专题03指数函数、对数函数（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

专题03指数函数、对数函数（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01指数与对数的运算 【典例分析】 【例1-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（21-22高一上·四川攀枝花·期末）计算或化简： (1)； (2)． 【例1-3】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）化简或计算下列各式： (1)； (2). 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·期中）化简求值： (1)计算： (2)已知，求的值． 【变式1-3】（23-24高一上·重庆永川·期中）分别计算下面两题 (1)化简： (2)化简求值. 题型02利用指数函数、对数函数的性质比较大小 【典例分析】 【例2-1】（24-25高一上·广东·期中）已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： （）． 【例2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）设则的大小关系为 【变式2-3】（23-24高一上·上海·假期作业）利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. (1)和； (2)和； (3)和，其中且； (4)和. 题型03指数函数与对数函数的图象 【典例分析】 【例3-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为 . 【例3-3】（22-23高一上·河北保定·阶段练习）已知函数. (1)在给定的坐标系中作出在上的图象； (2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，A，B，C，D是，，，四个函数的图象，则    （1）函数的图象是 ； （2）函数的图象是 ； （3）函数的图象是 ； （4）函数的图象是 ． 【变式3-3】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知指数函数的图像经过点. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域. 题型04应用指数函数、对数函数的性质确定参数的值或范围 【典例分析】 【例4-1】（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【例4-2】（24-25高一上·吉林·期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 . 【例4-3】（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【变式演练】 【变式4-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数为偶函数， (1)求实数k的值； (2)若，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江·期中）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 6．（21-22高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东青岛·期中）下列函数中，满足对任意，都有的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在上单调递增 三、填空题 12．（23-24高一上·福建厦门·期中）求值： ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数在上单调递增，则的值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求值：. 16．（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求a，b的值; (2)解不等式. 17．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知双曲函数，. (1)证明： (2)判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. (3)若，不等式成立，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03指数函数、对数函数（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01指数与对数的运算 【典例分析】 【例1-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 【例1-2】（21-22高一上·四川攀枝花·期末）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)0 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解 （2）由对数的运算性质求解 【详解】（1）原式 （2）原式 【例1-3】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）化简或计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)-45 (2)1 【分析】（1）根据幂指运算，可得答案； （2）根据对数运算，可得答案. 【详解】（1）原式. （2）原式＝ 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·江苏南京·期中）化简求值： (1)计算： (2)已知，求的值． 【答案】(1)2； (2)7. 【分析】（1）应用对数的运算性质化简求值； （2）由指数幂的运算性质求得，结合因式分解求目标式的值. 【详解】（1） . （2），则 ，故. 【变式1-3】（23-24高一上·重庆永川·期中）分别计算下面两题 (1)化简： (2)化简求值. 【答案】(1) (2) 【分析】利用根式转化为分数指数幂，以及分数指数幂的运算方法，即可化简； 【详解】（1）原式； （2）原式 . 题型02利用指数函数、对数函数的性质比较大小 【典例分析】 【例2-1】（24-25高一上·广东·期中）已知实数，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 【例2-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： （）． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质比较即可 【详解】因为在上递增，且， 所以. 故答案为： 【例2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）利用指数函数单调性质比较大小. （3）利用幂函数单调性比较大小即得. （4）利用指数函数单调性，结合媒介数比较大小. （5）利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】（1）因为是增函数，，所以． （2）因为是减函数，，所以． （3）因为在上递增，，所以． （4）因为，，所以. （5）函数是减函数，则； 函数在上递增，则， 所以. 【变式演练】 【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）设则的大小关系为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，，则， 所以的大小关系为. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高一上·上海·假期作业）利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. (1)和； (2)和； (3)和，其中且； (4)和. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 (4) 【分析】（1）（2）（3）利用对数函数的单调性判断两个对数的大小关系即可； （4）将和分别与比较即可判断两个对数的大小关系. 【详解】（1）因为函数在上单调递增，且， 所以. （2）因为函数在上单调递减，且， 所以. （3）令， 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 又，所以当时，，当时，. （4）因为，，所以. 题型03指数函数与对数函数的图象 【典例分析】 【例3-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 【例3-2】（24-25高一上·江苏无锡·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】由指数函数的图象可知，结合二次函数性质分析求解即可. 【详解】由指数函数的图象可知， 所以二次函数图象顶点的横坐标. 故答案为：. 【例3-3】（22-23高一上·河北保定·阶段练习）已知函数. (1)在给定的坐标系中作出在上的图象； (2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围. 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）运用零点分段法去掉绝对值符号后可画图；（2）函数必定是单调函数，故我们只需讨论函数递增还是递减，然后结合图像可得. 【详解】（1）当时，，当时，， 在上的图象如图所示. （2）由题意得的图象过定点. 当时，在上单调递增，所以，得. 当时，在上单调递减，所以， 得，即. 综上，的取值范围为. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 【变式3-2】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，A，B，C，D是，，，四个函数的图象，则    （1）函数的图象是 ； （2）函数的图象是 ； （3）函数的图象是 ； （4）函数的图象是 ． 【答案】 D B A C 【分析】根据对数函数性质分析判断. 【详解】对于对数函数（且）可知： 当时，函数在定义域内单调递增；当时，函数在定义域内单调递减； 所以函数的图象是C； 且当时，底数越大，图象越靠近x轴， 所以函数的图象是D，函数的图象是B，函数的图象是A. 故答案为：D；B；A；C. 【变式3-3】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知指数函数的图像经过点. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案； （2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域. 【详解】（1）∵函数的图像经过点， ∴，得，（舍）， ，， 在上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是. （2） 令，，则， 则， 所以在上单调递减， 故当时，， 当时，， 故当时，的值域为. 题型04应用指数函数、对数函数的性质确定参数的值或范围 【典例分析】 【例4-1】（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一上·吉林·期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的两段都是增函数且分界处左小右大（可相等）得不等式组，解之即得． 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：． 【例4-3】（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 【变式演练】 【变式4-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设函数满足，且在上的值域为 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为在上的值域为，然后结合的图象分析出所满足的不等关系，由此求解出结果. 【详解】因为在上的值域为， 将问题转化为在上的值域为， 且开口向上对称轴为，，如下图所示： 由图象可知：，解得， 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数为偶函数， (1)求实数k的值； (2)若，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数定义表达式，化简可得的值； （2）先求解出的单调性从而可确定出，然后将问题转化为“对恒成立”，最后通过参变分离求解出的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 又因为不恒为， 所以，即. （2）因为， 令，当时，，且在上单调递增， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 又因为为偶函数，所以在上单调递减， 所以； 又因为，，使得恒成立， 且， 所以对恒成立， 令， 所以对恒成立，所以， 又因为在上单调递减， 所以，即. 【点睛】结论点睛：本题考查对数型函数性质的综合应用，涉及利用奇偶性求参数、根据不等式恒成立求解参数范围，对学生的计算能力要求较高，难度较大.不等式的恒成立和存在性问题可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 一、单选题 1．（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数、对数函数的单调性可得，即可求解. 【详解】，即， ，即， ，即， 又，所以，即， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·黑龙江·期中）若，，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据指数与对数运算法则计算可得结果. 【详解】由，得，又， 所以. 故选：C 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 5．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 6．（21-22高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 7．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故选：D. 8．（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】讨论底数a，根据函数的单调性进行判断 【详解】由，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC 10．（24-25高一上·山东青岛·期中）下列函数中，满足对任意，都有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据得在上单调递增，结合常见函数的单调性即可求解 【详解】由可得在上单调递增， 对于A，，当时，为单调递增，符合要求，故A正确， 对于B，在单调递减，不符合要求，故B错误， 对于C，在单调递增，符合要求，故C正确， 对于D，在单调递增，符合要求，故D正确， 故选：ACD 11．（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用对勾函数与指数函数的定义、性质结合复合函数的性质计算即可判定B，C，D. 【详解】因为，所以， 所以不是奇函数，则A错误. 由题意可得的定义域是，则B正确. 因为在R上单调递增，而函数在和上单调递增， 在上单调递减， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又当时，，所以； 当时，，所以. 则的值域是，则C、D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（23-24高一上·福建厦门·期中）求值： ． 【答案】8 【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，，， ，， 所以原式. 故答案为：8 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； （2）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． （2）值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 故答案为：； 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数在上单调递增，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据题意分析可知：在内单调递增，且，分和两种情况，结合单调性分析求解即可. 【详解】因为在上单调递增，且， 由题意可知：在内单调递增， 且，解得， 若，则， 结合单调性可得，解得，可得； 若，注意到，结合单调性可知， 此时，其图像如图所示 可得在内单调递增，符合题意； 综上所述：或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（24-25高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）1；（2）6 【分析】结合指数幂的运算法则和运算性质，逐个计算，即可求解. 【详解】（1） ， （2）因为，所以，所以， 则，所以， 所以 16．（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求a，b的值; (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由， 则， 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，解得. （2）由（1）知，， 由， 即， 即，即， 即，即， 所以不等式的解集为. 17．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知双曲函数，. (1)证明： (2)判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. (3)若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递增，； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得. （2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式. （3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可. 【详解】（1）双曲函数，, 则. （2）函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式， 当时，，则， 依题意，，恒成立，令，， ，函数在上单调递增， 则当时，，因此，即当时，取得最大值，则， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 18．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. （2）由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 19．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出的单调性，求出在区间上的最小值； （2）由题意得在的值域包含于在的值域，分、和三种情况并结合单调性求解. 【详解】（1），令，， 所以，在单调递增， 所以， 所以在区间上的最小值为； （2）由题意得在的值域包含于在的值域， 由二次函数的性质得的值域为， 当时，符合题意， 当时，，可知函数单调递增， 所以， 所以，所以， 当时，为对勾函数，， 所以，，此时， 所以，又，可知无解； 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$