专题02 实数全章期末复习（6大考点17种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节期末综合复习（北师大版）

专题02 实数全章复习 目录 【题型一 无理数近似值的确定】 2 【题型二 方格中的无理数】 3 【题型三 算术平方根的实际应用】 6 【题型四 利用平方根的定义解方程】 7 【题型五 利用算术平方根的非负性求解】 8 【题型六 开立方根】 10 【题型七 平方根与立方根的综合应用】 11 【题型八 立方根在实际生活中的应用】 12 【题型九 估算无理数的大小】 14 【题型十 无理数的整数部分的有关计算】 15 【题型十一 实数的运算】 17 【题型十二 利用数轴化简】 19 【题型十三 实数与数轴的关系】 21 【题型十四 利用二次根式的性质确定未知数的值】 22 【题型十五 二次根式化为最简二次根式】 24 【题型十六 二次根式的混合运算】 25 【题型十七 与二次根式有关的化简求值】 26 【题型一 无理数近似值的确定】 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出正方形边长，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是31， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， 故选；B． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长为： ， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）面积为5的正方形的边长的取值范围介于整数 和 之间． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据正方形的面积公式得出正方形的边长是，再结合得出，即可得解． 【详解】解：由题意得：正方形的边长是， ∵， ∴，即， ∴的边长的取值范围介于整数和之间， 故答案为：，． 【题型二 方格中的无理数】 例题：如图，在的正方形网格中，，，，四条线段的端点都在格点处，则这四条线段长度是无理数的有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，，，这4条线段的长度，然后判断哪些是无理数． 【详解】解：根据勾股定理计算得： 在网格中，， 同理可得：；；； 所以长度是无理数的线段有，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理及无理数的理解及运用． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上， 则 中，边长是无理数的边有 条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数，利用勾股定理求出三角形的三边长，再根据无理数的定义即可判断求解，利用勾股定理求出求出三角形的三边长是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∴边长是无理数的边有条， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图a中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图b中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格中作三角形．熟练掌握勾股定理，以及无理数的定义，是解题的关键． （1）利用勾股定理：，画一个三边分别为：的三角形； （2）由，画出一个三边分别为：的三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：； （2）解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：． 【题型三 算术平方根的实际应用】 例题：（24-25八年级上·河北唐山·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，当取3时，该摆针摆动的周期为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确的计算是解题的关键．根据题意将已知数据代入公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母所代表的正方形的边长为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据面积求得两个较大正方形的边长，再根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，， 由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 【答案】14秒/ 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， ∴ ∵，解得（秒）， 故答案为：14秒． 【题型四 利用平方根的定义解方程】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期中）如果 ，那么x的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质，平方根的性质，直接开平方，即可得一个数的平方根． 【详解】解：，那么， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）， 则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，熟知一个正数有两个平方根是正确解决本题的关键． 根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 即或， 或． 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是平方根的性质； （1）先把原式变形为，再依据平方根的定义得到x的值即可； （2）先把原式变形为，再依据平方根的定义得到x的值即可． 【详解】（1）解： ∴解得； （2）解：， ∴， ∴， 解得． 【题型五 利用算术平方根的非负性求解】 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，则的值为（  ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质和代数式的值，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B． C．4 D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当为直角边时，第三边长为， 当为斜边时，第三边长为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，绝对值的意义，根据算术平方根的定义得到，则，进而化简得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ； 故答案为：． 【题型六 开立方根】 例题：（24-25八年级上·河北邢台·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的定义．由，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【答案】C 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动1位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选C． 2．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）已知的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【题型七 平方根与立方根的综合应用】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，熟悉这两个概念是关键；根据算术平方根与立方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列等式：①，②，③，④，⑤，⑥，成立的是（　　） A．①⑤ B．②④ C．③⑥ D．②③④⑥ 【答案】D 【分析】此题考查求一个数的算术平方根及立方根．根据算术平方根定义及立方根定义解答． 【详解】解：，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确； ，故⑤错误； ，故⑥正确； 综上，上述等式成立的是②③④⑥． 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东威海·期中）已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，即得，最后根据平方根的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵和分别是一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【题型八 立方根在实际生活中的应用】 例题：（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，根据球的体积公式，代入数据即可求出答案 【详解】解：∵， ∴cm， 故选：A 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 2．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ． 【答案】3 【分析】设这种容器的半径为，根据题目所给体积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种容器的半径为， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是根据题意列出方程，熟练掌握立方根的定义，根据立方根的定义解该方程． 【题型九 估算无理数的大小】 例题：（24-25七年级上·浙江宁波·期中）试估算在哪两个数之间（   ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在5和6之间， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）根据表中的数据估计的十分位上的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算是解题的关键．根据题意得出，可知，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的十分位上的数字是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）已知，，，．若为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，且， ∴， 故答案为：． 【题型十 无理数的整数部分的有关计算】 例题：（24-25八年级上·重庆·阶段练习）设n为正整数，且，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法．用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知是的整数部分，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，无理数的估算，先估算出，则可得到，再求出，进而求出，最后根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 【答案】(1)4，5 (2)，3． (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据 (1)的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答； （4）根据（2）可得，进而确定的范围即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4，5． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为，即， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即． 故答案为：，3． （3）解：当，时，代入， ， ∴的平方根为：． （4）解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 【题型十一 实数的运算】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据立方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项正确，符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（重庆市梁平区梁山初中教育集团2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷） ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，原式分别根据绝对值的代数意义，零指数幂的运算法则以及立方根的意义化简各项后，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解： 【题型十二 利用数轴化简】 例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，实数、在数轴上的位置，化简：（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，由数轴得到，，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可知，，再根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，， (1)若，则______，______； (2)根据如图所示的条件，化简； (3)若，且m为整数，n为的小数部分，求A的值． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，无理数大小的估算，代数式化简求值． （1）根据非负数的性质得，，解方程即可； （2）由图可得：，，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可； （3）根据题意分别得出m、n的值，再代入化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即，， 解得：，， 故答案为：，2； （2）解：由图可得：，， ∴ ； （3）解：∵，且m为整数，， ∴， ∵n为的小数部分， ∴， ∴ ． 【题型十三 实数与数轴的关系】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，勾股定理，首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得：，，, ， ， 点到 原 点 的 距 离 为 ，且点在 原 点 左 侧 ， 点表示的数是， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知实数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴及算术平方根，熟练掌握实数与数轴及算术平方根是解题的关键；由数轴可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为． 2．（24-25八年级上·河南·期中）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴及无理数的估算，熟练掌握实数与数轴及无理数的估算是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴被墨迹覆盖的数是； 故答案为． 【题型十四 利用二次根式的性质确定未知数的值】 例题：（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 2．（2021八年级下·广东·专题练习）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 【题型十五 二次根式化为最简二次根式】 例题：（24-25九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的定义是：被开方数中不含字母，且所有因式的幂的指数都小于2的二次根式．最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式；（3）被开方数不含分母． 利用最简二次根式同时满足的三个条件来进行判定求解． 【详解】解：A．，它不最简二次根式，故此项不符合题意； B．，它不最简二次根式，故此项不符合题意； C．，它最简二次根式故，此项符合题意； D．，它不最简二次根式，故此项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列根式中，能与合并的二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的识别，化简二次根式，先把对应二次根式化为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，能合并，符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 2．（2024八年级上·贵州广西·专题练习）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式的化简以及同类二次根式．掌握被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题的关键． 先化简，再根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【题型十六 二次根式的混合运算】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据完全平方公式展开各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． （1）直接根据二次根式的混合运算法则计算，然后根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型十七 与二次根式有关的化简求值】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，先根据完全平方公式和去括号法则化简，然后合并同类项，最后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下面的材料后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． (1) 的解答是错误的． (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ． (3)模仿上题化简并求值：，其中． 【答案】(1)甲 (2)当时， (3)；8 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握，是解题的关键： （1）甲在化简二次根式的时候出现错误； （2）当时，； （3）根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简求值即可． 【详解】（1）解：甲在化简二次根式的时候出现错误； 故答案为：甲； （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：当时，； （3）∵ ∴ ． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的运算是解答的关键． （1）根据二次根式的运算及分母有理数，结合完全平方公式化简原式，然后代值求解即可； （2）先分母有理数求得a值，再利用完全平方公式化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在，，，0，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数称为无理数，常见无理数有：含类；开不尽方的数是无理数；形如（每两个3间依次增加一个0）；熟悉无理数的概念及常见三类无理数是关键；根据无理数概念进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴无理数的有：，，，共3个； 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的概念，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先将各二次根式化简，再根据同类二次根式的概念进行判断即可． 【详解】A、因为，所以A不符合题意； B、因为，所以B不符合题意； C、因为，所以C符合题意； D、因为，所以D不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的性质，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 利用算术平方根及立方根一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键． 根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∵是数轴上表示的点， ∴点表示的数是． 故选：C． 5．（24-25七年级上·湖北·期中）如果，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和求代数式的值等知识点，能求出、的值是解此题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负性求出、的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ,， ,， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·北京房山·期中）比较大小： （用“”或“=”或“”连接）． 【答案】 【分析】根据题意，得，根据得，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的面积．根据非负数的性质得出，继而得出，再根据三角形面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是直角三角形， 设斜边上的高为， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）一个整数a的两个平方根是和，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键．根据一个整数a的两个平方根是和，得到，求得，结合，计算的立方根即可． 【详解】解：∵一个整数a的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先将绝对值，0次幂，立方根化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分为的整数部分为b，则 ， 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：，． 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1， (2)3 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根是和，得到，求得，结合，得． （2）先计算，再求其算术平方根即可． 本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，算术平方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∵， 解得． （2）解：∵，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识． （1）根据所给的例子估计无理数的整数和小数部分即可． （2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表示的实数． 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分是2，小数部分是． （2）解：根据题意圆的半径为：， ∴点A所表示的数为：． 13．（24-25九年级上·山西·阶段练习）如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)； (2)阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； （2）解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． （3）解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： (3)和的值哪个较大，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算： （1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可； （2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可； （3）根据，，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，，且， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·江西九江·期中）（1）解方程：         （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用平方根的性质解方程，二次根式的乘法及加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把式子化成：的形式，再由平方根的定义求出的值即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减即可． 【详解】解：（1） 解得：； （2）原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数全章复习 目录 【题型一 无理数近似值的确定】 2 【题型二 方格中的无理数】 3 【题型三 算术平方根的实际应用】 3 【题型四 利用平方根的定义解方程】 4 【题型五 利用算术平方根的非负性求解】 4 【题型六 开立方根】 5 【题型七 平方根与立方根的综合应用】 5 【题型八 立方根在实际生活中的应用】 6 【题型九 估算无理数的大小】 6 【题型十 无理数的整数部分的有关计算】 7 【题型十一 实数的运算】 7 【题型十二 利用数轴化简】 8 【题型十三 实数与数轴的关系】 8 【题型十四 利用二次根式的性质确定未知数的值】 9 【题型十五 二次根式化为最简二次根式】 9 【题型十六 二次根式的混合运算】 10 【题型十七 与二次根式有关的化简求值】 10 【题型一 无理数近似值的确定】 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【变式训练】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）面积为5的正方形的边长的取值范围介于整数 和 之间． 【题型二 方格中的无理数】 例题：如图，在的正方形网格中，，，，四条线段的端点都在格点处，则这四条线段长度是无理数的有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上， 则 中，边长是无理数的边有 条． 2．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图a中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图b中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； 【题型三 算术平方根的实际应用】 例题：（24-25八年级上·河北唐山·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，当取3时，该摆针摆动的周期为（      ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母所代表的正方形的边长为（    ） A．64 B．16 C．8 D．4 2．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 【题型四 利用平方根的定义解方程】 例题：（24-25八年级上·吉林长春·期中）如果 ，那么x的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）， 则 ． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 【题型五 利用算术平方根的非负性求解】 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，则的值为（  ） A．0 B． C．1 D．2 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B． C．4 D．5或 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知实数m满足，则 ． 【题型六 开立方根】 例题：（24-25八年级上·河北邢台·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 2．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）已知的立方根是，则 ． 【题型七 平方根与立方根的综合应用】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列等式：①，②，③，④，⑤，⑥，成立的是（　　） A．①⑤ B．②④ C．③⑥ D．②③④⑥ 2．（24-25七年级上·山东威海·期中）已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为 ． 【题型八 立方根在实际生活中的应用】 例题：（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）我们知道，球的体积公式是，如图所示的乒乓球的体积为，则这个乒乓球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ． 【题型九 估算无理数的大小】 例题：（24-25七年级上·浙江宁波·期中）试估算在哪两个数之间（   ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）根据表中的数据估计的十分位上的数字是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）已知，，，．若为整数，且，则的值为 ． 【题型十 无理数的整数部分的有关计算】 例题：（24-25八年级上·重庆·阶段练习）设n为正整数，且，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知是的整数部分，，则的立方根是 ． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么________，________． (2)是的小数部分，是的整数部分，那么________，________． (3)的平方根是________； (4)比较大小：________ 【题型十一 实数的运算】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（重庆市梁平区梁山初中教育集团2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷） ． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）计算： 【题型十二 利用数轴化简】 例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，实数、在数轴上的位置，化简：（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知，， (1)若，则______，______； (2)根据如图所示的条件，化简； (3)若，且m为整数，n为的小数部分，求A的值． 【题型十三 实数与数轴的关系】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，数轴上点、所表示的数分别是，，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知实数在数轴上的位置如图所示：化简：的结果为 ． 2．（24-25八年级上·河南·期中）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是 ． 【题型十四 利用二次根式的性质确定未知数的值】 例题：（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．（2021八年级下·广东·专题练习）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【题型十五 二次根式化为最简二次根式】 例题：（24-25九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列根式中，能与合并的二次根式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·贵州广西·专题练习）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【题型十六 二次根式的混合运算】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）求下列各式的值： (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【题型十七 与二次根式有关的化简求值】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下面的材料后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． (1) 的解答是错误的． (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ． (3)模仿上题化简并求值：，其中． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在，，，0，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（        ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，正方形的面积为3，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖北·期中）如果，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·北京房山·期中）比较大小： （用“”或“=”或“”连接）． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）一个整数a的两个平方根是和，则的立方根是 ． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分为的整数部分为b，则 ， 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 13．（24-25九年级上·山西·阶段练习）如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： (3)和的值哪个较大，请说明理由． 15．（24-25八年级上·江西九江·期中）（1）解方程：         （2）计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$