专题07一元一次方程应用的九种类型（九种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

专题07一元一次方程应用的九种类型（九种技巧精讲精练+过关检测） 题型01和、差、倍、分问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 【例1-2】（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【例1-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·阶段练习）列方程解应用题 某检测站要做规定的时间内检测一批产品，原计划每天检测 30 件产品，则在规定的时间内只能检测完总数的 ，现在每天实际检测 50 件，结果不仅比原计划提前来1天完成任务，还可以多检测 25 件， (1)求规定时间是多少天？ (2)求这批产品共有多少件？ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则余5个；若每个小朋友分4个则少10个，问苹果有多少个？”若设共有个苹果，则列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 【变式1-3】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）为了鼓励同学们加强体育锻炼，某校准备举行冬季长跑比赛． 为奖励长跑优胜者，学校准备购买一些亚运会吉祥物的水杯和徽章，据了解，某商店水杯的单价比徽章的单价多12元，若买3个徽章和2个水杯共需64元． 徽章和水杯的单价各是多少？ 题型02工程问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整理一批数据，由一人做完成，现在计划先由x人做，再增加5人做，完成这项工作的 ，可列方程（      ） A． B． C． D． 【例2-2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是 【例2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）制作一件手工制品，如果由一个人完成需10小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）师徒两人合作完成了540个零件的加工任务，其中徒弟加工了3小时，师傅加工了5小时．已知师傅每小时比徒弟多加工12个，徒弟每小时加工( )个，师傅每小时加工( )个． 【变式2-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 题型03配套问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·福建福州·期末）制作一张桌子需1个桌面和4条桌腿．木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有木材制作桌子，设用木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿刚好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（22-23七年级上·内蒙古兴安盟·期中）某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排 人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套? 【例3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓配两个螺母的产品，每人每天生产螺栓16个或螺母22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·四川成都）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配 人生产螺栓， 人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．（每个螺栓配两个螺帽） 【变式3-3】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 题型04数字问题 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小18，则x的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例4-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一列数，按一定规律排列成，其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最小的数是 ． 【例4-3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，康康将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中、、分别代表其中的一个数． (1)求，，的值各为多少： (2)将3，5，，，7，，9，，1这九个数字分别填入如图的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）一个两位数，如果它的个位数字不为零，且正好等于其个位和十位上数字和的倍（为正整数），我们就说这个两位数是一个“喜数”．例如：就是一个“喜数”，因为；就不是一个“喜数”，因为．小晖发现个位数字是十位数字倍的两位数都是“喜数”，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式4-2】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足，则这四个偶数是 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 题型05日历问题 【典例分析】 【例5-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 【例5-3】（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【变式演练】 【变式5-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【变式5-2】（22-23七年级上·广西南宁）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 题型06方案选择问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某商场的婴儿奶粉专柜，为提升某品牌奶粉的知名度，打出了两种优惠方案开展促销活动：方案甲是“买六厅奶粉，折付款，并再送同款奶粉一厅”；方案乙是“买七厅奶粉，折付款”，按方案甲买七厅付了1701元． (1)求这款品牌奶粉原销售价是多少元一厅； (2)若你去买的这款奶粉的话，你认为该采用哪种方案较节省． 【例6-2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）张老师需要办一种套餐．运营商推出了两种包月套餐方案： 方案一：每月50元月租费，流量资费0.4元； 方案二：没有月租费，流量资费0.6元． 设张老师每月使用流量． (1)张老师使用方案一套餐每月需花费__________元，使用方案二套餐每月需花__________元；（用含x的代数式表示） (2)张老师平均每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ (3)若张老师平均每个月使用流量，选择哪种套餐比较合算？ 【例6-3】（23-24七年级上·江西上饶·期末）为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？ (2)甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买120套队服和a个足球（其中且为整数），当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所花的费用一样？ 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏·期末）为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案： 方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具） 方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售） (1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？ (2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？ 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【变式6-3】（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 题型07分段计费问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ． 【例7-2】（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【例7-3】（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【变式演练】 【变式7-1】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米2.4元收费．小明家六月份交水费元，则小明家六月份实际用水 立方米． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 元/ (1)当时，明明家5月份用水量为则该月需交水费 元；6月份明明家交了水费家交了水费36元，则6月份用水量为 ；（直接写答案） (2)设某户月用水量为n立方米时（），该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 【变式7-3】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示： 计费方法A 计费方法B 每月基本服务费（元/月） 58元 88元 每月免费通话时间（分） 150分 350分 超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元 (1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元； (2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示） (3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？ 题型08年龄问题 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）今年儿子8岁，父亲32岁，年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄的5倍，设今年，小王同学的年龄是岁，由题意可列方程为 ． 【例8-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级上·重庆）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶．他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000.其中年龄最大的老人今年为 岁． 【变式8-3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）父亲和女儿现在年龄和是岁，年前父亲年龄是女儿年龄的倍还多岁． (1)求父亲和女儿现在的年龄分别是多少？ (2)多少年后父亲年龄是女儿年龄的倍？ 题型09积分问题 【典例分析】 【例9-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（   ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 【例9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题． 【例9-3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【变式演练】 【变式9-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积分，平一场积分，负一场积分，某班参加场比赛始终保持不败的记录，共得分，则该队胜了（   ）场 A． B． C． D． 【变式9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）某校七年级11个班开展篮球单循环比赛（每班需进行10场比赛），比赛的规则是每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负1场得分．已知七（2）班最终得到14分，则该班胜了 场． 【变式9-3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）某数x的比它的一半少7，则列出求x的方程应是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）儿子今年12岁，父亲今年39岁，（     ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍． （      ） A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后 4．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（21-22七年级上·广西河池·阶段练习）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了20场比赛，负了6场，共积32分，那么该队胜多少场？若设该队胜场，则可列方程为 ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： （1）比a的3倍大5的数是： ； （2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了元： ． 8．（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 10．（23-24七年级上·湖北随州·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度0.5元 每度0.8元 小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 11．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征． (1)若设这5个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理； (2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07一元一次方程应用的九种类型（九种技巧精讲精练+过关检测） 题型01和、差、倍、分问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设分派站现有包裹x件， 依题意得：， 解得：， 故选：A． 【例1-2】（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人． 根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：， 故答案为： 【例1-3】（23-24七年级上·辽宁丹东·阶段练习）列方程解应用题 某检测站要做规定的时间内检测一批产品，原计划每天检测 30 件产品，则在规定的时间内只能检测完总数的 ，现在每天实际检测 50 件，结果不仅比原计划提前来1天完成任务，还可以多检测 25 件， (1)求规定时间是多少天？ (2)求这批产品共有多少件？ 【答案】(1)6天 (2)这批产品共有225件 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，设出未知数，根据题目中的关键语句列出方程． （1）设规定时间是x天，根据题意列出方程解答即可； （2）将代入等式解答即可． 【详解】（1）解：设规定时间是x天，根据题意，得 解得， 答：规定时间是6天； （2）解：（件） 答：这批产品共有225件． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则余5个；若每个小朋友分4个则少10个，问苹果有多少个？”若设共有个苹果，则列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据人数始终不变的相等关系列方程即可得． 【详解】由题意可得，， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设笔款是元，根据现金多了273.6元列方程即可． 【详解】解：设笔款是元，则现在数量为（元）， 由题意可得，， 解得， 答：这笔款是元， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）为了鼓励同学们加强体育锻炼，某校准备举行冬季长跑比赛． 为奖励长跑优胜者，学校准备购买一些亚运会吉祥物的水杯和徽章，据了解，某商店水杯的单价比徽章的单价多12元，若买3个徽章和2个水杯共需64元． 徽章和水杯的单价各是多少？ 【答案】徽章的单价为8元，水杯的单价为20元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设设徽章的单价为元，水杯的单价为元．根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设徽章的单价为元，水杯的单价为元． 根据题意，得． 解得． （元）． 答：徽章的单价为8元，水杯的单价为20元 题型02工程问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）整理一批数据，由一人做完成，现在计划先由x人做，再增加5人做，完成这项工作的 ，可列方程（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，先确定1人的工作效率为，即可得出x人做的工作量，及增加5人做的工作量，根据工作量之和等于，列出方程即可． 【详解】根据题意，得 ． 故选：B． 【例2-2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，设全部工作量是1，由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这部分共有x人，根据本题中的等量关系“这部分人4小时的工作量+增加2人后所有人5小时的工作量=全部工作量”即可得方程 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【例2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）解：设两人合作a天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）制作一件手工制品，如果由一个人完成需10小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设先安排x人工作，根据前一个小时完成的工作量+后两个小时完成的工作量=总工作量的，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设先安排x人工作， 依题意，得：+． 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）师徒两人合作完成了540个零件的加工任务，其中徒弟加工了3小时，师傅加工了5小时．已知师傅每小时比徒弟多加工12个，徒弟每小时加工( )个，师傅每小时加工( )个． 【答案】 60 72 【分析】此题考查了工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系以及学生对列方程、解方程的熟练掌握程度，关键是要找到等量关系式．根据题意，可以设徒弟每小时加工个，则师傅每小时加工个，根据工作量工作时间工作效率这一公式，可以列出等量关系式为：． 【详解】解：设徒弟每小时加工个，则师傅每小时加工个． 师傅：（个）， 故答案为：，． 【变式2-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 题型03配套问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·福建福州·期末）制作一张桌子需1个桌面和4条桌腿．木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现有木材制作桌子，设用木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿刚好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，求出用木材制作桌面时，制作的桌面数、桌腿数，根据一张桌子需1个桌面和4条桌腿，列方程即可． 【详解】解：设用木材制作桌面，木材制作桌腿，则可制作桌面个，制作桌腿个， 由一张桌子需1个桌面和4条桌腿，可得：， 故选A． 【例3-2】（22-23七年级上·内蒙古兴安盟·期中）某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，应安排 人加工甲部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套? 【答案】25 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．需注意：两个甲种部件和三个乙种部件配成一套的等量关系为：甲种部件的个数乙种部件的个数．两个等量关系为：加工的甲部件的人数加工的乙部件的人数；加工的甲部件的人数加工的乙部件的人数． 【详解】解：设加工的甲部件的有人，加工的乙部件的有人． 可得：， 解得：， ． 所以加工的甲部件的有25人， 故答案为：25． 【例3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得： ， 解得， （人． 答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓配两个螺母的产品，每人每天生产螺栓16个或螺母22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，解题的关键是要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍螺母数量． 【详解】解：若分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 根据题意有， 故选∶D． 【变式3-2】（23-24七年级上·四川成都）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配 人生产螺栓， 人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．（每个螺栓配两个螺帽） 【答案】 15 45 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设应分配x人生产螺栓，人生产螺帽，根据“生产的螺栓和螺帽刚好配套，每个螺栓配两个螺帽，”列方程求解即可． 【详解】解：设应分配x人生产螺栓，人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴（人）， ∴应分配15人生产螺栓，45人生产螺帽， 故答案为：15，4 【变式3-3】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得， 解得， （人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套 题型04数字问题 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小18，则x的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，个位上的数是1，十位上的数是x，则这个数为；把个位上的数与十位上的数对调得到的数为，根据新两位数比原两位数小18列出方程，解出即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 【例4-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一列数，按一定规律排列成，其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为，，根据三个数之和为，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入，中，取其中最小值即可得出结论． 【详解】解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为，，依题意，得： ， 解得：， ∴． 故答案为：． 【例4-3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，康康将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中、、分别代表其中的一个数． (1)求，，的值各为多少： (2)将3，5，，，7，，9，，1这九个数字分别填入如图的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等． 【答案】(1) (2)见解析（答案不唯一） 【分析】考查了有理数的加法，注重考查学生的思维能力．九方格题目趣味性较强，从小到大排列，对角交换，旋转一格，为九宫格通法． （1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可解答． （2）九方格题目先将数字按从小到大的顺序填入方格后，将对角数字交换位置，再顺时针旋转一格即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）解：如图所示： 【变式演练】 【变式4-1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）一个两位数，如果它的个位数字不为零，且正好等于其个位和十位上数字和的倍（为正整数），我们就说这个两位数是一个“喜数”．例如：就是一个“喜数”，因为；就不是一个“喜数”，因为．小晖发现个位数字是十位数字倍的两位数都是“喜数”，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了新定义“喜数”和解一元一次方程，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据十位数、个位数之和与个两位数之间的关系列出方程即可求解，理解和应用新定义是解题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 则这个两位数为， 这个两数是“喜数”， ， 解得：． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足，则这四个偶数是 ． 【答案】100，102，104，106 【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用；解题的关键是准确表示出这四个数，正确列出方程来解答．首先用字母m来表示出这四个数，然后根据等式，列出方程求解即可解决问题． 【详解】解：、b、c、d是4个连续的偶数， 设最后一个数是， ， ， ， ， ， 故答案为：100，102，104，106 【变式4-3】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）观察下面三行数： ，，，，，…① ，，，，，…② ，，，，，…③ (1)第①行第个数是______；第②行第个数是______；第③行第个数是_____； (2)已知是其中的数，则它是第______行的第______个数； (3)取每行的第个数，若这三个数的和是，求的值． 【答案】(1)，，． (2)③，． (3)为或． 【分析】本题考查代数式排列的规律，乘方以及一元一次方程，能用含的代数式表示出每行数中的第个数是解题的关键． （1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）分两种情况列出关于的等式即可． 【详解】（1）观察所给数可知， 第①行中的第个数可表示为， 第②行中的第个数可表示为， 第③行第个数可表示为， ∴第①行第个数是， 第②行第个数是， 第③行第个数是． 故答案为：，，． （2）因为， 所以不在第①行和第②行中． 当， 解得． 所以是第③行的第个数． 故答案为：③，． （3）设第二行的第个数为，则第一行的第个数为，第三行的第个数为， 当为奇数时， 解得 ∵， ∴， ∴； 当为偶数时， 解得 ∵， ∴， ∴． 综上可得，为或． 题型05日历问题 【典例分析】 【例5-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键 【详解】解：设最小的数， 对于选项，，可得， 解得：，故本选项不符合题意； 对于B选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于C选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于D选项， 可得， 解得：，故本选项符合题意；故选D 【例5-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69． 【答案】23 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得： 解得：；故答案为：23 【例5-3】（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为x，根据题意列出方程求解即可判断， 解题的关键是正确找出题中的等量关系． 【详解】设最中间的数为x， ∴这7个数分别为、、、x、、、， ∴这7个数的和为：， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 由图可知，当时，右面没有数字， ∴时不符合题意， 故选：C． 【变式5-2】（22-23七年级上·广西南宁）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 【变式5-3】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 【答案】(1)65；50；位置C上的数的5倍 (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据题意可得最小的数为，最大的数为，根据最小数与最大数的和为40，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∴“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为：“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍， 故答案为：65；50；位置C上的数的5倍； （2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为， ∵， ∴“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）解：∵中间的数为c， ∴最小的数为，最大的数为， ∵最小数与最大数的和为40， ∴， ∴， 故答案为：20． 题型06方案选择问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某商场的婴儿奶粉专柜，为提升某品牌奶粉的知名度，打出了两种优惠方案开展促销活动：方案甲是“买六厅奶粉，折付款，并再送同款奶粉一厅”；方案乙是“买七厅奶粉，折付款”，按方案甲买七厅付了1701元． (1)求这款品牌奶粉原销售价是多少元一厅； (2)若你去买的这款奶粉的话，你认为该采用哪种方案较节省． 【答案】(1)该品牌奶粉原销售价是每厅378元 (2)按方案甲较节省 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该品牌奶粉原销售价是每厅元，根据“买六厅奶粉，折付款，并再送同款奶粉一厅”列方程即可求解； （2）根据方案乙是“买七厅奶粉，折付款”，计算出方案乙所需付款金额进行比较即可． 【详解】（1）解：设该品牌奶粉原销售价是每厅元， 根据题意列方程得：， 解得：， ∴该品牌奶粉原销售价是每厅378元； （2）∵按方案乙付款是：， ∵， ∴按方案甲较节省，故选择方案甲． 【例6-2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）张老师需要办一种套餐．运营商推出了两种包月套餐方案： 方案一：每月50元月租费，流量资费0.4元； 方案二：没有月租费，流量资费0.6元． 设张老师每月使用流量． (1)张老师使用方案一套餐每月需花费__________元，使用方案二套餐每月需花__________元；（用含x的代数式表示） (2)张老师平均每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ (3)若张老师平均每个月使用流量，选择哪种套餐比较合算？ 【答案】(1)，； (2)； (3)第二种套餐 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示选择每种套餐分别花费的钱数是解题的关键． （1）按第一种套餐，应由月租费加流量费计算花费的钱数，为每月，按第二种套餐，只有流量费，为每月元，于是得到问题的答案； （2）若两种套餐花费一样多，则，解方程求出的值即可． （3）分别计算出当时，的值及的值，再将所求得的结果比较大小，即得到问题的答案； 【详解】（1）解：根据题意得，按第一种套餐每月元，按第二种套餐每月元， 故答案为：，． （2）根据题意得， 解得， 答：张老师每月用流量时，两种套餐花费一样多． （3）当时，，， 按第一种套餐需要130元，按第二种套餐需要120元， 120元元， 答：选择第二种套餐比较合算． 【例6-3】（23-24七年级上·江西上饶·期末）为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？ (2)甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买120套队服和a个足球（其中且为整数），当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所花的费用一样？ 【答案】(1)每套队服150元，每个足球100元 (2)购买的足球数a为60时在两家商场购买所花的费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，打折问题，正确理解，列出方程解答是关键． (1)设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，根据题意得：，解方程即可． (2)甲商场购买所花的费用为：，乙商场购买所花的费用为：；两家商场购买所花的费用一样时，，解方程即可． 【详解】（1）解：设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，根据题意得： ， 解得， ． 答：每套队服150元，每个足球100元． （2）解：甲商场购买所花的费用为：， 乙商场购买所花的费用为：； 两家商场购买所花的费用一样时，， 解得． 答：购买的足球数a为60时在两家商场购买所花的费用一样． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏·期末）为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案： 方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具） 方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售） (1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？ (2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？ 【答案】(1)两个方案相差4元； (2)购买甲道具5件，则购买乙道具25件． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）先求出两种方案的费用，再求差即可； （2）设购买甲道具x件，则购买乙道具件，根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：方案一费用：， 方案二费用：， 两个方案相差元， 答：两个方案相差4元； （2）解：设购买甲道具x件，则购买乙道具件， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：购买甲道具5件，则购买乙道具25件． 【变式6-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 【变式6-3】（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 题型07分段计费问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为（以内按起步价付费），后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元．设甲、乙两地之间的路程为，可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：根据题意找相等关系列出方程是解题的关键．根据起步里程所花的费用+超过所花的费用一共付的费用，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙两地的路程为， 由可知，则超过的路程为，此段路程收的费用为元，某人乘出租车从甲地到乙地共付费为16元， 可得方程， 故答案为：． 【例7-2】（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【例7-3】（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 【变式演练】 【变式7-1】（24-25七年级上·山东枣庄·期中）为了节约用水，某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米2.4元收费．小明家六月份交水费元，则小明家六月份实际用水 立方米． 【答案】19 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，由题意可得出小明家六月份超过15立方米，设小明家六月份实际用水x立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴小明家六月份超过15立方米， 设小明家六月份实际用水x立方米， 根据题意得： 解得： 则小明家六月份实际用水19立方米． 故答案为：19． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 元/ (1)当时，明明家5月份用水量为则该月需交水费 元；6月份明明家交了水费家交了水费36元，则6月份用水量为 ；（直接写答案） (2)设某户月用水量为n立方米时（），该户这个月应缴纳水费是多少元？（用含a，n的式子表示） 【答案】(1)30；16 (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）当时，明明家5月份用水量为，列式求出该月需交水费即可；再设明明家6月份用水量为，根据6月份明明家交了水费家交了水费36元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）当时，列式求出该用户应缴纳的水费即可． 【详解】（1）解：当时，明明家5月份用水量为， 则该月需交水费为：（元； 该户这个月应缴纳的水费为30元； 设明明家6月份用水量为， 由题意得：， 解得：， 即明明家6月份用水量为， 故答案为：30，16； （2）解：当时， 该用户应缴纳的水费为：（元， 答：该户这个月应缴纳水费是元 【变式7-3】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示： 计费方法A 计费方法B 每月基本服务费（元/月） 58元 88元 每月免费通话时间（分） 150分 350分 超出后每分钟收费（元/分） 0.25元 0.20元 (1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元； (2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示） (3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？ 【答案】(1)65.5；88 (2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元； (3)270分钟 【分析】（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用户话费；由3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元； （2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法A的用户话费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法B的用户话费； （3）设当通话时间为y分钟时，然后分150<y≤350及y>350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所需的用户话费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元， 3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元． 故答案为：65.5；88 （2）解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元， 按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元； （3）解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若150<y≤350， 58+0.25（y-150）=88，解得：y=270； 若y>350， 0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）． 答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型08年龄问题 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）今年儿子8岁，父亲32岁，年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程． 根据题意，分别得出a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁，然后再根据题意：a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：a年后父亲的年龄为岁，a年后儿子的年龄为岁， ∵a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍， ∴． 故选：B． 【例8-2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）今年，小王同学的年龄比他妈妈小27岁，6年后妈妈的年龄是小王年龄的5倍，设今年，小王同学的年龄是岁，由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得妈妈的年龄为岁，6年后妈妈的年龄是岁，小王年龄是岁，列出方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小王同学的年龄是岁，妈妈的年龄为岁， 6年后妈妈的年龄是岁，小王年龄是岁， 根据题意，得． 故答案为：． 【例8-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【答案】妹妹岁、哥哥岁、爸爸岁 【分析】本题考查年龄问题，熟练掌握年龄变化的规律：“三人增长的岁数一样，也就是爸爸增长的岁数哥哥的增长岁数妹妹增长的岁数”是解题的关键．当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是岁，爸爸的年龄是岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，爸爸是岁时，爸爸增长了岁，分别列出妹妹和哥哥的年龄，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式求出，求出妹妹9岁时三人年龄，再求岁时即可． 【详解】解：当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是岁，爸爸的年龄是岁， 当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，爸爸是岁时，爸爸增长了岁， 妹妹和哥哥也都增长了岁， 这时候妹妹的年龄是岁，哥哥的年龄是岁， 根据“哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍”列式为：， 解得：， 则当妹妹9岁时，哥哥的年龄是岁， 爸爸的年龄是（岁）， 三人年龄和为（岁）， 当三人年龄和为时，三人每人增长（岁）， 则妹妹年龄为：（岁）， 哥哥年龄为：（岁）， 爸爸年龄为：（岁）， 答：现在妹妹岁、哥哥岁、爸爸岁． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题： 周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十比个位正小三，个位六倍与寿符． 哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由两位数的特点结合题意列出方程即可，熟悉两位数的特点和找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为x 则这个两位数十位上的数字为 由题意可列方程： 故选：． 【变式8-2】（24-25七年级上·重庆）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶．他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000.其中年龄最大的老人今年为 岁． 【答案】90 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先求出25位老今年的年龄和，设年龄居中的老人是n岁，根据等量关系列方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可知，两年以后，每位老人都增加了2岁，即增加的年龄和是（岁）， 那么25位老人今年的年龄和是：（岁）． 设年龄居中的老人是n岁， 由题意可得：， 整理，得：， 解得， 那么最大的老人今年的岁数是（岁）， 故答案为：90． 【变式8-3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）父亲和女儿现在年龄和是岁，年前父亲年龄是女儿年龄的倍还多岁． (1)求父亲和女儿现在的年龄分别是多少？ (2)多少年后父亲年龄是女儿年龄的倍？ 【答案】(1)父亲现在的年龄为岁，女儿现在的年龄为岁； (2)年后父亲年龄是女儿年龄的倍． 【分析】（）设女儿现在的年龄为岁，则父亲现在的年龄为岁，根据题意，可得一元一次方程方程，解方程即可求解； （）设年后父亲年龄是女儿年龄的倍，根据题意，可得一元一次方程方程，解方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设女儿现在的年龄为岁，则父亲现在的年龄为岁， 由题意可得，， 解得， ∴岁， 答：父亲现在的年龄为岁，女儿现在的年龄为岁； （2）解：设年后父亲年龄是女儿年龄的倍， 则， 解得， 答：年后父亲年龄是女儿年龄的倍 题型09积分问题 【典例分析】 【例9-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（   ） A．5道 B．6道 C．7道 D．8道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解． 【详解】解；设答对的题数为x道 故： 解得：． 故选：D． 【例9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题． 【答案】38 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，由每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，确定出答对与答错的题目数量，由等量关系列方程求解即可得到答案．根据总分数为102分得出等式方程是解题关键． 【详解】解：设答对了道题， 由题意可得，解得， 故答案为：38． 【例9-3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分成为解答本题的关键． 根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分，进而列方程求解即可； 【详解】解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题， 因为参赛者答对题答错题得分， 所以答对题得分， 设答错题扣分， 由参赛者的得分可得，， 解得， 所以答错题扣分， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对题，答错题． 补全表格如下： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【变式演练】 【变式9-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积分，平一场积分，负一场积分，某班参加场比赛始终保持不败的记录，共得分，则该队胜了（   ）场 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该队胜了场，则平了场，根据共得分列式求解即可． 【详解】解：设该队胜了场， 由于场比赛始终保持不败的记录， 所以平了场， 依题意，得：， 解得：， 即该队胜了场． 故选：B． 【变式9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）某校七年级11个班开展篮球单循环比赛（每班需进行10场比赛），比赛的规则是每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负1场得分．已知七（2）班最终得到14分，则该班胜了 场． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，题解题意，列出方程是解答关键． 设该班胜了场，根据胜1场得3分，负1场得分列出方程求解． 【详解】解：设该班胜了场，由题意， 得， 解得． 故答案为：6． 【变式9-3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题 一、单选题 1．（23-24七年级上·全国·单元测试） 与 的和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的运用，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：C． 2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）某数x的比它的一半少7，则列出求x的方程应是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选：D． 3．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）儿子今年12岁，父亲今年39岁，（     ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍． （      ） A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后 【答案】A 【分析】设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意列方程求解即可． 本题考查了列一元一次方程解决年龄问题．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意，得 ， ， ∴3年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍． 故选：A. 4．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产500个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由题意得， 故选：C． 二、填空题 5．（21-22七年级上·广西河池·阶段练习）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了20场比赛，负了6场，共积32分，那么该队胜多少场？若设该队胜场，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键． 设该队胜场，所以平的场次为，再通过积分规则把分数相加的得到分，即可列出方程． 【详解】解：设该队胜场，所以平的场次为， ∴胜场的得分为，平场次的得分为， ∴可列方程． 故答案为：． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）足球比赛的计分方法为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．一个队共踢了14场比赛，负5场，得了19分．设该队共平了x场，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队共平了x场，则胜了场，再根据总得分为19分，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）根据下列情境中的等量关系列出一个等式： （1）比a的3倍大5的数是： ； （2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了元： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 根据题意中的等量关系列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 三、解答题 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 【答案】656人 【分析】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个工厂原有男工x人， 根据题意得：， 解得， 答：这个工厂原有男工656人． 10．（23-24七年级上·湖北随州·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度0.5元 每度0.8元 小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】小林家11月份的用电量为305度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小林家11月份的用电量为x度，则超过210度部分为度，然后根据“小林家11月份交付电费181元”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由于，所以小林家11月份的用电量超过210度， 设小林家11月份的用电量为x度，则超过210度部分为度， 由题意可得：，解得：． 答：小林家11月份的用电量为305度． 11．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征． (1)若设这5个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理； (2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减，培养学生观察归纳找出规律的能力，关键是通过观察找出各数间的关系． （1）由已知，通过观察得出：左右每个数比前面一个数都大1，上下每个数都比上面一个数都大7，因此设中间数为，则根据以上规律可写出其它5个数．然后求和． （2）由（1）求得的和的代数式，试求是整数则可能，否则不可能． 【详解】（1）解：由题意得，其他4个数从小到大依次为，，，， 所以这5个数的和为． 因为为整数，所以能被5整除，即被四边形圈起来的5个数的和是5的倍数． （2）解：不能． 理由：由（1）知，若中间的数为，则，所以， 所以下面那个数为37，不符合实际意义，故这5个数的和不能为150． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$