专题02 代数式和分式（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题02 代数式和分式 课标要求 考点 考向 1. 代数式及代数式求值，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示;会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 2. 幂的运算,了解整数指数幂的意义和基本性质。 3. 乘法公式,能推导乘法公式：(a + b)(a - b) = a² - b²，(a±b)² = a²±2ab + b²。了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。 4. 因式分解，了解因式分解的意义，会用提公因式法、公式法（直接运用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 5. 分式及分式运算,了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分。- 能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 6. 分式的化简求值,会进行简单的分式化简求值，在化简求值过程中，要注意代入求值时使分式有意义的条件。 代数式 考向一 代数式及代数式求值 考向二 幂的运算 考向三 乘法公式 考向四 因式分解 分式 考向一 分式及分式运算 考向二 分式的化简求值 考点一 代数式 ►考向一 代数式求值 易错易混提醒 代数式书写规范易出错，如数字与字母相乘，数字要写在字母前面，带分数要化为假分数等；代入求值时，容易忽略代数式中字母的取值范围导致错误，例如在分式型代数式中分母不能为0。 1．（2024•广州）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　 　． ►考向二 幂的运算 易错易混提醒 容易混淆幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除等运算法则，当底数不同但指数相同的幂进行乘除运算时，可以先将底数相乘除，指数不变；对于复杂的幂运算式子，将其拆分成简单的幂运算步骤逐步计算。 1.（2024•广东）下列计算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．a8÷a2＝a4 C．﹣2a+5a＝7a D．（a2）5＝a10 2.（2023•广州）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0） C．a3•a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0） ►考向三 乘法公式 解题技巧/易错易混 对于复杂的多项式乘法，观察式子是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，若符合则直接套用公式； 当式子需要添项或者拆项来使用乘法公式时，要注意保持等式两边相等。 1.（2024•深圳）下列运算正确的是（　　） A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．m2n•m＝m3n C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣1 2.（2023•深圳）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a6 ►考向四 因式分解 易错易混 （1）因式分解不彻底； （2）混淆因式分解和整式乘法的概念，在分解过程中又进行了乘法运算. 解题技巧 ①首先考虑是否有公因式可提，提公因式是因式分解的第一步； ② 对于二次三项式，观察是否符合完全平方公式或者十字相乘法的形式进行分解. 1.（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝　 　． 2.（2023•深圳）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　 　． 考点二 分式 ►考向一 分式及分式运算 易错易混 （1）分式的基本性质运用错误，如在约分或通分过程中，忽略了同时乘以或除以同一个不为0的整式； （2）进行分式加减法时，忘记通分或者通分错误，尤其是分母是多项式的情况. 解题技巧 ①约分时分式的分子、分母是多项式的，先将其分解因式，便于约分; ②通分时先确定最简公分母，再将分式化为同分母分式进行运算. 1.（2024•广州）若a≠0，则下列运算正确的是（　　） A．+＝ B．a3•a2＝a5 C．•＝ D．a3÷a2＝1 2.（2024•广东）计算：﹣＝　 　． 3.（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． ►考向二 分式的化简求值 易错易混 （1）化简过程中运算顺序错误，应该先算乘除后算加减。 （2）代入求值时，没有考虑使原分式有意义的条件，导致结果错误。 解题技巧 ①先将分式化简到最简形式，再代入求值。 ②可以根据已知条件对化简后的式子进行灵活变形，如设参数法等，方便求值。 1.（2024•深圳）先化简，再代入求值：，其中． 2.（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3． 1．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压，若线路的电流， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V． 3．（23-24九年级上·广西玉林·期末）综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 1．（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 二、填空题 3．（2024·广东惠州·模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图1叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……如2图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为 ． 4．（2024·广东东莞·一模）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加，若纹饰需要8个圆形图案，，此时纹饰的长度y为 ．    5．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为 ． 三、解答题 6．（2024·广东清远·模拟预测）已知，代数式，． (1)因式分解A； (2)化简分式． 7．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 8．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 9．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 10．（2024·广东惠州·模拟预测）（1）化简： （2）已知一次函数与的图象在同一个平面直角坐标系中相交于点A， 求交点A 的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式和分式 课标要求 考点 考向 1. 代数式及代数式求值，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示;会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 2. 幂的运算,了解整数指数幂的意义和基本性质。 3. 乘法公式,能推导乘法公式：(a + b)(a - b) = a² - b²，(a±b)² = a²±2ab + b²。了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。 4. 因式分解，了解因式分解的意义，会用提公因式法、公式法（直接运用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 5. 分式及分式运算,了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分。- 能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 6. 分式的化简求值,会进行简单的分式化简求值，在化简求值过程中，要注意代入求值时使分式有意义的条件。 代数式 考向一 代数式及代数式求值 考向二 幂的运算 考向三 乘法公式 考向四 因式分解 分式 考向一 分式及分式运算 考向二 分式的化简求值 考点一 代数式 ►考向一 代数式求值 易错易混提醒 代数式书写规范易出错，如数字与字母相乘，数字要写在字母前面，带分数要化为假分数等；代入求值时，容易忽略代数式中字母的取值范围导致错误，例如在分式型代数式中分母不能为0。 1．（2024•广州）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　11　． 【分析】由已知条件可得a2﹣2a＝5，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴原式＝2（a2﹣2a）+1 ＝2×5+1 ＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． ►考向二 幂的运算 易错易混提醒 容易混淆幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除等运算法则，当底数不同但指数相同的幂进行乘除运算时，可以先将底数相乘除，指数不变；对于复杂的幂运算式子，将其拆分成简单的幂运算步骤逐步计算。 1.（2024•广东）下列计算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．a8÷a2＝a4 C．﹣2a+5a＝7a D．（a2）5＝a10 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项及幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，逐一判断即可． 【解答】解：A．a2•a5＝a7，故本选项不符合题意； B．a8÷a2＝a6，故本选项不符合题意； C．﹣2a+5a＝3a，故本选项不符合题意； D．（a2）5＝a10，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法、合并同类项及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 2.（2023•广州）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0） C．a3•a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0） 【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意； B．a8÷a2＝a6（a≠0），故此选项不合题意； C．a3•a5＝a8，故此选项符合题意； D．（2a）﹣1＝（a≠0），故此选项不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． ►考向三 乘法公式 解题技巧/易错易混 对于复杂的多项式乘法，观察式子是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，若符合则直接套用公式； 当式子需要添项或者拆项来使用乘法公式时，要注意保持等式两边相等。 1.（2024•深圳）下列运算正确的是（　　） A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．m2n•m＝m3n C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣1 【分析】利用幂的乘方法则，单项式乘单项式法则，合并同类项法则，完全平方公式逐项判断即可． 【解答】解：（﹣m3）2＝m6，则A不符合题意； m2n•m＝m3n，则B符合题意； 3mn与m不是同类项，无法合并，则C不符合题意； （m﹣1）2＝m2﹣2m+1，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2.（2023•深圳）下列运算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a6 【分析】分析：根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则，逐项计算，即可得出正确答案． 【解答】解：A，a3•a2＝a3+2＝a5，故A选项错误，不合题意； B，4ab﹣ab＝3ab，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意； C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C选项错误，不合题意； D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握各运算法则并正确计算是解题的关键． ►考向四 因式分解 易错易混 （1）因式分解不彻底； （2）混淆因式分解和整式乘法的概念，在分解过程中又进行了乘法运算. 解题技巧 ①首先考虑是否有公因式可提，提公因式是因式分解的第一步； ② 对于二次三项式，观察是否符合完全平方公式或者十字相乘法的形式进行分解. 1.（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝　 　． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 2.（2023•深圳）已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　42　． 【分析】利用因式分解得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝7×6 ＝42． 故答案为：42． 【点评】本题考查了因式分解． 考点二 分式 ►考向一 分式及分式运算 易错易混 （1）分式的基本性质运用错误，如在约分或通分过程中，忽略了同时乘以或除以同一个不为0的整式； （2）进行分式加减法时，忘记通分或者通分错误，尤其是分母是多项式的情况. 解题技巧 ①约分时分式的分子、分母是多项式的，先将其分解因式，便于约分; ②通分时先确定最简公分母，再将分式化为同分母分式进行运算. 1.（2024•广州）若a≠0，则下列运算正确的是（　　） A．+＝ B．a3•a2＝a5 C．•＝ D．a3÷a2＝1 【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：+＝＝，则A不符合题意； a3•a2＝a5，则B符合题意； •＝，则C不符合题意； a3÷a2＝a，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2.（2024•广东）计算：﹣＝　 　． 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：原式＝＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母． 3.（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【分析】（1）应用提公因式法与平方差公式，即可解决问题； （2）把分式的分母，分子分别因式分解，然后约分，即可得到答案． 【解答】解：（1）2a2﹣8 ＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）； （2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一）， ＝ ＝． 【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合应用，关键是掌握因式分解的方法，分式化简的方法． ►考向二 分式的化简求值 易错易混 （1）化简过程中运算顺序错误，应该先算乘除后算加减。 （2）代入求值时，没有考虑使原分式有意义的条件，导致结果错误。 解题技巧 ①先将分式化简到最简形式，再代入求值。 ②可以根据已知条件对化简后的式子进行灵活变形，如设参数法等，方便求值。 1.（2024•深圳）先化简，再代入求值：，其中． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝• ＝• ＝， 当时，原式＝＝＝． 【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2.（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝3代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝• ＝• ＝， 当x＝3时，原式＝＝． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 1．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压，若线路的电流， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V． 【答案】115 【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为，代入中即可求值． 【详解】∵三个电阻阻值分别为， ∴ V， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广西玉林·期末）综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【答案】（1）；（2）；【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．证明见解析；（3）2A 【分析】本题考查了二次函数的性质和分式的加法运算． （1）分别计算即可发现规律； （2）分别计算即可发现规律； 由题意，建立数学模型，利用二次函数知识解答即可； （3）设Ω，利用物理知识和分式加减知识，求出总电流为I，与x的函数关系式，再利用二次函数知识求最值即可． 【详解】解：（1）由，，…，，可知，当的值最大， 故答案为：； （2）由，，，，，…，，， 可知，当的值最大， 故答案为：； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大． 证明：设第一个数为x，则另一个数为，它们的积为y， 则有． ∵，则抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，为225， 此时这两数分别为15及，两数相等， ∴当这两数相等时，它们的乘积最大． （3）设Ω，则Ω，，设总电流为I，则 ． 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小． 设． ∵，则抛物线W开口向下，且， ∴当时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为（Ω）和（Ω），两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A． 1．（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 【答案】D 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用24分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2024年为第24年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是数字是8 2024年对应的天干为甲，地支为辰， 故2024年为甲辰年， 故选：D． 2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． 设中间的数为x，则五个数的和，根据选项判断即可得出结论； 【详解】解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为、、、， ∴十字框中五个数的和是． ∵为偶数， ，，，， 故选：D． 二、填空题 3．（2024·广东惠州·模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图1叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……如2图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为 ． 【答案】 【分析】本题重视与国家大政方针及中华优良传统文化相结合，比如关于经济生活、文化与数学建模、数据分析结合起来，源于教材，科技、生态等问题且综合考查学生的几何直观、抽象能力和运算能力．本题涉及等边三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 根据题意，，，，， 在中，， 在中，， 故答案为：． 4．（2024·广东东莞·一模）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加，若纹饰需要8个圆形图案，，此时纹饰的长度y为 ．    【答案】212 【分析】本题考查了列代数式，根据题意得到，第一个图形的直径为，以后每增加一个图形就增加，所以增加了，再加上30便是答案． 【详解】解：根据题意：， 当时，， 故答案为：212． 5．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律型问题，根据图形找到点的数量的变化规律即可求解，根据已知图形找到点的数量的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图有个点； 第个图有个点； 第个图有个点； 第个图有个点； ； ∴第个图有个点； 故答案为：． 三、解答题 6．（2024·广东清远·模拟预测）已知，代数式，． (1)因式分解A； (2)化简分式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了因式分解和分式的化简，熟练掌握提公因式法和分式的基本性质是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）把分子和分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： （2）                                   ． 7．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 8．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 9．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 【答案】(1)，当时， (2)画图见详解；是 【分析】本题考查了分式的化简求值，画一次函数的图象以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和一次函数的性质． （1）根据分式加减法和乘法化简，再根据分式有意义和选值代入求解即可； （2）画出一次函数图象，根据图象判断即可 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，； （2）解：令，则，令，则，令，则，令，则， 令，则，故图象经过和， ∵且， ∴点不在图象上， 故的图象如图： 根据图象可得，的图象经过第二象限． 10．（2024·广东惠州·模拟预测）（1）化简： （2）已知一次函数与的图象在同一个平面直角坐标系中相交于点A， 求交点A 的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一次函数与二元一次方程组的关系，熟练进行计算是解题的关键． （1）先计算括号里的，再计算乘除，约分即可解答． （2）联列方程，即可求出一次函数与的交点． 【详解】解：（1）原式， ； （2）由题意，可得：， 解得：， ∴交点A 的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$