专题01 一元二次方程及其解法【九大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题01 一元二次方程及其解法【九大题型】 一元二次方程的定义 1．（2023•海淀区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x22 B．x2﹣xy＝2 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．2（x﹣1）＝x 2．（2023•海淀区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5＝0是一元二次方程，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠1 C．k≠0且k≠1 D．k＝0 3．（2023•海淀区校级期末）若x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　． 4．（2023•密云区期末统考）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 　 　． 一元二次方程的一般形式 5．（2024•通州区期末统考）一元二次方程3x2﹣4x+2＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 6．（2023•昌平区校级期末）把x2﹣3＝﹣3x化成一般形式ax2+bx+c＝0后，a、b、c的值分别是（　　） A．0，﹣3，﹣3 B．1，﹣3，3 C．1，3，﹣3 D．1，﹣3，﹣3 7．（2023•朝阳区校级期末）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是　 　． 8．（2023•门头沟区校级期末）一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是 　 　，常数项是 　 　． 一元二次方程的解 9．（2023•东城区期末统考）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 10．（2023•丰台区校级期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个解为x＝0，那么m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣1 11．（2023•平谷区期末统考）若a是关于x的一元二次方程2x2﹣x+2023＝0的一个实数根，则4046+4a2﹣2a的值是（　　） A．4046 B．0 C．﹣4046 D．﹣2023 12．（2023•通州区校级期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝　 　． 13．（2023•东城区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值等于 　 　． 14．（2023•西城区期末统考校级期末）已知a是x2+x﹣2＝0的根，则代数式（a2+a）（a3）的值为 　 　． 直接开平方法解一元二次方程 15．（2023•顺义区校级期末）方程2x2﹣8＝0的根是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 16．（2023•海淀区校级期末）若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（　　） A．± B．±1 C．± D．± 17．（2023•西城区期末统考）一元二次方程x2﹣25＝0的解是 　 　． 18．（2023•顺义区期末统考）方程（x﹣1）2＝3的解为　 　． 19．（2023•怀柔区校级期末）解方程：（x﹣5）2﹣9＝0． 20．（2023•怀柔区校级期末）我们把形如x2＝a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如x2＝9，（3x﹣2）2＝25，（）2＝4…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程x2＝9的思路是：由（+3）2＝9，（﹣3）2＝9可得x1＝3，x2＝﹣3． 解决问题： （1）解方程：（3x﹣2）2＝25． 解题思路：我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得3x﹣2＝5或3x﹣2＝　 　． 分别解这两个一元一次方程，得x1，x2＝﹣1． （2）解方程． 配方法解一元二次方程 21．（2023•顺义区校级期末）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0时，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 22．（2023•西城区校级期末）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54 23．（2023•东城区期末统考）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　 　． 24．（2023•石景山区校级期末）将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　 　． 25．（2023•海淀区校级期末）解方程：2x2﹣6x+1＝0（用配方法）． 26．（2023•东城区校级期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0 解：移项，得2x2﹣4x＝p．① 二次项系数化为1，得x2﹣2x．② 配方，得x2﹣2x+1．③ 即（x﹣1）2． ∵p＞0， ∴x﹣1＝±．④ ∴x1＝1，x1＝1．⑤ （1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？ （2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 公式法解一元二次方程 27．（2023•海淀区校级期末）方程x2＝x+1的根是（　　） A． B． C． D． 28．（2023•房山区校级期末）若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝（a+1）2﹣ab，则方程（x+2）*5＝0的解为（　　） A．﹣2 B．﹣2，3 C． D． 29．（2023•密云区校级期末）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）． 30．（2023•海淀区校级期末）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0． 因式分解法解一元二次方程 31．（2023•顺义区期末统考）方程（x+2）（x+1）＝x+2的解为（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝x2＝﹣1 32．（2023•通州区校级期末）方程x（x+3）＝x的解是（　　） A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0．x2＝﹣2 33．（2023•丰台区期末统考）方程x2﹣x＝0的解为 　 　． 34．（2023•海淀区校级期末）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 　 　． 35．（2023•丰台区校级期末）解方程：x2﹣6x+8＝0． 36．（2023•海淀区校级期末）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 根的判别式 37．（2024•平谷区期末统考）若关于x的方程ax2﹣2x+b＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，b的值可以是（　　） A．a＝0，b＝1 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣2，b＝﹣4 D．a＝﹣1，b＝3 38．（2023•石景山区校级期末）关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0 39．（2023•东城区校级期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 　 　． 40．（2023•房山区校级期末）若关于x的方程x2﹣mx+2m＝0有两个相等的实数根，则代数式2m2﹣16m+5的值为　 　． 41．（2023•西城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 42．（2023•怀柔区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根． 根与系数的关系 43．（2023•顺义区校级期末）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 44．（2023•东城区校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则x1x2的值为（　　） A．2 B．6 C．8 D．14 45．（2024•平谷区期末统考）关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，m＝　 　． 46．（2023•昌平区校级期末）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22＝　 　． 47．（2023•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 48．（2023•东城区期末统考）设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程及其解法【九大题型】 一元二次方程的定义 1．（2023•海淀区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x22 B．x2﹣xy＝2 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．2（x﹣1）＝x 解：A．方程x22是分式方程，选项A不符合题意； B．方程x2﹣xy＝2是二元二次方程，选项B不符合题意； C．方程x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，选项C符合题意； D．方程2（x﹣1）＝x是一元一次方程，选项D不符合题意． 答案：C． 2．（2023•海淀区校级期末）若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5＝0是一元二次方程，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠1 C．k≠0且k≠1 D．k＝0 解：根据题意，得 k﹣1≠0，即k≠1． 答案：B． 3．（2023•海淀区校级期末）若x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣2　． 解：∵x﹣3＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，m2﹣2＝2， 解得：m＝﹣2， 答案：﹣2． 4．（2023•密云区期末统考）若关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程，则k的取值范围是 　k≠﹣3　． 解：∵关于x的方程（k+3）x2﹣6x+9＝0是一元二次方程， ∴k+3≠0， ∴k≠﹣3． 答案：k≠﹣3． 一元二次方程的一般形式 5．（2024•通州区期末统考）一元二次方程3x2﹣4x+2＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 解：∵一元二次方程3x2﹣4x+2＝0一次项是﹣4x， ∴一次项的系数是﹣4． 答案：D． 6．（2023•昌平区校级期末）把x2﹣3＝﹣3x化成一般形式ax2+bx+c＝0后，a、b、c的值分别是（　　） A．0，﹣3，﹣3 B．1，﹣3，3 C．1，3，﹣3 D．1，﹣3，﹣3 解：将x2﹣3＝﹣3x化成一般形式为x2+3x﹣3＝0， 则a＝1，b＝3，c＝﹣3， 答案：C． 7．（2023•朝阳区校级期末）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝x+1化为一般形式是　x2﹣7＝0　． 解：x2+3x﹣2x﹣6＝x+1， x2+3x﹣2x﹣6﹣x﹣1＝0， x2﹣7＝0． 答案：x2﹣7＝0； 8．（2023•门头沟区校级期末）一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是 　3　，常数项是 　﹣7　． 解：一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是3，常数项是﹣7， 答案：3，﹣7． 一元二次方程的解 9．（2023•东城区期末统考）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0， 解得m＝3． 答案：C． 10．（2023•丰台区校级期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个解为x＝0，那么m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣1 解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0， 解得m＝±1， 而m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m＝﹣1． 答案：A． 11．（2023•平谷区期末统考）若a是关于x的一元二次方程2x2﹣x+2023＝0的一个实数根，则4046+4a2﹣2a的值是（　　） A．4046 B．0 C．﹣4046 D．﹣2023 解：∵a是关于x的一元二次方程2x2﹣x+2023＝0的一个实数根， ∴2a2﹣a+2023＝0， ∴2a2﹣a＝﹣2023， ∴原式＝2（2a2﹣a）+4046＝2×（﹣2023）+4046＝0． 答案：B． 12．（2023•通州区校级期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝　﹣1　． 解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c， ∵a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根． 答案：﹣1． 13．（2023•东城区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值等于 　±2　． 解：∵一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0， ∴02+0+a2﹣4＝0， 解得a＝±2， 答案：±2． 14．（2023•西城区期末统考校级期末）已知a是x2+x﹣2＝0的根，则代数式（a2+a）（a3）的值为 　4　． 解：∵a是x2+x﹣2＝0的根， ∴a2+a﹣2＝0． ∴a2﹣2＝﹣a，a2+a＝2． ∴（a2+a）（a3） ＝2×（3） ＝2×（3） ＝4． 答案：4． 直接开平方法解一元二次方程 15．（2023•顺义区校级期末）方程2x2﹣8＝0的根是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 解：2x2﹣8＝0 则x2＝4， 解得：x1＝2，x2＝﹣2． 答案：C． 16．（2023•海淀区校级期末）若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（　　） A．± B．±1 C．± D．± 解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）＝1； 整理得4x2﹣1＝1， 移项得4x2＝2， 系数化为1得x2； 开方得x＝±． 答案：C． 17．（2023•西城区期末统考）一元二次方程x2﹣25＝0的解是 　x1＝5，x2＝﹣5　． 解：x2﹣25＝0， x2＝25， 开方得：x＝±5， 即x1＝5，x2＝﹣5， 答案：x1＝5，x2＝﹣5． 18．（2023•顺义区期末统考）方程（x﹣1）2＝3的解为　　． 解：（x﹣1）2＝3 开平方得，x﹣1 所以x＝1． 答案：1． 19．（2023•怀柔区校级期末）解方程：（x﹣5）2﹣9＝0． 解：方程整理得：（x﹣5）2＝9， 开方得：x﹣5＝±3， 即x﹣5＝3，或x﹣5＝﹣3， 解得：x1＝8，x2＝2． 20．（2023•怀柔区校级期末）我们把形如x2＝a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如x2＝9，（3x﹣2）2＝25，（）2＝4…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程x2＝9的思路是：由（+3）2＝9，（﹣3）2＝9可得x1＝3，x2＝﹣3． 解决问题： （1）解方程：（3x﹣2）2＝25． 解题思路：我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得3x﹣2＝5或3x﹣2＝　﹣5　． 分别解这两个一元一次方程，得x1，x2＝﹣1． （2）解方程． 解：（1）3x﹣2＝﹣5， （2）根据乘方运算， 得或 解这两个一元一次方程，得x1，x2． 答案：（1）﹣5． 配方法解一元二次方程 21．（2023•顺义区校级期末）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0时，此方程可变形为（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 解：一元二次方程x2+4x﹣1＝0， 移项得：x2+4x＝1， 配方得：x2+4x+4＝5， 变形得：（x+2）2＝5． 答案：C． 22．（2023•西城区校级期末）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54 解：x2﹣8x＝﹣10， x2﹣8x+16＝6， （x﹣4）2＝6． 答案：A． 23．（2023•东城区期末统考）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　10　． 解：方程x2+6x﹣1＝0， 移项得：x2+6x＝1， 配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10， 则n＝10． 答案：10． 24．（2023•石景山区校级期末）将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　﹣5　． 解：∵x2+6x+4＝（x+3）2﹣5， ∴当x＝﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5； 答案：﹣5． 25．（2023•海淀区校级期末）解方程：2x2﹣6x+1＝0（用配方法）． 解：， ， ， ， 所以，． 26．（2023•东城区校级期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0 解：移项，得2x2﹣4x＝p．① 二次项系数化为1，得x2﹣2x．② 配方，得x2﹣2x+1．③ 即（x﹣1）2． ∵p＞0， ∴x﹣1＝±．④ ∴x1＝1，x1＝1．⑤ （1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？ （2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 解：（1）第②步二次项系数化为1的依据是：等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式； （2）从第③步开始出现的错误， 正确过程如下： 移项，得2x2﹣4x＝p， 二次项系数化为1，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+11， 即（x﹣1）21， ∵p＞0， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 公式法解一元二次方程 27．（2023•海淀区校级期末）方程x2＝x+1的根是（　　） A． B． C． D． 解：∵x2＝x+1 ∴x2﹣x﹣1＝0 ∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1 ∴b2﹣4ac＝5 ∴x．故选B． 28．（2023•房山区校级期末）若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝（a+1）2﹣ab，则方程（x+2）*5＝0的解为（　　） A．﹣2 B．﹣2，3 C． D． 解：依题意，可将所求方程转化为：（x+3）2﹣5（x+2）＝0， 化简得：x2+x﹣1＝0 解得x1，x2， 答案：D． 29．（2023•密云区校级期末）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）． 解：a＝1，b＝2，c＝﹣3， △＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0， x， 所以x1＝1，x2＝﹣3． 30．（2023•海淀区校级期末）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）＝0． 解：方程化为一般形式，得3x2+10x+5＝0， ∵a＝3，b＝10，c＝5， ∴b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40＞0， ∴x， ∴x1，x2． 因式分解法解一元二次方程 31．（2023•顺义区期末统考）方程（x+2）（x+1）＝x+2的解为（　　） A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝x2＝﹣1 解：（x+2）（x+1）＝x+2， 整理，得x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 答案：B． 32．（2023•通州区校级期末）方程x（x+3）＝x的解是（　　） A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0．x2＝﹣2 解：方程变形得：x（x+3）﹣x＝0， 分解因式得：x（x+3﹣1）＝0， 可得x＝0或x+2＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2． 答案：D． 33．（2023•丰台区期末统考）方程x2﹣x＝0的解为 　x1＝0，x2＝1　． 解：方程分解得：x（x﹣1）＝0， 所以x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 答案：x1＝0，x2＝1． 34．（2023•海淀区校级期末）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 　10　． 解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 可得x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝2或x＝4， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4＝10， 答案：10． 35．（2023•丰台区校级期末）解方程：x2﹣6x+8＝0． 解：（x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 36．（2023•海淀区校级期末）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 解：原方程可变形为： x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （2x﹣5）（x﹣2）＝0， 2x﹣5＝0或x﹣2＝0； 解得x1，x2＝2． 根的判别式 37．（2024•平谷区期末统考）若关于x的方程ax2﹣2x+b＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，b的值可以是（　　） A．a＝0，b＝1 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣2，b＝﹣4 D．a＝﹣1，b＝3 解：∵关于x的方程ax2﹣2x+b＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4ab＞0， ∴4﹣4ab＞0， ∴ab＜1， A、a＝0，b＝1， ∴ab＝0＜1， ∵x的方程ax2﹣2x+b＝0中a≠0， ∴A不符合题意； B、a＝1，b＝1， ∴ab＝1＝1，不符合题意； C、a＝﹣2，b＝﹣4， ∴ab＝8＞1，不符合题意； D、a＝﹣1，b＝3， ∴ab＝﹣3＜1，符合题意； 答案：D． 38．（2023•石景山区校级期末）关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0 解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根， ∴△≥0且m≠0， ∴4+4m≥0且m≠0， ∴m≥﹣1且m≠0， 答案：D． 39．（2023•东城区校级期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 　0（答案不唯一）．　． 解：a＝1，b＝﹣2． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0， ∴c＜1． 答案：0（答案不唯一）． 40．（2023•房山区校级期末）若关于x的方程x2﹣mx+2m＝0有两个相等的实数根，则代数式2m2﹣16m+5的值为　5　． 解：∵关于x的方程x2﹣mx+2m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣m）2﹣8m＝m2﹣8m＝0， ∴2m2﹣16m+5＝2（m2﹣8m）+5＝5． 答案：5． 41．（2023•西城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． （1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2， ∵（k﹣3）2≥0，即△≥0， ∴此方程总有两个实数根， （2）解： 解得 x1＝k﹣1，x2＝2， ∵此方程有一个根大于0且小于1， 而x2＞1， ∴0＜x1＜1， 即0＜k﹣1＜1． ∴1＜k＜2， 即k的取值范围为：1＜k＜2． 42．（2023•怀柔区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＞0， ∴4﹣4m+8＞0， ∴m＜3． （2）∵m为正整数，且m＜3， ∴m＝2， ∴原方程为x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x1＝0，x2＝2． 根与系数的关系 43．（2023•顺义区校级期末）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴3； 答案：B． 44．（2023•东城区校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则x1x2的值为（　　） A．2 B．6 C．8 D．14 解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根， ∴x1x2＝8． 答案：C． 45．（2024•平谷区期末统考）关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，m＝　﹣3　． 解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1， ∴1+2+m＝0， 解得m＝﹣3， 答案：﹣3． 46．（2023•昌平区校级期末）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22＝　23　． 解：∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝1， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣5）2﹣2×1＝23． 答案：23． 47．（2023•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0， 解得：a＜3． （2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∵x1x2＝16， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16， ∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 解得：a1＝﹣1，a2＝6， ∵a＜3， ∴a＝﹣1． 48．（2023•东城区期末统考）设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，则有．根据以上材料，解答下列问题．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值． 解：（1）根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0， 解得k； （2）根据题意得x1+x2＝2（k﹣1），x1•x2＝k2≥0， ∵k， ∴x1+x2＝2（k﹣1）＜0， ∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1， ∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1， 整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝1，k2＝﹣3， ∵k， ∴k的值为﹣3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$