故答案为：. 49．若是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数为奇函数，利用求解. 【详解】由题意得，. ∵是定义在上的奇函数， ∴． 故答案为: . 50．若是奇函数，当时， ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合奇函数求出函数值即可. 【详解】由是奇函数，得，当时，，则， 所以. 故答案为： 51．若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】C 【分析】构造新函数为奇函数，利用奇函数求解． 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 在上有最大值，则在上有最大值， 所以在上有最小值，于是在区间上有最小值， 故选：C． 题型七：利用对数（型）函数奇偶性求参数 52．已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】由偶函数定义可得，计算即可得解. 【详解】由题意可得，即， 整理得， 即恒成立，即. 故选：A. 53．函数是奇函数，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】是奇函数，故 ， 则，解得，经验证符合. 故选：D 54．已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 55．已知函数（）为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由偶函数的定义列式求解即可. 【详解】由偶函数的定义得，所以， 即，所以，即， 整理得，此等式在函数的定义域内恒成立， 所以，即. 故选：B. 56．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合偶函数的定义利用对数的运算性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， ，即， 即，即， 化简得，解得. 故选：C. 57．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值. 【详解】对任意，，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，由于函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数，由，得， 可得出，故A正确. 故选：A. 58．已知函数是偶函数，是自然对数的底数，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据偶函数的定义可得，根据二次函数的性质可求最小值. 【详解】函数的定义域为，根据偶函数的定义： ，，即， 即：上式对任意恒成立，这等价于． ， 等号成立当且仅当，． 所以的最小值为． 故答案为：. 59．若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 60．已知函数为奇函数，且有意义，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】由有意义，则待定，再验证奇偶性可得. 【详解】因为为奇函数，且有意义， 所以，解得. 则，解得. 当时，， 由解得， 故定义域为，关于原点对称. 又，， 故，是奇函数，满足题意. 故答案为：. 题型八：利用对数（型）函数单调性和奇偶性解不等式 61．已知集合则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式求集合，进而可求交集. 【详解】由可得，解得，可得； 由，解得或，可得或； 所以. 故选：D. 62．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知不等式的解集为， 若，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 63．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以， 所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：. 64．已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 65．已知函数，若实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再研究函数在定义域上的增减性，再由函数奇偶性对不等式变形求解即可. 【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 所以，所以函数为奇函数， 又因为在上单调递增， 由，所以， 即，解得：，所以. 故答案为：. 66．设，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可； 【详解】因为，所以函数为减函数， 又， 所以，解得， 故答案为：. 67．已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，再分析该函数的单调性即可得． 【详解】， 则 ， 又， 故的定义域为，故为奇函数， 当时，有均为单调递增函数，故在上为增函数， 又为奇函数，故该函数在定义域上单调递增， 即可得，解得． 故答案为：． 68．已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据给定条件，确定偶函数在上单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】由任意，均有成立，得在上单调递减， 又函数为上的偶函数，则在上单调递增， 不等式 ，则， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则. 题型九：对数（型）函数单调性和奇偶性的综合应用 69．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义求解； （3）将转化为求解. 【详解】（1）解：由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则<3，化简得 且， 解得或. 70．已知函数，记集合为的定义域． (1)求集合； (2)判断函数的奇偶性； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可； （2）由函数的奇偶性判断即可； （3）令，利用单调性求复合函数的值域即可. 【详解】（1）由真数大于0可知，，. （2） 可知定义域关于原点对称， ， 故为奇函数． （3）令，对称轴，在上，， 又在上递减， 故的值域是：． 71．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集； （2）利用换元法，可化为在上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解； （3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立． 【详解】（1）由已知得， 即，因为是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 分离参数得，因为，当且仅当时取等号， 则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为； （3）首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，故无解，舍去； 由④得或，由③得，故无解，舍去； 综上可知，不存在a使结论成立． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 72．已知函数，其中，，. (1)当时，证明：函数在区间上是减函数. (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (3)当时，若实数满足，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数,理由见解析 (3)或 【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可. （2）由函数奇偶性定义进行判断即可. （3）应用函数的偶函数的性质再结合函数的单调性得出不等关系，计算即可求出参数范围. 【详解】（1）由题， 设任意， 则 ， 因为， 所以，且， 则， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. （2）因为，定义域为R， 则， 若为偶函数，则， ； 若为奇函数，则， 所以因为为变量，所以无解； 所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. （3）因为当时，，为偶函数， 所以， 所以，又因为函数在区间上是减函数， 所以函数在区间上是增函数， 所以，所以或， 所以或 73．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. （2）由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 74．已知函数是偶函数，其中为实数. (1)求的值； (2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可； （2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间的位置研究最小值，即可得参数值. 【详解】（1）因函数（）是偶函数， 故 ， 因且不恒为0，故，得. （2）由（1），得， 则， 设，因，则，，其对称轴为， ①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去； ②当时，在区间上先减后增，故，解得，故； ③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 75．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 76．已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出. （2）由（1）求出函数，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可. （3）根据给定条件，将不等式转化为，再结合函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数为上的奇函数，则，且， 即，整理得， 即，于是，解得，， 当，时，，此时，函数无意义； 当，时，，函数无意义； 当，时，，函数为常数函数，不符合要求； 当，时，，定义域为，符合题意， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， ，则，， 于是，而函数在上单调递增， 因此，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则，， 由，，，得， 因此，， 当时，，，， 当且仅当时取等号，于是， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$