专题08 函数综合（3类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题09 函数综合 课标要求 考点 考向 1.理解正比例函数、一次函数的概念，掌握它们的图象和性质，能根据已知条件确定一次函数的表达式。会利用待定系数法求一次函数的解析式。能利用一次函数解决简单的实际问题，如行程问题、销售问题等，体会函数模型在实际生活中的应用。 2.了解二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。能用配方法将二次函数化为顶点式，从而确定其最值等性质。能根据已知条件确定二次函数的表达式，会利用二次函数的图象和性质解决实际问题，如最值问题、抛物线的平移等。理解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 3.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象和性质，如图象所在象限、单调性等。能根据已知条件确定反比例函数的表达式。会用反比例函数解决实际问题，如反比例关系的实际情境、反比例函数与其他函数的综合应用等。 体会反比例函数在实际生活中的应用价值，如反比例关系在物理、经济等领域的体现。 一次函数综合 一次函数与正方形、旋转、全等三角形的判定综合 二次函数综合 二次函数的图象和性质、周长的确定、点的对称性、面积的计算等 反比例函数综合 反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化等 考点一 一次函数综合 ►考向一 一次函数与正方形、旋转、全等三角形的判定综合 1.（2023•广东）综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F． （1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点A（4，3），求FC的长； （3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式． 考点二 二次函数综合 ►考向一 二次函数的图象和性质、周长的确定、点的对称性、面积的计算等 1.（2024•广州）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2． （1）求抛物线G的对称轴； （2）求m的值； （3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点． ①求t的值； ②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 2.（2023•广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上． （1）若m＝﹣2，求n的值； （2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 考点一 反比例函数综合 ►考向一 反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化等 （2024•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论： ①k＝2； ②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积； ③A'E的最小值是； ④∠B'BD＝∠BB'O． 其中正确的结论有 　 　．（填写所有正确结论的序号） 2.（2024•广东）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数y＝的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围． 1.（2024•深圳）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是 　 　 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则： A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n， C'B＝， 所以点B′坐标为 　（m，n）　； 将点B′坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是 　n＝am2　． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为 　（h+m，k+n）　； 将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k， 得到n与m的关系式是 　n＝am2　． 【应用】 （3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 一、单选题 1．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·广东广州·二模）如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 5．（2024·广东东莞·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 7．（2018·山东济宁·一模）已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（  ） A．y＝﹣x+8 B．y＝﹣x+8 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3 8．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 二、填空题 9．（2024·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为 10．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 11．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    12．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 三、解答题 13．（2024·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒． ①求的面积S与的函数关系式，并求S的最值； ②当的面积最大时，在第二象限的抛物线上，是否存在点E，使得，若存在，请求点E的横坐标，若不存在，说明理由． 14．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 15．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 16．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标． (3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标． 17．（2024·广东清远·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数综合 课标要求 考点 考向 1.理解正比例函数、一次函数的概念，掌握它们的图象和性质，能根据已知条件确定一次函数的表达式。会利用待定系数法求一次函数的解析式。能利用一次函数解决简单的实际问题，如行程问题、销售问题等，体会函数模型在实际生活中的应用。 2.了解二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。能用配方法将二次函数化为顶点式，从而确定其最值等性质。能根据已知条件确定二次函数的表达式，会利用二次函数的图象和性质解决实际问题，如最值问题、抛物线的平移等。理解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 3.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象和性质，如图象所在象限、单调性等。能根据已知条件确定反比例函数的表达式。会用反比例函数解决实际问题，如反比例关系的实际情境、反比例函数与其他函数的综合应用等。 体会反比例函数在实际生活中的应用价值，如反比例关系在物理、经济等领域的体现。 一次函数综合 一次函数与正方形、旋转、全等三角形的判定综合 二次函数综合 二次函数的图象和性质、周长的确定、点的对称性、面积的计算等 反比例函数综合 反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化等 考点一 一次函数综合 ►考向一 一次函数与正方形、旋转、全等三角形的判定综合 1.（2023•广东）综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F． （1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点A（4，3），求FC的长； （3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式． 【分析】（1）如图2中，当OE＝OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可； （2）在图2中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似，可得结论； （3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出三角形FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题． 【解答】解：（1）当OE＝OF时， 在Rt△AOE和Rt△COF中， ， ∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）， ∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角）， ∴2∠AOE＝45°， ∴∠COF＝∠AOE＝22.5°， ∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF； （2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4， ∴， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°， 又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°， ∴∠COF＝∠GOA， ∴Rt△AOG∽Rt△FOC， ∴， ∴， ∴FC的长为； （3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA， 又∠FON＝45°， ∴∠FCN＝∠FON＝45°， ∴F、C、O、N四点共圆， ∴∠OFN＝∠OCA＝45°， ∴∠OFN＝∠FON＝45°， ∴△FON是等腰直角三角形， ∴FN＝NO，∠FNO＝90°， ∴∠FNP+∠ONQ＝90°， 又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°， ∴∠NOQ＝∠FNP， ∴△NOQ≌△FNP（AAS）， ∴NP＝OQ，FP＝NQ， ∵四边形OQPC是矩形， ∴CP＝OQ，OC＝PQ， ∴， ＝， ， ＝， ＝， ＝， ∴， 又∵△ANQ为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴S关于n的函数表达式为． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 考点二 二次函数综合 ►考向一 二次函数的图象和性质、周长的确定、点的对称性、面积的计算等 1.（2024•广州）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2． （1）求抛物线G的对称轴； （2）求m的值； （3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点． ①求t的值； ②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 【分析】（1）由抛物线对称轴公式即可求解； （2）由C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，得到2xD＝xA+xB+2，即可求解； （3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解； ②由S＝×EF×（yA﹣yE）＝EF，而EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3； （2）直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），则该直线的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1， 当y＝2时，2＝m2（x﹣3）+1， 则xD＝+3， ∵C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2， 其中，AC＝BC，上式变为：AD＝BD+2， 即2xD＝xA+xB+2， 而函数的对称轴为直线x＝3，由函数的对称性知，xA+xB＝2×3＝6， 即2xD＝xA+xB+2＝8， 则xD＝4＝+3， 解得：m＝±1； （3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2， 该直线和x轴的夹角为45°， 则t＝45÷3＝15（秒）； ②由①知，l为：y＝1，如图： 则S＝×EF×（yA﹣yE）＝EF， 联立直线l和抛物线的表达式得：ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1＝1， 即x2﹣6x﹣a2+2a＝0， 设点E、F的横坐标为m，n， 则m+n＝6，nm＝﹣a2+2a， 则EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9）， 则S＝EF＝＝≥2， 当a＝1时，等号成立， 即k的最大值为：2，a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+2． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、周长的确定、点的对称性、面积的计算等，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 2.（2023•广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上． （1）若m＝﹣2，求n的值； （2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到达最高处； ②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1，即可求解； （2）①x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即可求解； ②求出直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1，得到点C的坐标为：（，﹣）；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3；由四边形FGEC为平行四边形，则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，求出yE＝﹣，进而求解． 【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1； 故n的值为1； （2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0， 解得x＝m或x＝n， ∴M（m，0），N（n，0）， ∵点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上， ∴mn＝﹣2， 令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2， 即当m+n＝0，且mn＝﹣2， 则m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去）， 即m＝﹣时，点E到达最高处； ②假设存在，理由： 对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝0时，y＝mn＝﹣2，即点G（0，﹣2）， 由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线x＝， 由点M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG＝＝， 作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，﹣1）， 则tan∠MKT＝﹣m， 则直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1． 当x＝时，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣， 则点C的坐标为：（，﹣）． 由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3． ∵四边形FGEC为平行四边形， 则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE， 解得：yE＝﹣， 即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2， 则m+n＝， ∴E（﹣，﹣），或（，﹣）． 【点评】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点． 考点一 反比例函数综合 ►考向一 反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化等 （2024•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论： ①k＝2； ②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积； ③A'E的最小值是； ④∠B'BD＝∠BB'O． 其中正确的结论有 　 　．（填写所有正确结论的序号） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可． 【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2）， ∴B（1，2）， ∵矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝2，故①正确； ②∵点B、点D在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴S△AOB＝S△AOD＝， ∴S△OBM＝S梯形AMDA′， ∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确； ③根据矩形对角线相等，A'E＝OD，根据双曲线的轴对称性，可知当点D落在直线y＝x与双曲线y＝的交点（，）时，OD最短，最短为2，所以A'E的最小值为2，故③错误． ④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键． 2.（2024•广东）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数y＝的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围． 【分析】（1）设B（m，ma），则，求出点，代入函数解析式中，得出函数的图象必经过点C； （2）证明△DHE∽△EFB，根据对应边成比例求出k的值； （3）根据⊙O过点A和过点B，求出临界值，从而求出k的取值范围． 【解答】解：（1）设B（m，ma），则， ∵AD∥x轴， ∴D点的纵坐标为， 将代入y＝ax中，得：， ∴， ∴， ∴， 将代入中得出，y＝am， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点B（1，2）在直线y＝ax上， ∴a＝2， ∴y＝2x， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，A（1，k）， ∴， ∴DC＝k﹣2， ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E， ∴，∠BED＝∠BCD＝90°， ∴， 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， ∵AD∥x轴， ∴H，A，D三点共线， ∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°， ∴∠HED＝∠EBF， ∵∠DHE＝∠EFB＝90°， ∴△DHE∽△EFB， ∴， ∵BF＝1，， ∴HE＝2，， ∴， 由图知，HF＝DC， ∴， ∴； （3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°， ∴，，BP⊥AC， ∵BC∥x轴， ∴直线y＝a为一，三象限的夹角平分线， ∴y＝x， 当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H， ∵AD∥x轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，， ∴， ∴， ∴，，， ∵AB∥y轴， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴， ∴HO＝HD＝4， ∴HA＝HD﹣DA＝4﹣2＝2， ∴A（2，4）， ∴k＝2×4＝8， 当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H， ∵AO＝OC＝AC， ∴△AOC为等边三角形， ∵OP⊥AC， ∴， ∴，， ∴，， ∵AB∥y轴， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 1.（2024•深圳）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是 　 　 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则： A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n， C'B＝， 所以点B′坐标为 　（m，n）　； 将点B′坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是 　n＝am2　． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为 　（h+m，k+n）　； 将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k， 得到n与m的关系式是 　n＝am2　． 【应用】 （3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 【分析】（1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方案一：B′（m，n）；将点B′的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）对于第一个二次函数：m＝4，由n＝am2，得n＝×2×42＝8，则第二个二次函数距线段AB的距离的n＝2，进而求解． 【解答】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点B（m，n）， 将点B的坐标代入函数表达式得：n＝（m）2＝m2； 故答案为：n＝m2； （2）方案一： 点B′（m，n）， 将点B′的坐标代入抛物线表达式得：n＝a×m2， 故答案为：（m，n），n＝am2； 方案二： 点B（h+m，k+n） 将点B的坐标代入抛物线表达式得：k+n＝a（h+m﹣h）2+k， 解得：n＝am2， 故答案为：（h+m，k+n），n＝am2； （3）①当a＞0时，此时抛物线开口方向向上， 由（2）知a＝，h＝， ∵y＝2（x﹣h）2+k， ∴h1＝＝8， ∵两个函数图象的顶点之间的距离为10， ∴h2＝18， ∴a＝＝＝； ②当a＜0时，同理可得：h2＝﹣2，此时a＝﹣ 综上，a＝或﹣． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于； 故选：C． 2．（2024·广东广州·二模）如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据B、D为线段的三等分点，的面积为2，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及的面积即可求出b的值． 【详解】解：延长交x轴于点Q、P，延长交y轴于点M、N，    ∵B、D为线段的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∴， ∵一次函数的关系式为，即：， 由题意得的面积为， ∴， 解得:（舍去）， 故选：C． 3．（2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数图象与系数的关系，难度适中，利用特殊点解决字母系数的范围是解决本题的关键． ①利用特殊点和对称轴在轴左侧分类讨论字母系数的正负，得出结论； ②将看成一个整体，那么是关于方程的一个根，令得出结论； ③利用抛物线与轴两交点之间的距离，得出、、之间的关系； ④根据已知条件判断随的变化规律，得出结论． 【详解】解：图象经过， ， 若对称轴在轴的左侧则， 当时，，则，此时； 当时，，则，此时． ①正确． ， ， 的一个根为， 的一个根为：， 即． ②正确． 抛物线与轴两交点之间的距离为：， ， 即， ， ③正确． 若， 开口向上，与轴交于正半轴， ， ， 则对称轴， 当时，、的大小关系不确定． ④错误． 综上①②③正确， 故选：A． 4．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 5．（2024·广东东莞·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有：①；②；③；④；⑤．（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数开口向下，与y轴交于坐标轴得到，再根据对称轴的位置得到，则，据此可判断①③；根据二次函数与x轴有两个不相同的交点即可判断③；根据当时，，时，，得到，据此可判断④；根据当时，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在直线和y轴之间， ∴， ∴，故③错误； ∴，故①正确； ∵二次函数与x轴有两个不相同的交点， ∴，故②错误； ∵当时，，时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，， ∴， ∴，故⑤正确； ∴正确的有3个， 故选：B． 6．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据二次函数的对称性可判断①，根据该抛物线与x轴的另一个交点在点和，并结合图像可知，当时，，可判断②，根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线有唯一一个交点，进而可得方程有两个相等的实数根，由可判断③，由抛物线顶点坐标得到，即可得到直线与抛物线没交点，即一元二次方程没实数根，进而可得判断④． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 该抛物线与x轴的另一个交点在点和，故①不符合题意； 该抛物线与x轴的另一个交点在点和， 当时，，故②符合题意； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， ，故③符合题意； 抛物线的开口向下，顶点坐标为， ， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论是②③， 故选：． 7．（2018·山东济宁·一模）已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（  ） A．y＝﹣x+8 B．y＝﹣x+8 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3 【答案】C 【详解】【分析】由题意，可求得点A与B的坐标，由勾股定理，可求得AB的值，又由折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM=B′M，然后设MO=x，由在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，即可得方程，继而求得M的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案． 【详解】当x=0时，y=﹣x+8=8，即B（0，8）， 当y=0时，x=6，即A（6，0）， ∵∠AOB=90°， ∴AB==10， 由折叠的性质，得：AB=AB′=10， ∴OB′=AB′-OA=10-6=4， 设MO=x，则MB=MB′=8-x， 在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2， 即x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， ∴M（0，3）， 设直线AM的解析式为y=kx+b，代入A（6，0），M（0，3）得： ， 解得： ∴直线AM的解析式为：y=-x+3， 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质、一次函数的性质、勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 8．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比函数的几何意义，双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据、在双曲线上得到，再根据点是的中点可推出，，得到，从而得到，最后由，得到，解方程即可． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意可知， 为斜边的中点 为的中位线， ，即，， 中为底时与中为底时等高 双曲线的解析式为，即 ， 由 得： 解得： 故选：A． 二、填空题 9．（2024·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立方程组根据只有一个交点求出值得到交点坐标，根据直线解析式求出点坐标，依据中点坐标公式分别求出点和点坐标，即可得到值，求出点坐标是关键． 【详解】解：联立方程组得 整理得： ∵只有一个交点， 舍去负值， ， ∴一次函数解析式为 ∴联立方程组得 解得：，（舍去）， ∴点， ∵当时， ∴ ∴线段的中点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴， ∴ ∴ 在反比例函数图象上， ∴， ， 故答案为： 10．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论： ；；；，其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵由抛物线的开口向下， ， ∵对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ， ∴①正确； ②如图，当时，， ∴②正确； ③对称轴为，即， ， ，即， ∴③错误； ④当时，， 又， ，即． ∴④正确， 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 11．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .    【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的性质，数形结合思想以及运算求解能力，过点A作轴于点E，设，分析可知，结合的面积为5，可得，进而得解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，    ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴，则， ∵点A是反比例函数上的点， ∴设， ∴，则， 将代入得：， 解得：， ∴， ∵的面积为5， ∴，整理得，， 解得． 故答案为：20． 12．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8， ， 即， ， ， ， 即； 点在函数的图象上， ， 即， ， ； 故答案为：2． 三、解答题 13．（2024·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒． ①求的面积S与的函数关系式，并求S的最值； ②当的面积最大时，在第二象限的抛物线上，是否存在点E，使得，若存在，请求点E的横坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值是；②点横坐标是． 【分析】（1）将点、分别代入，解方程即可； （2）①过点作于点．利用，得．用的代数式表示出的面积，再利用二次函数的性质求最值即可； ②首先求得，设，直线的解析式为，交轴于点，解得的解析式为，得到，，利用解得：，进而得到点坐标． 【详解】（1）把点，分别代入得： ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）①由题意知，，， ， 由题意得，点的坐标为， 在中，， 如图1，过点作于点． ， ， ，即， ． ∵， ∴， ， 当存在时，， 当时，． ，运动1秒使的面积最大，其最大面积是； ②存在；理由如下： 由①知， ， ， 设，直线的解析式为，交轴于点， 代入得：， 解得：， 的解析式为， 令，则， 则， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点横坐标是． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质： （1）将点A代入即可求函数解析；将点B代入，求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求m的值； （2）射线交x轴于点M，连接，此时有最大值，求出与x轴的交点即为所求点． 【详解】（1）解：（1）∵图象过点， ∴， ∴； 把点代入， ∴， ∴， ∵过点A，B， ∴把和代入得， ， 解得， ∴， ∵关于x轴对称点在图象上， ∴； （2）解：由（1）得，，，点C关于x轴的对称点为，射线交x轴于点M，连接， ∴， ∴，此时有最大值， 设的解析式为， 把，分别代入中， ， ∴， ∴的解析式为， 令，则， ∴当最大时M的坐标为． 15．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 16．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标． (3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可； （2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解； （3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：，， ∴， ， 如图， 点N在抛物线的对称轴上， ， 当点N在x轴上方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 抛物线的对称轴为， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ； 当点N在x轴下方时， 由对称性得：； 综上，点N的坐标为或； （3）解：如图，过点M作交于点H， 设， 点M是抛物线的顶点， 当时，， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大， 此时点D的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了用待定系数法求二次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象及最大值，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与相似三角形问题，涉及分类讨论思想及方程思想，有一定的难度和运算量． 17．（2024·广东清远·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）根据解析式得出、，直线的解析式为，利用待定系数法求出、的值即可得答案； （2）由（1）中解析式可得是等腰直角三角形，分、、三种情况，利用等腰三角形的对称性分别求解即可得答案； （3）分和两种情况，分别求出点、落在抛物线上时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，顶点为， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为， （2）存在， 把代入，得， 解得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图1，若，则，， ∴轴，与直线交于点， ∴， 如图，若，则，， ∵点是抛物线的顶点， ∴点与点关于直线对称， ∴， 如图，若，则，， 过点作于点，则 ∴点与点关于直线对称， ∴， 综上，点M的坐标为或或． （3）①若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． ∴的坐标是， ∴， 解得：，，（不合题意，舍去） 当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． 把代入得：， 解得：，， ∴，， ∴， ∴点与点重合 ∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为． 若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点，此时，点与点重合，故， 当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． 连接、，过点作轴于， ∵将绕x轴上的动点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ 解得：（不合题意，舍去），． ∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为． 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理，并运用分类讨论的数学思想是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$