专题10巧作四种平行线构造相似三角形（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题10巧作四种平行线构造相似三角形（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01过中点作平行线构造三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 【例1-3】（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，、为的中线交于点O，，，，则 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 题型02过顶点作平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例2-1】（20-21九年级上·山东青岛·单元测试）在中，，是边上的中线，点在边上，，与相交于点，求的值． 【例2-2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，F为底边上一点，，取的中点D，连接并延长交于点E，求的值． 题型03过一边上的点作平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，D是上一点，，边上的中线交于点F，如果，，那么的值为 ． 【例3-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 【例3-3】（22-23九年级上·上海）学完三角形的一边的平行线之后，某数学课外活动小组发现了三角形的内角平分线的一个结论：如图1，如果是的内角平分线，那么． (1)试写出这个研究结论的证明过程； (2)如图2，在中， ，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C 恰好落在边上的E点处．如果，，求的长； (3)如图3，如果是的外角平分线，那么是否依然成立？说明理由． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知，点、为延长线上的两点，，，则的值为 ．    【变式3-2】（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 【变式3-3】（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图1，已知为等边三角形，点和分别是直线和边上的动点，连接和相交于点． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，若，点为边上一点，连接交于点，连接并延长交于点，，，求证：点为中点； (3)若，，将沿直线翻折至所在平面内得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在D、E运动的过程中，当取得最小值时，直接写出的面积． 题型04延长形成平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（   ） A．16 B．24 C．20 D．12 【例4-2】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，E、F分别是的中点，，动点P在射线上，交于D，的平分线交于Q，当时，则的值为 ．    【例4-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形中，为的中点，，求的值． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期中）在中，平分交于E． (1)若，求的长； (2)如图1，F是的中点，连接交于O，若，，求； (3)如图2，F是的中点，连接交于O，若，，求． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 一、解答题 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求的长． 3．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在等腰三角形中，，点D是的中点，点E，F分别在线段上，连接交于点G，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…… （1）【问题提出】如图①，是的角平分线，说明：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成说明； （2）【理解应用】填空：如图②，中，，平分交于点D，则长度为________； （3）【深度思考】如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠点C恰好落在边上的E点处．若，则的长为_______； （4）【拓展升华】如图④，中，为的角平分线，的垂直平分线交延长线于E，连接，当时，的长为_______． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】华师版九年级上册63页例1． 如图，在中，点是边的三等分点，，，求的长．    【应用拓展】 （1）如图①，在中，点是边的中点，点为延长线上一点，连接交于点，若，，，则的长为 　 　． （2）如图②，在中，点为边延长线上一点，点为上一点，连接交于点，若点为的中点，，的面积为4，则（阴影部分）面积为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10巧作四种平行线构造相似三角形（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01过中点作平行线构造三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的性质与判定，三角形的中线的性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．如图，过作交于 证明结合，可得设， 则，可得，再证明 求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作交于， ， 设 则， ， 是的中线， ， ∴， ， ， 故选：B． 【例1-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线；过E作交于F，由平行线分线段成比例可得，再根据相似三角形的判定和性质可得，再根据全等三角形的判定和性质得，再根据三角形面积关系求解即可． 【详解】解：过E作交于F， 是的中线， ， ， ,, ，, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例1-3】（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）如图，是的中线，点F在上，延长交于于点D，若，，则= ． 【答案】/ 【分析】过点E作交于G，可得，所以，得到，再根据，得，得到，即可求解． 【详解】解：如下图，过点E作交于G， 是的中线， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取的中点H，连接， ∵是的中线，即点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【变式1-2】24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，、为的中线交于点O，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点D作交于G，可证明得到，则；再证明，得到，则可求出，同理可得；如图所示，过点A作于H，则，进而得到，则． 【详解】解：如图所示，过点D作交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得； 如图所示，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质； （1）根据等边对等角得到，进而得到，由是的平分线，得到，即可证明； （2）取中点G，连接，利用三角形中位线的性质，易证，得到，进而得到，即可证明； （3）同理（2）取中点G，连接，证明，根据可得，根据得出，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：取中点G，连接， 是边上的中线，即点E为的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ； （3）解：如（2）中图，可知， ， ， 点是的中点，点E为的中点， ， ∵，，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 题型02过顶点作平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例2-1】（20-21九年级上·山东青岛·单元测试）在中，，是边上的中线，点在边上，，与相交于点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作，交的延长线于点，证明，得到，由可得，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ，， 是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【例2-2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，F为底边上一点，，取的中点D，连接并延长交于点E，求的值． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于点G，先证明，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G． ∵， ∴． 又∵D为的中点，∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键 题型03过一边上的点作平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，D是上一点，，边上的中线交于点F，如果，，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】过B作，延长，与之交于点G，得到，则有，进一步推出，再证明，可得，等量代换即可得到线段之比． 【详解】解：如图，过B作，延长，与之交于点G， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线，平行线的性质，解题的关键是通过相似得到线段的比，通过全等得到相等线段． 【例3-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，解方程，解题的关键是正确作出辅助线． 如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，证出，解得．设，则，得出，，设，则，，列出方程即可求解 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，使． 则， ∴， 即， ∴． 设，则， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：． 【例3-3】（22-23九年级上·上海）学完三角形的一边的平行线之后，某数学课外活动小组发现了三角形的内角平分线的一个结论：如图1，如果是的内角平分线，那么． (1)试写出这个研究结论的证明过程； (2)如图2，在中， ，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C 恰好落在边上的E点处．如果，，求的长； (3)如图3，如果是的外角平分线，那么是否依然成立？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)结论依然成立，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）过点C作，交的延长线于点E，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，由（1）同理可证，可得，即可求解； （3）过点D作，交延长线于E， 同理可证，由相似三角形的性质得，即可得证； 掌握相似三角形的判定及性质，构建相似三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：由折叠得： ， ， ． 在中， ， 由（1）同理可证：， ， 即， ， 解得：， ； （3）解：结论依然成立．； 理由如下： 如图，过点D作，交延长线于E， ， ， 由（1）同理可证， ， ． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知，点、为延长线上的两点，，，则的值为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作交的延长线于点，则，由，得，则，所以，再证明，进而证明∽，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则，    ， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在中，平分交于D． (1)求证：； (2)延长至点E，联结、，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点C作交的延长线于点H，证明得到，再利用平行线和角平分线得到，得出，即可得出结论； （2）根据条件先得出，再利用对应边成比例及其夹角相等得出，即可得出，，根据等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作交的延长线于点H， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【变式3-3】（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图1，已知为等边三角形，点和分别是直线和边上的动点，连接和相交于点． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，若，点为边上一点，连接交于点，连接并延长交于点，，，求证：点为中点； (3)若，，将沿直线翻折至所在平面内得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在D、E运动的过程中，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点C作，交的延长线于点I，由题意易得，则有，然后可证，则有，进而可得，最后问题可求证； （3）根据题意画出图形，由题意易得是等腰直角三角形，则，所以要是取得最小值，则取得最小值，根据“隐圆”可知取得最小值为，最后可得出问题答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点C作，交的延长线于点I，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点为中点； （3）解：由题意可得如图： 由翻折可知：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴要使取得最小值，则取得最小值， 由题意可知点F是的运动轨迹是一段圆弧，所以当点O、F、K三点共线时，取得最小值，如图所示： 连接，与交于点R， ∵， ∴优弧所对圆心角为240度， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时点F的位置如图所示： 过点T作于W， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及勾股定理是解题的关键． 题型04延长形成平行线构造相似三角形 【典例分析】 【例4-1】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（   ） A．16 B．24 C．20 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，延长与交于点，根据可得，，，即可由求出的长． 【详解】延长与交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【例4-2】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，E、F分别是的中点，，动点P在射线上，交于D，的平分线交于Q，当时，则的值为 ．    【答案】 【分析】延长，交的延长线于点M，由三角形的中位线定理可得，继而可证明，由等角对等边可得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】延长，交的延长线于点M，    ∵的平分线交于Q， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 【例4-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形中，为的中点，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．首先延长交的延长线于点H，由四边形是平行四边形，易证得，，又由E为的中点，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】延长交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证矩形是正方形，得，，再证，得，结合中点及正方形的性质即可得证； （2）延长交的延长线于点，由，得，证明，得即，从而，同理，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点； （2）解：延长交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，点是的中点， ，， ，， ， 即， ， ， 同理可证：， ， ， ． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期中）在中，平分交于E． (1)若，求的长； (2)如图1，F是的中点，连接交于O，若，，求； (3)如图2，F是的中点，连接交于O，若，，求． 【答案】(1)1 (2)1 (3)11 【分析】（1）根据平行线性质和角平分线证明，得出，即可求解； （2）延长交于点G，连接，根据F是的中点，得出，证明，得出，证明，得出     ，结合，，得出，即可得，再根据即可求解； （3）根据F是的中点，得出 ，延长交于点H，证明，得出，，即可得，从而得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长交于点G，连接， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴     ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵F是的中点， ∴ ， 延长交于点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，平行线得性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证矩形是正方形，得，，再证，得，结合中点及正方形的性质即可得证； （2）延长交的延长线于点，由，得，证明，得即，从而，同理，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点； （2）解：延长交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，点是的中点， ，， ，， ， 即， ， ， 同理可证：， ， ， ． 一、解答题 1．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质; （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ； （2）如图， 在中，，， ，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定的性质． （1）根据，，得到四边形是平行四边形，根据平行加角平分线，得到，即可得证； （2）证明，列出比例式，进行求解即可． 解题的关键是掌握菱形的判定方法，证明三角形相似． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在等腰三角形中，，点D是的中点，点E，F分别在线段上，连接交于点G，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，，即可证明； （2）过点F作，交于点H，根据等腰三角形的性质可得，则D，易证明，则，易证明，则，将，代入即可求解． 【详解】（1）证明：为等腰三角形，， ， ∵点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点F作，交于点H， 为等腰三角形，，点D是的中点， ， ， ∴，即， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， 由上述知，，， ∴． 4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可； （2）作交于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证． 【详解】（1）证明：， ，即， 又点分别是的中点， ，， ， ∴， ； （2）证明：如图，作交于点H， ， ，；，， ，， 又点分别是的中点， ，， ，， ， 由（1）得， ，即， ， ． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…… （1）【问题提出】如图①，是的角平分线，说明：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成说明； （2）【理解应用】填空：如图②，中，，平分交于点D，则长度为________； （3）【深度思考】如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠点C恰好落在边上的E点处．若，则的长为_______； （4）【拓展升华】如图④，中，为的角平分线，的垂直平分线交延长线于E，连接，当时，的长为_______． 【答案】（1）见解析（2）（3）（4）12 【分析】（1）选择小明的思路，过点B作，交的延长线于点D，易证，得到，由角平分线的性质和平行线的性质得，可得，等量代换即可证明；选择小红的思路，根据角平分线的性质得到，再利用等面积； （2）先利用小红的思路做好辅助线，再利用勾股定理得出的值，最后利用（1）中的结论得到，得出答案即可； （3）先利用勾股定理得出的值，再利用（1）中的结论得到，得出的值，最后利用折叠得全等三角形，得出； （4）利用（1）的结论得出的长度，再根据已知条件证明，由相似三角形的性质得出的长度即可． 【详解】（1）证明：选择小明的思路，如图，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ， 又， ， ∴， 是的角平分线， ， ， ， ∴； 选择小红的思路，如图，过点C分别作交于点D，作交于点E，作于点F， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：， ， 由（1）知， ， ． 故答案为：． （3）解：∵将沿所在直线折叠点C恰好落在边上的E点处， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （4）解：为的角平分线， ， 中，， ， ， ∵的垂直平分线交延长线于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】华师版九年级上册63页例1． 如图，在中，点是边的三等分点，，，求的长．    【应用拓展】 （1）如图①，在中，点是边的中点，点为延长线上一点，连接交于点，若，，，则的长为 　 　． （2）如图②，在中，点为边延长线上一点，点为上一点，连接交于点，若点为的中点，，的面积为4，则（阴影部分）面积为 ．    【答案】[教材呈现]；[应用拓展]（1）16；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线，熟练掌握以上知识是解题关键． [教材呈现]根据可得，再利用相似比即可求解． [应用拓展]（1）由得出，由得出，根据相似比即可求解． （2）过点作，即可得出，结合题意可得，根据的面积为4可得的面积为1，的面积为2，再利用面积和相似比的关系即可求解． 【详解】解：[教材呈现] 点是边的三等分点， ， ， ， ， ， ； [应用拓展] （1）， ， ， ， ，即， 解得； 故答案为：16． （2）过点作，    点为的中点， ， ， ， 的面积为4， 的面积为1， 的面积2， ，即， 的面积为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$