4.1数列的概念【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

4.1数列的概念 【考点归纳】 · 考点01: 数列的概念 · 考点02：判断或者写出数列的项 · 考点03：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 · 考点04：由递推公式求数列的指定项 · 考点05：利用Sn与an的关系求通项公式 · 考点06：累加法求通项公式 · 考点07：累乘法求通项公式 · 考点08：观察法求通项公式 · 考点09：数列概念综合问题 【知识梳理】 知识点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一: 数列的概念 1．（23-24高二上·江苏苏州）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 2．（20-21高二上·陕西渭南）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 3．（21-22高二·全国）现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：判断或者写出数列的项 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 5．（22-23高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·新疆·期末）已知数列，则该数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 7．（2023高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 8．（21-22高二·全国）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高二上·福建宁德·期中）在数列中，，则数列的最大项是第 项． 题型四：由递推公式求数列的指定项 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在数列中，，则 ． 11．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）数列满足，则数列的第2023项为 . 12．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知数列满足，且，则 . 题型五：利用Sn与an的关系求通项公式 13．（2023·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 15．（22-23高二下·辽宁大连·期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 题型六：累加法求通项公式 16．（2023·新疆喀什·模拟预测）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 17．（21-22高二上·陕西西安·阶段练习）数列满足，且，则(    ) A．－1 B．20 C．21 D．22 18．（2023·上海徐汇·一模）在数列中，，且，则 . 题型七：累乘法求通项公式 19．（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 题型八：观察法求通项公式 22．（23-24高二上·江苏南通·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二下·江西·期末）已知一列数如此排列：，则它的一个通项公式可能是（　　） A． B． C． D． 题型九：数列概念综合问题 25．（23-24高二上·江苏）写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 26．（23-24高二上·江苏）已知数列{an}的通项公式，. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项； (3)求及. 27．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 29．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 30．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 31．（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·山西忻州·期末）若数列满足，，则（    ） A． B．11 C． D． 34．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，（），则（    ） A． B．0 C． D．2 35．（23-24高二上·江苏·课前预习）斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 36．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）意大利数学家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.设是不等式的正整数解，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 37．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 38．（22-23高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，， 则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 39．（21-22高二·全国·课后作业）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 40．（22-23高二下·山东淄博·期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A． B．是周期数列 C． D． 41．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知数列的前n项和为，且满足：则（    ） A． B． C． D．（q为非零常数，） 三、填空题 42．（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 43．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 44．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 45．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则 . 四、解答题 46．（22-23高二下·全国）写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 47．（22-23高二下·山东） （1）已知数列的前项和是，且，求的通项公式. （2）已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式. 48．（22-23高二下·全国）已知数列满足，且，． (1)求的值； (2)127是数列的第几项？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1数列的概念 【考点归纳】 · 考点01: 数列的概念 · 考点02：判断或者写出数列的项 · 考点03：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 · 考点04：由递推公式求数列的指定项 · 考点05：利用Sn与an的关系求通项公式 · 考点06：累加法求通项公式 · 考点07：累乘法求通项公式 · 考点08：观察法求通项公式 · 考点09：数列概念综合问题 【知识梳理】 知识点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一: 数列的概念 1．（23-24高二上·江苏苏州）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】C 【分析】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示. 【详解】对A，数列可为常数数列，A错误； 对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误； 对C，当时，，C正确； 对D，数列中的第一项不能用表示，D错误. 故选：C 2．（20-21高二上·陕西渭南·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 3．（21-22高二·全国·课后作业）现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答. 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 题型二：判断或者写出数列的项 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 5．（22-23高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知各项可知数列的通项公式，代入即可. 【详解】由题意知：该数列的通项公式为，. 故选：A. 6．（22-23高二下·新疆·期末）已知数列，则该数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得数列的通项公式，即可得出结果. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：D. 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 7．（2023高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 【答案】A 【分析】利用的单调性可得答案. 【详解】因为，所以当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减，且， 所以最小项为，最大项为. 故选：A. 8．（21-22高二·全国·课后作业）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出数列的前5项，再由对勾函数的性质可得，的单调性，从而即可得最大值. 【详解】解：由，得，，，，． 又，， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． 故选：B． 9．（22-23高二上·福建宁德·期中）在数列中，，则数列的最大项是第 项． 【答案】4 【分析】结合二次函数的性质，即可判断数列的最大项. 【详解】， 当时，取得最大值. 故答案为：4 题型四：由递推公式求数列的指定项 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在数列中，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据数列的递推公式计算数列的前几项，从而找到数列的周期即可得出答案. 【详解】由题意可知， 所以数列的周期为3，所以. 故答案为： 11．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）数列满足，则数列的第2023项为 . 【答案】/ 【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解. 【详解】由已知可得， 所以数列为周期数列，且， 所以， 故答案为： 12．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】利用数列的周期性变化的特点求解. 【详解】由题意，，，， ，， 所以是周期为4的周期数列，故. 故答案为: . 题型五：利用Sn与an的关系求通项公式 13．（2023·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中等式，可得，再结合时，可得. 【详解】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. 14．（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用求出，再求出可得通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式， 所以． 故答案为：. 15．（22-23高二下·辽宁大连·期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用 求解即可. 【详解】数列的前n项和， 可得； 时，，不满足， 则， 故答案为：. 题型六：累加法求通项公式 16．（2023·新疆喀什·模拟预测）若，则（    ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案. 【详解】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 17．（21-22高二上·陕西西安·阶段练习）数列满足，且，则(    ) A．－1 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】根据题意，将变形可得，由累加法分析可得﹒ 【详解】根据题意，数列满足，且， 变形可得， 则有， 则，故； 故选：B． 18．（2023·上海徐汇·一模）在数列中，，且，则 . 【答案】4 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 题型七：累乘法求通项公式 19．（22-23高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【详解】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B 20．（22-23高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 21．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 【答案】D 【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可. 【详解】解：， ， ，， ，， 显然，当时，满足， ∴， . 故选：D. 题型八：观察法求通项公式 22．（23-24高二上·江苏南通·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用排除法以及检验法即可得解. 【详解】当时，，故排除D，当时，，故排除BC，经检验A选项符合题意. 故选：A. 23．（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除选项即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 24．（22-23高二下·江西·期末）已知一列数如此排列：，则它的一个通项公式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B错； 对于C，，C错； ，逐项验证可知D符合，所以D正确； 故选：D． 题型九：数列概念综合问题 25．（23-24高二上·江苏）写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)a，b，a，b，…； (2)，，，，…； (3)； (4)，，，，…； (5)，2，，8，，…； (6)，33，，3 333，…. 【答案】(1)（） (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据奇偶项的特征即可写出通项公式； （2）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （3）根据奇偶项的符号与序号之间的关系即可写出通项公式； （4）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （5）根据分子分母的特征与序号之间的关系即可写出通项公式； （6）根据前4项的结构特征即可写出通项公式； 【详解】（1）数列的奇数项为a，偶数项为b，因此通项公式可用分段形式来表示， 记为，也可记为． （2）这个数列的前4项为，，，， 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， 故． （3）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的奇数，且奇数项为正，偶数项为负， 故． （4）这个数列的前4项为，，，， 它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 故. （5）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察， 其分母都是2，分子都是序号的平方， 故. （6）因为 所以． 26．（23-24高二上·江苏·课前预习）已知数列{an}的通项公式，. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项； (3)求及. 【答案】(1) (2)不是 (3)， 【分析】（1）将代入直接计算即； （2）由方程解集来即可判断； （3）利用通项公式直接得到及. 【详解】（1）. （2）令， 当为偶数时，，整理得， 解得或，因为且为偶数，所以原方程无解； 当为奇数时，，整理得， 因为，又，所以原方程无解. 综上所述，不是该数列中的项. （3）； . 27．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用递推公式求周期，进而求； （2）根据递推公式即可得到前5项. 【详解】（1）根据题意可得， ， ， ， ， ∴是周期为4的数列，于是. （2）根据题意，这个数列的前5项如下： ， 所以，， ， ， . 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【分析】令通项公式等于项的值，解出的值即可. 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 29．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是周期数列，周期为4，. 故选：C 30．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式直接代入运算求解. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 令，可得； 令，可得； 故选：C. 31．（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 32．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列的单调性求解． 【详解】由题意，解得. 故选：C. 33．（23-24高二上·山西忻州·期末）若数列满足，，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】D 【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项. 【详解】因为.所以数列周期为3的数列. 所以 ，所以， 故. 故选：D 34．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，（），则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】根据递推公式可得数列的周期性即可求解. 【详解】由，可得， ， ， 因此为周期数列，且周期为3， 故， 故选：B 35．（23-24高二上·江苏·课前预习）斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【答案】B 【分析】先观察数列，再利用发现的规律求出第10项. 【详解】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 故选：B. 36．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）意大利数学家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.设是不等式的正整数解，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】将不等式化为，即，再根据斐波那契数列为递增数列，进而可得答案. 【详解】由， 得， 得，得， 得，， 所以， 令，则数列即为斐波那契数列， ，则， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 故数列为递增数列且， 所以数列亦为递增数列， 由，得，，， ，，， 因为，， 所以使得成立的的最小值为8． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据斐波那契数列的通项公式，利用对数知识将不等式化为斐波那契数列进行求解是本题解题关键. 二、多选题 37．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 【答案】BD 【分析】由已知数列递推式，可得是以3为周期的周期数列，判断；结合数列的周期性逐一分析选项 【详解】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 38．（22-23高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，， 则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出、、，易得该数列为周期数列，结合周期性计算即可得. 【详解】由，则，，， 则数列是以为周期的数列，由，故， ，，，故B、C正确，A、D错误. 故选：BC. 39．（21-22高二·全国·课后作业）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题设条件求得，从而判断AB；利用作差法，结合递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，从而判断CD. 【详解】对于AB，因为数列满足，， 所以当时，，此时，故A正确，B错误； 对于CD，当时，， 两式相减，得，整理得， 又，，即当时，不满足上式， 所以是从第二项起首项为的常数列， 故当时，，则， 综上，，故C错误，D正确. 故选：AD． 40．（22-23高二下·山东淄博·期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A． B．是周期数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】依次取即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确. 【详解】由题意，数列满足，， 当n=1时，；当n=2时，； 当n=3时，；当n=4时，； 当n=5时，；当n=6时，，， 归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确； 又由，所以C正确； 因为，所以，所以D错误． 故选：ABC． 41．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知数列的前n项和为，且满足：则（    ） A． B． C． D．（q为非零常数，） 【答案】AC 【分析】 借助给赋值可计算，利用递推式判断的关系. 【详解】 A项：令，则，又，所以，A正确； B项：令，则， 所以，B错误； C项：由，所以， 所以，C正确； D项：由C知，所以常数，D错误． 故选择：AC. 三、填空题 42．（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【答案】 【分析】根据数列的递推公式，利用代数法可得数列的周期为，即，，即可得解. 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 43．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【答案】 【分析】令求出的值，再利用…，…，相减求出，验证首项即可． 【详解】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 44．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式列举出前几项，进而可求出及数列的周期，进而可得出答案. 【详解】由，， 得，，，，， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以数列的前99项和为. 故答案为：；. 45．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则 . 【答案】5 【分析】根据递推关系依次求解，得到为周期数列，一个周期为6，从而求出. 【详解】中，令得， 因为，所以， 当时，， 即， 因为，所以，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ……， 依次计算，可得为周期数列，一个周期为6， 其中， 所以. 故答案为：5 四、解答题 46．（22-23高二下·全国·课后作业）写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 【答案】(1)； (2); (3); (4). 【分析】（1）将给定的5项都加1即为项数的平方,即可写出一个通项； （2）所给5项正负相间，其绝对值为前5个正奇数，由此即可写出一个通项； （3）分母为项数的平方加1，观察即可写出一个通项； （4）把所给4项变形，并用10的整数次幂减去1的形式表示出来，观察即可写出一个通项. 【详解】（1）观察数列中的数，可以看到所以它的一个通项公式是； （2）数列各项的绝对值为是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为； （3）因为所以数列的一个通项公式为； （4）原数列的各项可变为，易知数列9，99，999，9 999，…，的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为． 47．（22-23高二下·山东·阶段练习）（1）已知数列的前项和是，且，求的通项公式. （2）已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由数列的前项和公式求通项公式即可得出结论； （2）由与关系求通项公式即可得出结论； 【详解】（1）由可得， 当时，， 当时，, ∴经验证，当时也成立. 所以. （2）∵① ∴，得. ∴② ②－①得：，∴即， ∴，，，…，， ∴. 经验证，当时也成立. 所以. 48．（22-23高二下·全国·课后作业）已知数列满足，且，． (1)求的值； (2)127是数列的第几项？ 【答案】(1) (2)第7项 【分析】（1）根据递推关系即可逐一求解， （2）根据递推关系即可逐一求解，即可求解. 【详解】（1）由以及，得，所以 （2）， 所以127是数列的第7项 2 学科网（北京）股份有限公司 $$