精品解析：天津市耀华中学2024-2025学年高二上学期期中学情调研数学试卷

2024-2025学年天津市和平区耀华中学 高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共有12个小题，每小题3分，每个小题只有一个正确选项，请将答案填涂到答题卡相应位置上） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A B. 1 C. 2 D. 4. 直线l：与圆位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 为椭圆：上一点，，则最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 与椭圆有相同的焦点且与直线l：相切的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 13. 焦点在y轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是___________． 14. 圆与圆的公共弦长为___________． 15. 已知，，若点在线段上，则取值范围是______. 16. 已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为6，则直线l的方程是__________． 17. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆C的离心率为__________． （2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________． 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是______． 三、解答题（本题共有3个小题，共40分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 19. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 20. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 21. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天津市和平区耀华中学 高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共有12个小题，每小题3分，每个小题只有一个正确选项，请将答案填涂到答题卡相应位置上） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 3. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 4. 直线l：与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆心到直线距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 6. 在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 【点睛】 7. 为椭圆：上一点，，则最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 8. 与椭圆有相同的焦点且与直线l：相切的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆性质，再结合直线与椭圆相切，只有唯一交点，即可求解. 【详解】因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，故设所求椭圆为， 联立方程组，得， 整理，得， 因为直线l与椭圆相切，所以解得（舍）或. 所以， 故选：A. 9. 已知四棱锥平面BCDE，底面EBCD是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为AD的中点，则到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意知，平面，平面， 所以，又， 故以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得 所以，， 记， 则， 所以F到直线BC的距离为. 故选：A 10. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围. 【详解】因为圆心到直线的距离， 故要满足题意，只需，解得. 故选：A. 11. 已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解. 【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解. 如图，由椭圆的定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以， 即可得， 所以，离心率. 故选：C 12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 13. 焦点在y轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用题设中的相关量和椭圆中a，b，c的数量关系，建立方程组，解之即得. 【详解】由题意有，解得， 又椭圆的焦点在轴上，故椭圆的标准方程是. 故答案为：. 14. 圆与圆的公共弦长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程作差并整理可得，公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 【详解】圆与圆， 两圆方程相减可得，，即为公共弦所在的直线方程， 圆，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 故公共弦长为． 故答案为：． 15. 已知，，若点在线段上，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的形式，可转化为线段AB上点与连线的斜率，结合图形即可求解. 【详解】的几何意义是点与点连线的斜率， 又点在线段上，由图知， 因为，，所以， 因为点P是线段AB上的动点，所以， 故答案为： 16. 已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为6，则直线l的方程是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程. 【详解】由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d， 则，解得， 若l斜率不存在，直线是，符合题意， 若l斜率存在，设直线方程，即， 则，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． 故答案为：或． 17. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆C的离心率为__________． （2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率; (2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程. 【详解】设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而； 如图示： 延长,交于点F0. 在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点. 在△中, 则,∴, 所以椭圆方程为. 故答案为：；. 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 设，根据，求出点，再由可得，代入椭圆方程可得，使方程在上有解，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】设，， 则，， ，， ，，， ，， ，又， ， ， 存在，存在， ，显然恒成立， 又，在上有解， 令，对称轴， 且不在上， ，， 解得，即 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆位置关系、椭圆的离心率，解题的关键是根据，将问题转化为在上有解，考查了计算能力. 三、解答题（本题共有3个小题，共40分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 19. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析. 【解析】 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆方程可得：，因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）设，由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA,OB斜率之和为定值. 20. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 21. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． 【小问1详解】 由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线交于，两点，点在椭圆内， ①若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线的方程为， 联立，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ②当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $