专题01 勾股定理全章期末复习（3大考点8种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节期末综合复习（北师大版）

专题01 勾股定理全章复习 目录 【题型一 利用勾股定理求线段长】 2 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 3 【题型三 勾股定理的证明】 3 【题型四 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状】 4 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 5 【题型六 格点中勾股定理的应用】 6 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 7 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 8 【题型一 利用勾股定理求线段长】 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，于，且，，则长为 ． 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 例题：（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 【变式训练】 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【题型三 勾股定理的证明】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题：    (1)试证明：； (2)若大正方形的面积为169．小正方形的面积为49，求的值． 【题型四 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状】 例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）由线段组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·贵州黔西·阶段练习）已知a，b，c是三边的长，且满足关系式，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 2．（2021八年级上·全国·专题练习）已知,则由此为边的三角形是 三角形. 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【题型六 格点中勾股定理的应用】 例题：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·河北邯郸·二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于 ． 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 例题：（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．    【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（   ） A．8 B．6 C．10 D．15 【变式训练】 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，点和点是这个三级台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 ． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）下列数据不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．9，40，41 D．，， 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（） A．5 B．15 C．20 D．25 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．10.8 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边，上，沿折叠，使点B与点C重合．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 8．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知是直角的两边长，且满足，则直角的周长为 ． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 12．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在直角三角形中，，于点，已知，． (1)求斜边的长； (2)求的长． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 14．（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）材料中的方法体现的数学思想是（    ） A．函数思想      B．分类讨论思想     C．数形结合思想      D．整体思想 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M， （2）试说明； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 (1)小明发现：，，，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数：__________； (2)若用（为整数，且）表示，那么、用含的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理全章复习 目录 【题型一 利用勾股定理求线段长】 2 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 4 【题型三 勾股定理的证明】 6 【题型四 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状】 9 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 10 【题型六 格点中勾股定理的应用】 13 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 15 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 17 【题型一 利用勾股定理求线段长】 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直接由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：弦长= ， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，于，且，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，等积法的应用．熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理可求出，再根据等积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【题型二 利用勾股定理求图形的面积】 例题：（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得，从而可得，，同理，，再根据，代入求值即可． 【详解】解：标记字母如图： 为直角三角形， ， 又， ， ， 同理，，， 在中，，， 所以阴影部分的面积为 ． 故选：D． 【变式训练】 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理．根据题意得到，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如题图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积：， 故答案为：84． 【题型三 勾股定理的证明】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形解决下列问题：    (1)试证明：； (2)若大正方形的面积为169．小正方形的面积为49，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，完全平方公式变形求值； （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （2）由，，先求解，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵大正方形的面积为， ∴， ∵小正方形的面积为， ∴ ∴， ∴， ∴． 【题型四 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状】 例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）由线段组成的三角形，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，分别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案．掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：A、，，，组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； B、，组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； C、，，，组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； D、，，，组成的三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·贵州黔西·阶段练习）已知a，b，c是三边的长，且满足关系式，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性得出，，即可确定三角形的形状． 【详解】解：​， ​，​， 解得：，， 的形状为等腰直角三角形； 故选C． 【点睛】题目主要考查算术平方根及绝对值的非负性，勾股定理逆定理，理解题意，熟练运用算术平方根及绝对值的非负性是解题关键． 2．（2021八年级上·全国·专题练习）已知,则由此为边的三角形是 三角形. 【答案】直角 【分析】根据三个绝对值的和为0，则它们都为0可分别求得x、y、z的值，由勾股定理的逆定理即可作出判断． 【详解】∵任何一个实数的绝对值非负，且 ∴x-5=0，y-3=0，z-4=0 ∴x=5，y=3，z=4 ∵ ∴由此为边的三角形是直角三角形 故答案为：直角 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，关键是根据绝对值的非负性确定x、y、z的值． 【题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【详解】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 【题型六 格点中勾股定理的应用】 例题：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·河北邯郸·二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积．根据图形可知：，边上的高为5，根据勾股定理可以求得的长，再根据等面积法即可求得边上的高． 【详解】解：由图可得， ，边上的高为5，， 设上的边为， 则， 解得， 故答案为：． 【题型七 勾股定理在实际生活中的应用】 例题：（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 米． 【答案】14 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 【题型八 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（   ） A．8 B．6 C．10 D．15 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：把圆柱一半侧面展开，如图，连接， 圆柱的底面半径为， ， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故选：C 【变式训练】 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，点和点是这个三级台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理等知识，先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得： 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】能，最短行程是． 【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，根据题意分两种情况利用勾股定理求解，然后比较即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， ∵ ∴最短行程是． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）下列数据不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．9，40，41 D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，第一必须是正整数，第二必须满足最大的数的平方等于较小的两个数的平方的和，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、都是正整数，，故该选项不符合题意； B、都是正整数，，故该选项不符合题意； C、都是正整数，，故该选项不符合题意； D、都不是正整数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（） A．5 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出、及之间的关系是解答此题的关键．先根据勾股定理得出，可得，从而得出，再由，可得，求和，由勾股定理得出，再求解即可． 【详解】解：中，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，涉及轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，运用了等积变换的思想．掌握对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边，上，沿折叠，使点B与点C重合．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，连接，由折叠的性质可得，，设，则，在中，，在中，，即，整理求解即可得出答案． 【详解】解：连接，如下图： 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 7．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 8．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知是直角的两边长，且满足，则直角的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解及勾股定理．先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，然后根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 分两种情况讨论： 当4为斜边时，另一直角边长为， 直角的周长为； 当4为直角边时，斜边长为， 直角的周长为； 综上所述：该直角三角形的周长为或． 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了翻折变换，等面积法以及勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．首先根据折叠可得，，利用等面积法得到的值，在中利用勾股定理求得，然后即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 根据折叠的性质可知，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由翻折易得，则的周长； （2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为， ∴， 则的周长； （2）解：由题意得； 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得； 即． 12．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在直角三角形中，，于点，已知，． (1)求斜边的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可． （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在直角三角形中，，，， ； （2）， ， 即， ． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得，则  设，则 在中，根据勾股定理可得 即  解得，即 14．（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）材料中的方法体现的数学思想是（    ） A．函数思想      B．分类讨论思想     C．数形结合思想      D．整体思想 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M， （2）试说明； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1）C；（2）见解析（3）见解析 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为： C；                      （2）由题意可得：， ∴， ∵直线m，直线m， ∴， ∴， ∴，   在和中， ， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴ 又 ∴ ， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 (1)小明发现：，，，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数：__________； (2)若用（为整数，且）表示，那么、用含的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【答案】(1)24，10，26 (2)，，证明见解析 【分析】本题考查勾股数，找数字的规律． （1）观察各行勾股数的规律，即可解答； （2）根据（1）中的规律即可得到表示a，c的代数式，并证明即可解答． 【详解】（1）解：∵第一行：，，， 第二行：，，， 第三行：，，， ∴第四行：，，， 即下一组勾股数是：24，10，26； 故答案为：24，10，26 （2）解：∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，是一组勾股数． 故答案为：， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$