第34讲 直线、平面垂直的判定与性质（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第34讲 直线、平面垂直的判定与性质 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第8题，4分 证明线线垂直、证明线面垂直、证明面面垂直 2024年北京卷，第17题，14分 证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 2023年北京卷，第9题，4分 由二面角求线段长度或距离 2023年北京卷，第16题，13分 线面垂直的证明、二面角的向量求法 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京卷的考查主要集中在最近两年，难度中等． 【备考策略】 1.掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理； 2.能证明有关空间图形的垂直关系的命题． 【命题预测】北京高考2025年在直线、平面垂直的判定与性质方面，将继续保持对空间想象和逻辑推理能力的考查，题型和难度预计与近几年相似，注重基础与应用的结合． 知识讲解 知识点1 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2、判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点2 直线与平面所成的角 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. 2、线面角的范围：. 知识点3 平面与平面垂直 1、二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． 2、平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 3、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 考点一、线面垂直的判定与证明 【典例1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面分别是的中点．(1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以. 又因为平面，平面，所以. ，AD，平面，所以面. 【典例2】（23-24高三下·北京·阶段练习）如图，直三棱柱中，D为的中点，，平面平面．(1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）过点作于点，如图， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 由三棱柱为直三棱柱，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 1．（23-24高三下·四川成都·模拟预测）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．(1)求证：底面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）在中，， 所以． 在中，， 由余弦定理有：， 所以，，所以， 所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，则， 所以，， 因为，、平面， 所以面． 2．（23-24高三上·北京通州·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）选条件①：平面平面， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面， 所以. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，因为平面平面， 所以平面. 选条件②： 因为，为等边三角形，所以， 因为，则， 所以为直角三角形，所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等边三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. 考点二、线线垂直的判定与证明 【典例1】（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．(1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 又因为平面，所以. 【典例2】（24-25高三上·江苏南通·期中）在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段，的中点，，平面平面．(1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1） 证明：取中点，连接， 为正三角形，， 为中点，， 面，面面，面面 平面，又面， ，面， 所以面， 又面 1．（24-25高三上·山东济宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面.(1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）由题意知平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 2．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，，.(1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）因为， 在中，，解得. 因为为的中点， 所以， 在中，，所以，且， 即，所以. 因为，所以，所以， 在中，，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 又平面，所以平面， 又平面，所以. 考点三、面面垂直的判定与证明 【典例1】（23-24高三下·河南·模拟预测）如图，四棱锥中，为等边三角形，四边形为直角梯形，，.(1)证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1） 如图，取的中点，连接. 因四边形为直角梯形，且，则， 又为等边三角形，， 因平面， 故平面，又平面,则， 又，因平面,故平面 又平面，平面平面. 【典例2】（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）如图．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)求证：平面AEF⊥平面PBC； (2)若F为线段BC上靠近B的三等分点，求平面AFE与平面AFC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）因，为中点，则， 又底面，而底面，则有， 又因，，平面，于是得平面， 而平面，因此， 又，平面，从而得平面 平面，所以平面平面． 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面平面.(1)证明：平面平面PAB. 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. 2．（223-24高三下·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PAC； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形. 因为，，所以四边形是正方形， 则，，所以， 得到，所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面.因为平面，平面平面. 考点四、空间垂直关系中的探究性问题 【典例1】（23-24高三下·北京·模拟预测）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，在正方体中，平面， 四边形是正方形，因为平面，所以， 又，，且平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接， 在正方形中，因为E为的中点，是棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以，因为， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，设平面平面，则，所以， 则是棱的中点， 所以当点在正方体的表面线段上时，, 由题意可知，在梯形中，，，， ， 所以线段长度的最大值是. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·四川成都·期中）在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（   ） A．对任意的，存在点，使得 B．当且仅当时，存在点，使得 C．当且仅当时，存在点，使得 D．当且仅当时，存在点，使得 【答案】C 【解析】连接，在四棱柱中，因为平面， 所以平面，则,又由底面是正方形，得， 所以平面，得. 若存在点，使得，则平面,得, 则△∽△，得，即，所以 故选：C. 1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点且AQ⊥平面，则 . 【答案】 【解析】在正三棱柱中，因为点为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 因为平面平面， 所以平面，显然， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高三下·黑龙江·二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； 【答案】(1)存在， 【解析】（1）存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面,故平面平面，又平面平面， 平面，作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以. 考点五、空间线面角的几何求法 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）若一圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 作出圆锥的轴截面图,设圆锥的底面圆半径为，母线长为，依题意可得，， 即，因顶点在底面的射影即底面圆圆心,故母线与底面所成的角即. 在中，.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·北京东城·一模）如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是弧的中点，为的中心.现将沿翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点，连接，，由三角形为正三角形，故在线段上， 且，即， 则在以为原点，为半径的圆上， 由题意可得，，、平面，， 故平面，又平面， 故直线在平面的投影为直线，即， 则当与该圆相切，即时，有.故选：C. 1．（23-24高三下·陕西宝鸡·二模）如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 过点，作，连接， 因为平面，平面， 所以平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面的夹角， 在平面中，，，，则， ，， 所以四棱台的体积为：， 所以，， 为的中点， ， ．故选：A 2．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设是的中点，连接， 由于，所以平面，平面，， 且是直线与平面所成角. 设正方体的边长为，则， 所以.故选：D 考点六、空间二面角的几何求法 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 设正四棱锥的底面边长为， 设为底面的中心，高为， 设为的中点，则设斜高为， 连接，设侧面与底面所成的角为， 由于， 所以即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角， 由平面，平面所以 所以， 因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍， 即， 又， 所以，故选：C. 【典例2】（23-24高三下·北京平谷·模拟预测）一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为，则底面正方形边心距为， 于是正四棱锥的高为， 所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为.故选：B 1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，取正四棱台的上下底面中心为， 连接，则与正四棱台的上下底面垂直，即为棱台的高，设， 取的中点分别为，连接， 在直角梯形中，过点作交于点， 在等腰中，由，可得， 在等腰梯形中，由分别为的中点，可得， 所以为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角， 因为且正四棱台的体积为， 可得，解得，即， 在直角中，可得， 所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值为.故选：A. 2．（23-24高三下·河南·三模）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的中点分别为，连接，则， 因为，所以， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，则， 因为是直角三角形，，所以， 所以，且， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，则，所以为二面角的平面角， 且.故选：A. 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误， 对于B，若，，则或者或者相交，故B错误， 对于C，若，，，则或者或者相交，故C错误， 对于D，若，，则，又，所以，故D正确，故选：D. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，且，则 【答案】B 【解析】对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理， 又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，,,,或异面，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内， 且时，满足，此时不成立，D错误.故选：B 3．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．与所成的角为 C． D．与平面所成的角为 【答案】D 【解析】由面，故与平面所成角为， 由面，故与平面所成角为， 所以，令，则， 所以，故，A错； 由，故与所成角，即与所成角，为或其补角， 在中，显然不为，B、C错； 由面，故与平面所成角为（锐角）， 所以，故，D对；故选：D 4．（23-24高三上·北京·开学考试）埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（    ）．    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】 如图所示，设正四棱锥的底面边长，则， 点为底面的中心，取中点为，连接， 则，则侧面与底面所成角的平面角即为， 因为侧面与底面所成角的余弦值为，即，则， 在中，.故选：D 5．（23-24高三下·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，.(1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【解析】（1）如图： 因为，，所以为等边三角形，， 又，所以，又， 所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 又，，为平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； 6．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）如图,四边形为矩形,且,,平面,,E为的中点． (1)求证：； (2)求四棱锥的外接球体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 连结为的中点,， ∴为等腰直角三角形,则，同理可得， ∴，∴， 又平面，且平面，∴， 又∵，平面，∴平面， 又平面，∴． （2）∵平面，且四边形为矩形， ∴的外接球直径， ∴，故：， ∴四棱锥的外接球体积为． 1．（23-24高三下·北京·模拟预测）如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接， 当四边形为平面四边形时，点到点的距离最大， 此时，因为平面，平面， 所以平面平面， 过作平面，垂足为， 则为正三角形的重心， 设正四面体的边长为1，则, 因为直线BC与平面所成角为即,且， 所以, 所以点到平面的距离等于， 过点作平面，垂足为，则， ∴在中，，即直线与平面所成角的正弦值等于.故选：D. 2．（24-25高三上·北京顺义·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（   ） A．100 m B．112 m C．117 m D．132 m 【答案】D 【解析】如图，过E作平面ABCD，垂足为O， 过E分别作，，垂足分别为G，M， 连接OG，OM， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，且EO，平面EOG，，所以平面EOG， 因为平面EOG，所以， 所以等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角为， 同理可得，又， 所以等腰梯形所在的平面与平面ABCD所成角为， 所以， 又，所以四边形OMBG是矩形， 又，则，所以，所以， 所以在中，， 在中，，， 又因为， 故该五面体的所有棱长之和为．故选：D． 3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点，则当时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，，，， 当且仅当平面时，，证明如下： 因为平面，由平面，得， 又，平面， 所以平面，由平面，得， 同理：， 又平面，所以平面， 先证充分性：当平面时，则，此时； 再证必要性，当时， 因为，平面， 所以平面， 又平面平面，所以平面与平面是同一个平面， 所以平面，此时； 由，得， 所以，故.故选：B 4．（23-24高三下·北京西城·开学考试）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】对于A，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以A正确； 对于B，由平面，平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由平面，且平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，平面， 所以平面平面， 若平面平面，且平面平面， 可得平面，又平面，可得， 因为与不垂直，矛盾，所以平面与平面不垂直，故D错误.故选：D. 5．（23-24高三下·北京海淀·二模）在三棱锥中，为的中点. (1)如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面； (2)如图2，若为延长线上一点，且平面，直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接. 因为为的中点，所以. 又平面,所以平面. 因为平面 所以平面平面. （2）因为平面平面平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为直线与平面所成角为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 又，故.所以. 如图建立空间直角坐标系. 则，，. 所以，，. 设平面的法向量为，则 即令，则. 设与平面所成角为，则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，.    (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【解析】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以，所以， 又，，面，面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）解法一： 过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为面，所以， 过点作交于点，连接， 因为，面，面， 所以面，因为面，则， 所以是二面角的平面角. 由（1）知，平面，因为平面，所以， 所以， 又，所以三角形是正三角形， 所以，. 在直角三角形中，，所以. 所以，二面角的平面角的正切值是2. 解法二： 以为原点，，所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，其中， 由，得， 所以，，即， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 又平面的法向量为， 设二面角的大小为， 因为为锐角，所以， 所以，， 所以，二面角的平面角的正切值为2. 1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接， 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为.故选：C 3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D. 4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 5．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 6．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为平面，平面,所以, 又因为，即， 平面，,所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）如图， 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第34讲 直线、平面垂直的判定与性质 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第8题，4分 证明线线垂直、证明线面垂直、证明面面垂直 2024年北京卷，第17题，14分 证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 2023年北京卷，第9题，4分 由二面角求线段长度或距离 2023年北京卷，第16题，13分 线面垂直的证明、二面角的向量求法 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京卷的考查主要集中在最近两年，难度中等． 【备考策略】 1.掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理； 2.能证明有关空间图形的垂直关系的命题． 【命题预测】北京高考2025年在直线、平面垂直的判定与性质方面，将继续保持对空间想象和逻辑推理能力的考查，题型和难度预计与近几年相似，注重基础与应用的结合． 知识讲解 知识点1 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2、判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点2 直线与平面所成的角 1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. 2、线面角的范围：. 知识点3 平面与平面垂直 1、二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． 2、平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 3、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 考点一、线面垂直的判定与证明 【典例1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面分别是的中点．(1)求证：平面； 【典例2】（23-24高三下·北京·阶段练习）如图，直三棱柱中，D为的中点，，平面平面．(1)求证：平面； 1．（23-24高三下·四川成都·模拟预测）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点．(1)求证：底面； 2．（23-24高三上·北京通州·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：平面； 考点二、线线垂直的判定与证明 【典例1】（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．(1)求证：； 【典例2】（24-25高三上·江苏南通·期中）在三棱锥中，是边长为的正三角形，，分别为线段，的中点，，平面平面．(1)求证：； 1．（24-25高三上·山东济宁·期中）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面.(1)求证：； 2．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，，.(1)求证：； 考点三、面面垂直的判定与证明 【典例1】（23-24高三下·河南·模拟预测）如图，四棱锥中，为等边三角形，四边形为直角梯形，，.(1)证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【典例2】（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）如图．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)求证：平面AEF⊥平面PBC； (2)若F为线段BC上靠近B的三等分点，求平面AFE与平面AFC夹角的余弦值． 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面平面.(1)证明：平面平面PAB. 2．（223-24高三下·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PAC； 考点四、空间垂直关系中的探究性问题 【典例1】（23-24高三下·北京·模拟预测）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·四川成都·期中）在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（   ） A．对任意的，存在点，使得 B．当且仅当时，存在点，使得 C．当且仅当时，存在点，使得 D．当且仅当时，存在点，使得 1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）在正三棱柱中，，点为的中点．Q是棱上一点且AQ⊥平面，则 . 2．（23-24高三下·黑龙江·二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； 考点五、空间线面角的几何求法 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）若一圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京东城·一模）如图1，正三角形与以为直径的半圆拼在一起，是弧的中点，为的中心.现将沿翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·陕西宝鸡·二模）如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 考点六、空间二面角的几何求法 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京平谷·模拟预测）一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河南·三模）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·北京·阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，且，则 3．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．与所成的角为 C． D．与平面所成的角为 4．（23-24高三上·北京·开学考试）埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（    ）．    A．2 B．3 C． D． 5．（23-24高三下·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，.(1)求证：平面平面； 6．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）如图,四边形为矩形,且,,平面,,E为的中点． (1)求证：； (2)求四棱锥的外接球体积． 1．（23-24高三下·北京·模拟预测）如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面内的射影为，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京顺义·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（   ） A．100 m B．112 m C．117 m D．132 m 3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点，则当时，的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·北京西城·开学考试）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体.小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 5．（23-24高三下·北京海淀·二模）在三棱锥中，为的中点. (1)如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面； (2)如图2，若为延长线上一点，且平面，直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的平面角的正切值. 1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 6．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$