精品解析：青海省西宁市湟中区第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

湟中一中2024-2025学年第一学期第二次月考 高二数学试卷 （命题人： 审题人： 时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：B 2. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件求得所求椭圆的、值，即可得到其标准方程. 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 3. 已知点，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式可知，即可得解. 【详解】若直线的斜率为，则， 所以， 故选：C. 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 5. 若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）. A. 16 B. 12 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，即可得出，再利用基本不等式,即可求解. 【详解】解：化为标准方程为：， 圆心坐标为，带入直线方程，得， 所以， 故选C. 6. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 7. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 8. 已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题给条件得到关于的关系式，即可求得椭圆的离心率. 【详解】设在椭圆上， 所以，两式相减， 得， 由直线AB的倾斜角为，可知，所以； 设，， 所以，所以， 所以，即，所以. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆中焦距的定义即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 在正方体中，分别为中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，，找到异面直线与所成角，再求出其余弦值. 【详解】取的中点，连接，， 因为， 所以（或其补角）为异面直线与所成角， 易得：， 即， 所以， 故答案为:． 13. 直线与圆相交于，两点，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，利用弦长公式求得弦长． 【详解】由圆，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故弦长． 故答案为：6． 14. 已知点，动点满足，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由于动点满足，可知动点在椭圆上，利用椭圆的定义转化求解即可． 【详解】解：由于点，动点满足，即， 即， 因此P的轨迹是椭圆，且， 因为，． 故答案为3． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式、椭圆的定义，是基本知识的考查． 四、解答题（共5小题77分） 15. 求点P（2，3）到直线的距离． 【答案】4 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点 和直线， 则点P到直线的距离为. 16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程； （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，求点到平面的距离. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由，即，可令，则，， 则，又， 点C到面的距离. 18. 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）首先设出直线方程，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程，再解方程即可得到答案. 【详解】（1）由题意知 解得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 其判别式. 设点，坐标分别为，，则，. 所以， 整理得，解得或， 所以或. 综上，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湟中一中2024-2025学年第一学期第二次月考 高二数学试卷 （命题人： 审题人： 时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）. A. 16 B. 12 C. 9 D. 8 6. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 在正方体中，分别为中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________ 13. 直线与圆相交于，两点，则________. 14. 已知点，动点满足，若，则______． 四、解答题（共5小题77分） 15. 求点P（2，3）到直线的距离． 16. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $