精品解析：甘肃省平凉市静宁县文萃中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

文萃中学高一年级数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（ ） A. 168 B. 170 C. 172 D. 171 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知，，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 15 D. 17 7. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 8. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ）． A. B. 4 C. 0 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对部分得分） 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 已知关于的不等式的解集为，则 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本方差为_________. 13. 的定义域为______． 14. 定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集为，集合，． （1）求； （2）求． 16. 100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 17. 若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数． （1）求的解析式； （2）当时，求的值域． 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文萃中学高一年级数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题“，”的否定是，． 故选：C． 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由元素与集合的关系可判断（1）；由集合与集合的包含关系可判断（2）；由描述法可判断（3）；由集合的包含关系与交集的定义可判断（4）． 【详解】因为空集没有任何元素，故，故（1）正确； 因为空集是任何集合的子集，故，故（2）正确； 解方程组得，则，故（3）错误； 若，则，故（4）正确. 所以正确的个数是3． 故选：A． 3. 高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（ ） A. 168 B. 170 C. 172 D. 171 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解即可. 【详解】将数据按升序排列可得168，170，172，172，175，176，180， 因为，所以这7人的第40百分位数为第3位数172. 故选：C. 4. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 6. 已知，，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】令，解得，代入运算即可. 【详解】令，解得， 所以. 故选：D. 7. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可. 【详解】∵命题：为真命题， ∴， 又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∵命题，，为真命题， ∴，∴或， ∵命题p，q都是真命题， ∴或. 故选：C 8. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ）． A. B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出的图象，即可得函数的图象，根据图象分析最值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对部分得分） 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 已知关于的不等式的解集为，则 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：可知：的两根为，且，利用韦达定理分析判断；对于C：换元，结合对勾函数单调性分析判断；对于D：根据一元二次方程结合充分、必要条件分析判断. 【详解】对于选项A：例如，但， 可知命题“，”是假命题，故A错误； 对于选项B：由题意可知：的两根为，且， 则，可得，所以，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，且当时，， 所以函数的最小值为，故C错误； 对于选项D：若，则， 可知方程有2个不相等的实根，且， 所以方程有一正根和一负根，即充分性成立； 若方程有一正根和一负根，设为，则，即必要性成立； 综上所述：“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小值为0 C. 的定义域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本方差为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由样本数据的平均数的计算公式求得 的值，再根据方差的计算公式，求得数据的方差，得到答案. 【详解】因为样本的平均值为，可得，解得， 所以样本的方差为. 故答案为：. 13. 的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可 【详解】由， 得，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 14. 定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先将题意转化为或，再画出函数的图象，根据图象解不等式即可. 【详解】由题意得到与异号，故不等式可转化为或， 根据题意可作函数图象，如图所示： 由图象可得：当时，；当时，， 则不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集为，集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】根据集合间的并集与补集的计算直接可得解. 【小问1详解】 由已知，， 则； 【小问2详解】 又全集为， 则或，或， 故或. 16. 100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2）中位数：，众数：75，平均数： 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求解即可； （2）由频率分布直方图中中位数两侧的面积相等求中位数，频率与组距之比的最大值的中间值求众数，中间值乘以乘以频率求平均数； 【小问1详解】 由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1， 所以有，解得． 【小问2详解】 前两个小矩形面积为，第三个小矩形的面积为， 中位数要平分直方图的面积， ． 众数：75 平均数： 17. 若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数． （1）求的解析式； （2）当时，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解不等式确定的大小关系，进而可得函数解析式； （2）分和两种情况，结合一次函数和二次函数性质求值域即可. 【小问1详解】 因为， 令，即，解得； 令，即，解得或； 所以． 【小问2详解】 因为，且， 当时，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在上的最大值为，最小值为， 可得； 当时，可知在上单调递减， 且，可得； 综上所述：，即在上的值域为． 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. 【小问2详解】 证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【小问1详解】 因为二次函数满足， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $