专题04诱导公式及三角函数图象和性质的应用（两种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

专题04诱导公式及三角函数图象和性质的应用（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01诱导公式的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24高一上·北京东城·期末）若，，则（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ． 【例1-3】（20-21高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数． （1）求函数的定义域，并判断奇偶性； （2）若存在，使得不等式能成立，试求实数的取值范围． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ． 【变式1-3】（22-23高一上·山东·期末）已知函数图象的一个对称中心是. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知，求的值. 题型02三角函数图象和性质的应用 【典例分析】 【例2-1】（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，且α是第四象限角，则 ． 【例2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且，求的值． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）“”是“函数 的一个对称中心是”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设角、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．的周期为 D．在上值域为 10．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D．存在角 ，其终边与角终边重合 11．（24-25高一上·辽宁·期中）下列说法正确的有（    ） A．当，且时，函数的图像必过定点； B．若函数为奇函数，则； C．函数在上是单调减函数； D．将的图像向右平移个单位，可得的图像 三、填空题 12．（22-23高一上·河北保定·期末）函数的图象关于直线对称，若函数在单调递减，则的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ， ． 14．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 ， ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）若，求的值． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在，上的最小值、最大值分别为1和7，求m和n的值. 17．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)用“五点法”作法函数在上的简图；    (2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）设． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)试判断是否为周期函数？若是，直接写出的最小正周期． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04诱导公式及三角函数图象和性质的应用（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01诱导公式的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24高一上·北京东城·期末）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式直接求出即可. 【详解】因为， 故选：B. 【例1-2】（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据最小正周期的计算公式以及余弦函数的最小值，可得函数解析式，根据余弦函数的单调性，利用整体思想，可得答案. 【详解】由函数的最小正周期为，则，解得； ，解得，则.由，则. 故，由，则，， 由函数在上单调递减，则，解得. 故答案为：. 【例1-3】（20-21高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数． （1）求函数的定义域，并判断奇偶性； （2）若存在，使得不等式能成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为；奇函数；（2）. 【分析】（1）可写出函数解析式，然后由函数式有意义得定义域再由奇偶性定义判断奇偶性； （2）令，用分离参数法变形不等式，转化为求函数的最大值．可用换元法，基本不等式求最值． 【详解】解：（1），所以 ，所以函数定义域为 定义域关于原点对称，且 函数为奇函数.                     （2）令，不等式转化为有解， ，  令，则 因为，当且仅当时取等号，的最大值为   所以 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而利用诱导公式和三角函数定义求出答案. 【详解】因为，故角的终边经过点， 所以. 故选：D. 【变式1-2】（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ． 【答案】/ 【分析】由题可知，利用诱导公式化简，再代值计算即可． 【详解】因为是角α终边上一点，所以， 原式， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23高一上·山东·期末）已知函数图象的一个对称中心是. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的对称中心为，求出的值，再结合正切函数的性质解不等式即可； （2）根据条件，求出，再由二倍角的正切公式求出的值. 【详解】（1）函数, 由,可得, 则的对称中心为. 因为的一个对称中心为， 所以,所以. 因为，所以，所以. 由，可得， 所以. 因为，所以， 所以不等式的解集为. （2）由（1）知，，因为， 所以=， 所以，所以. 题型02三角函数图象和性质的应用 【典例分析】 【例2-1】（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，为函数的周期，求出的最小正周期，结合可求得的值. 【详解】因为，则函数的最小正周期为， 若存在，使得，则， 所以，函数为周期函数，且为函数的周期， 所以，，即， 因为，所以，， 故选：D. 【例2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，且α是第四象限角，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式将化成，再由，结合角的象限求出，代入计算即得. 【详解】因α是第四象限角，且，则. 因. 故答案为：. 【例2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】利用整体代换法以及诱导公式代入计算即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 所以． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高一上·贵州毕节·期末）若函数的值域为，则实数的可能值共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先得到当时，，再分，和三种情况，结合函数值域得到方程，求出相应的实数的值，得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 若，当时，，当时，， 此时的值域为，不合题意； 若，则时，，， 由于，由题意需使； 若，则时，， 由于，故需使， 即实数的可能值共有2个. 故选：B． 【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知，其中，且，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】首先由条件确定函数的一条对称轴，并求，并根据，求的取值范围，并结合三角函数的图象和性质，即可求解. 【详解】因为函数的周期为，再由可知， 函数的一条对称轴是， 所以，，得，， 又，所以， 所以，当，， 由函数在区间上有且只有三个零点， 所以，解得：. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值. 【答案】3 【分析】根据题意，由诱导公式化简，化为正切的齐次式，代入计算，即可求解. 【详解】原式. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）“”是“函数 的一个对称中心是”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合正切函数的性质，作出判断． 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解. 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 3．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移规律：“左＋右”，即可求解平移后的解析式. 【详解】根据题意可得. 故选：A 4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义可得，进而由诱导公式即可求解. 【详解】根据题意，由三角函数的单位圆定义得：， ， 故选：D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及诱导公式求解，再利用诱导公式和商数关系化简即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ∵α为第二象限角， ∴， ∴ ． 故选：A. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设角、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的有界性得到，，又，从而，，求出，，，，则，从而得到最值. 【详解】因为，， 所以，， 所以，. 又， 则， 即，， 即，， 所以，，，， 则， 当，时，取最小值. 故选：A 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 8．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， ， ∴，， 故选：A． 二、多选题 9．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．的周期为 D．在上值域为 【答案】AD 【分析】运用正弦型函数的性质公式计算判断即可. 【详解】最小值为，A正确； 当时，，故在上不单调，故B错误； 周期为，C错误； 时，，当,即时， 取得最小值，最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为， 故值域为，D正确. 故选：AD. 10．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D．存在角 ，其终边与角终边重合 【答案】BCD 【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决. 【详解】解：因为角终边经过点， 则, 对于 ：，故A错误； 对于：，故B正确； 对于：，故C 正确； 对于：因为，故，而, 故存在其终边与终边重合，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一上·辽宁·期中）下列说法正确的有（    ） A．当，且时，函数的图像必过定点； B．若函数为奇函数，则； C．函数在上是单调减函数； D．将的图像向右平移个单位，可得的图像 【答案】AD 【分析】由指数函数的性质可得A正确；举反例得到B错误；由单调性的定义可得C错误；由图像平移的性质可得D正确； 【详解】A：由指数函数的性质可得当，且时，函数的图像必过定点，故A正确； B：若，则为奇函数，但无意义，故B错误； C：函数在上无单调性，在上单调递减； D：由图像平移的性质可得将的图像向右平移个单位，可得的图像，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（22-23高一上·河北保定·期末）函数的图象关于直线对称，若函数在单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数的图象关于直线对称，可得，可求函数的解析式，进而可得的解析式，根据函数在单调递减，可得，求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 由，可得， 因为函数在单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 /-0.5 【分析】直接利用诱导公式化简，结合正余弦的齐次式法求值即可. 【详解】， . 故答案为：，. 14．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 ， ． 【答案】 4 0 【分析】根据线段长度与周期的关系求出，再代入计算即可. 【详解】的图象的相邻两支截直线所得线段的长度即为的一个周期， ∴，，， ∴． 故答案为：4；0. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）若，求的值． 【答案】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数之间的基本关系即可求出结果. 【详解】利用诱导公式将原式化简可得 原式 又因为， 所以． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在，上的最小值、最大值分别为1和7，求m和n的值. 【答案】或. 【分析】根据的正负分类讨论，利用函数的单调性分别表达出最值关系式，解方程组可得. 【详解】正切函数在，单调递增， 且， ， 由题意函数最小值、最大值分别为1和7，可知， ①当时，函数在，单调递增， ，解得； ②当时，函数在，单调递减， 即. 综上所述，或. 17．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数. (1)用“五点法”作法函数在上的简图；    (2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用“五点法”作出图象即可； （2）转化两个函数的图象在上有两个交点，作出图象可得答案. 【详解】（1） 0 0 1 0 0 2 1 2 3 2    （2）由，得， 即两个函数的图象在上有两个交点， 因为，所以，    若两个函数的图象在上有两个交点， 则，解得. 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）设． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)试判断是否为周期函数？若是，直接写出的最小正周期． 【答案】(1) (2)该函数为奇函数 (3) 【分析】（1）由对数函数的定义域可知，结合正弦函数的性质解不等式即可得答案； （2）由函数奇偶性定义直接验证即可； （3）由正弦函数的最小正周期能直接推出答案. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，， ∴该函数的定义域为 ． （2）由（1）知定义域关于原点对称， 又 ， ∴该函数为奇函数． （3）由于的最小正周期为， ， 即为周期函数，最小正周期． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用诱导公式化简并代入求值. （2）求出，利用诱导公式及齐次式法求值. 【详解】（1）依题意，，则，，， 所以原式. （2）由（1）知，， 所以原式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$