精品解析：辽宁省沈阳市沈北新区2024-—2025学年八年级上学期期中数学试题

沈北新区2024—2025学年度上学期期中测试 八年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 负数的平方根是负数 B. 100的平方根是10 C. 的平方根是 D. 0的算术平方根是0 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A. （2，3） B. （-3，2） C. （-3，-2） D. （-2，3） 8. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 9. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 12. 若点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是______． 13. 请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与轴的交点坐标为，此一次函数的表达式可以为______． 14. 如图有一圆柱，高为，底面半径为，在圆柱下底面点有一只蚂蚁，它想吃上底面与相对的点处的食物，需爬行的最短路程大约为________（取）． 15. 对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对24进行如下操作：，即对24只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知一次函数． （1）补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； （3）求时的取值范围． 18. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 19. 在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离（）与他所用的时间（）的关系如图所示． （1）当时，与的函数表达式为______； 当时，与的函数表达式为______； （2）当小明距离家时，他离家的时间为：______； （3）文具店到小明家的距离为______． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 22. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． （1）求的长； （2）求的度数． 23. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． （1）求点的坐标，直接出直线的表达式； （2）如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． （3）如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，设，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈北新区2024—2025学年度上学期期中测试 八年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 负数的平方根是负数 B. 100的平方根是10 C. 的平方根是 D. 0的算术平方根是0 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是平方根、算术平方根的概念，掌握其定义是解决此题关键．根据平方根、算术平方根的概念分别判断即可． 【详解】A. 负数没有平方根，故原说法错误，本选项不符合题意； B. 100的平方根是，故原说法错误，本选项不符合题意； C. 没有平方根，故原说法错误，本选项不符合题意； D. 0的算术平方根是0，故原说法正确，本选项符合题意； 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D，选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的四则运算法则． 3. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：对于A选项． ∵∠A=∠B-∠C， ∴∠A+∠C=∠B． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°． ∴∠B=90°． ∴△ABC为直角三角形． 故A选项不符合题意． 对于B选项． ∵∠A：∠B：∠C=1:2:3， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故B选项不符合题意． 对于C选项． ∵， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故C选项不符合题意． 对于D选项． ∵， ∴设，则，． ∵， ∴△ABC不是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，勾股定理逆定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 4. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 5. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 6. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A. （2，3） B. （-3，2） C. （-3，-2） D. （-2，3） 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．证明△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是OD长的相反数，B的纵坐标就是OC长的绝对值，由此可得出B的坐标． 【详解】解：作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D． 则∠ACO=∠ODB=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°． 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90° ∴∠OAC=∠BOD． 在△ACO和△ODB中 ∴△ACO≌△ODB（AAS）． ∴OD=AC=3，DB=OC=2． ∴点B的坐标为（-3，2）． 故选B. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 8. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移2个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确． 故选：D． 9. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 10. 甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车； ②乙车行驶的速度是； ③两地相距；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发小时后到达 地，求出两地的距离即可判断③，据此即可求解，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵甲车的速度为， ∴根据函数图象可知，甲车先出发， ∵根据函数图象可知，甲出发后，乙追上甲， ∴甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； ∴ 乙车的速度为，故②正确； 根据图可知，乙出发后到达点， ∴两地相距，故③正确； ∴正确的说法有个， 故选：． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数，勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 12. 若点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键． 【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 又∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13. 请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与轴的交点坐标为，此一次函数的表达式可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质及与坐标轴的交点问题，根据题意确定出即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数图象要经过第一、三、四象限， ∴，， 又∵与轴的交点坐标为， ∴， ∴写出的一次函数表达式满足、即可， 故答案为：． 14. 如图有一圆柱，高为，底面半径为，在圆柱下底面点有一只蚂蚁，它想吃上底面与相对的点处的食物，需爬行的最短路程大约为________（取）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何体的展开图，根据题意，将圆柱展开，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，圆柱体侧面展开是一个长方形，如图所示， ∴，，且， ∴， 故答案为： ． 15. 对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对24进行如下操作：，即对24只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2 【答案】3 【解析】 【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：3 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）5 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行合并； （2）利用平方差运算； （3）先化简二次根式，再根据混合运算法则运算； （4）将括号内二次根式化为最简二次根式再合并，然后利用二次根式的除法法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ， ， ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 17. 已知一次函数． （1）补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 （2）若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； （3）求时的取值范围． 【答案】（1） 补全表格如下： 0 1 4 6 描点、连线，画出函数图象，如图所示． , （2）的面积 （3） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的作图及性质，交点问题，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）将与代入函数求解即可，然后描点、连线即可； （2）根据题意确定交点坐标，然后结合图形求解即可； （3）分别求出对应的自变量的值，然后结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， 【小问2详解】 当时，， 解得， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为， 的面积． 【小问3详解】 当时，． 当时，． ， 随的增大而增大， 当时，的取值范围是． 18. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【答案】（1） （2）方案甲更省钱 （3）学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可； （2）将分别代入，计算求解，然后比较作答即可； （3）当元，当元，分别计算对应的的值，然后比较作答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案甲更省钱； 【小问3详解】 解：由题意知，当元时，，解得：， 当元时，， 解得：， ∵， ∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 19. 在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离（）与他所用的时间（）的关系如图所示． （1）当时，与的函数表达式为______； 当时，与的函数表达式为______； （2）当小明距离家时，他离家的时间为：______； （3）文具店到小明家的距离为______． 【答案】（1）； （2）分钟或分钟 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）分小明到达体育场前和体育场后两种情况解答即可求解； （）根据图象即可求解； 本题考查了一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，设，把代入得， ， ∴， 故答案为：； 当时，设，把、代入得， ， 解得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当小明在线段段时，把代入得， ， ∴； 当小明在线段段时，把代入得， ， 解得； 综上，当小明距离家时，他离家的时间为分钟或分钟； 【小问3详解】 解：由图可得，文具店到小明家的距离为， 故答案为：． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为______； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）5 （2）或 （3） 解：点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到x轴、y轴的距离都是5， 是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 略 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 22. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解，构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ； 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接， 由网格得： ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 23. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． （1）求点的坐标，直接出直线的表达式； （2）如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． （3）如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线的表达式为，直线的表达式为 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（）过点作轴，垂足为，由一次函数可得坐标，即得，， 再证明，可得，，进而可得，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，进而证明，得到，，即得，据此即可求解； （）求出点和点坐标，再求出， 根据列出方程求出即可求解． 【小问1详解】 解：过点作轴，垂足为，    ∵直线，令，可得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵ 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点在直线上，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在线段上存在一点，使直线平分的面积． 如图， ∵直线解析式为，是线段上一点， ∴， ∴， 将代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，设，求x的值． 【答案】（1） 梯形的面积为， 也可以表示为 ， ∴， 即； （2） （3）x 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少0.25千米； 【小问3详解】 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $