专题10 正多边形与圆、弧长和扇形面积（4基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题10 正多边形与圆、弧长和扇形面积 正多边形和圆 1．（2021秋•长沙县期末）如图，正六边形内接于，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•长沙县期末）如图，四边形是的内接正方形，若正方形的面积等于8，则的面积等于 　 　． 3．（2022秋•雨花区期末）如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，半径为，求其各个顶点的坐标． 弧长的计算 4．（2022秋•长沙期末）已知扇形的圆心角为，半径为9，则弧长为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•望城区期末）如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是　　 A． B． C． D． 6．（2021秋•雨花区期末）有一条弧的长为，半径为，则这条弧所对的圆心角的度数是 　 　． 7．（2022秋•天心区期末）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为 　 　． 8．（2021秋•长沙期末）扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为 　 　． 9．（2022秋•开福区校级期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的弧长为 　 　． 10．（2023秋•雨花区期末）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为，则该莱洛三角形的周长为 　 　． 扇形面积的计算 11．（2022秋•长沙期末）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 　 　． 12．（2022秋•雨花区期末）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是　 　． 13．（2022秋•长沙期末）一个扇形的半径长为6，圆心角是，这个扇形的面积是 　 　． 14．（2021秋•开福区校级期末）扇形的半径为5，圆心角等于，则扇形的面积等于　 　． 15．（2021秋•开福区校级期末）如图，在中，，．以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点，则图中阴影部分面积为　 　． 16．（2022秋•芙蓉区校级期末）如图，与轴相切，与轴相交于点、，那么扇形的面积是　　 ． 17．（2023秋•雨花区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，贴纸部分的长为，求贴纸部分的面积． 圆锥的计算 18．（2023秋•开福区校级期末）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 19．（2021秋•望城区期末）如图，圆锥的底面圆半径为，高为，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 20．（2021秋•宁乡市期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为　　 A． B． C． D． 21．（2022秋•天心区期末）如图，圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•长沙期末）如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为，那么它的母线长为 　　． 23．（2021秋•长沙期末）已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为 　　． 24．（2021秋•开福区校级期末）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 　　． 25．（2021秋•开福区校级期末）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于　　 ． 26．（2023秋•岳麓区校级期末）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积为 　　．（结果保留 27．（2021秋•长沙县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为 　　； （2）连接、，则的半径长为 　　（结果保留根号），的度数为 　　； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 　　．（结果保留根号） 正多边形和圆的综合 1．（2022·湖南长沙·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（  ） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．（2022秋•长沙期末）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋•长沙期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（2022秋•长沙期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋•长沙期末）如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（2022秋•长沙期末）如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    求某点的弧形运动路径长度 7．（2022秋•长沙期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）. (1)画出关于点O中心对称的； (2)将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的； (3)在（2）条件下，直接写出旋转过程中点B留下的路径长为 . 8．（2022秋•长沙期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 9．（2022秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 求其他不规则图形的面积 10．（2024·湖南长沙·期末）如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 11．（20232秋•长沙期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（2022秋•长沙期末）如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 ． 13．（2023秋•长沙期末）如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，且，的半径为4，求阴影部分的面积． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 正多边形与圆、弧长和扇形面积 正多边形和圆 1．（2021秋•长沙县期末）如图，正六边形内接于，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，由多边形是正六边形可求出的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【解答】解：连接， 多边形是正多边形， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解答此题的关键． 2．（2023秋•长沙县期末）如图，四边形是的内接正方形，若正方形的面积等于8，则的面积等于 　 　． 【答案】． 【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解． 【解答】解：正方形的边长， 则半径是， 则面积是． 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键． 3．（2022秋•雨花区期末）如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，半径为，求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，，． 【分析】设交轴于点，交轴于点，连接、，可先求得，，是等边三角形，则，可求得，，再根据勾股定理求得，则，，同理可得，． 【解答】解：设交轴于点，交轴于点，连接、， 正六边形的中心为原点，半径为， ，， ，，是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ，， 同理，， ，， ，，，，，． 【点评】此题重点考查正多边形的中心角与半径、等边三角形的判定与性质、勾股定理、图形与坐标等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 弧长的计算 4．（2022秋•长沙期末）已知扇形的圆心角为，半径为9，则弧长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式，直接代入求出即可． 【解答】解：根据扇形的弧长公式可得：， 故选：． 【点评】此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的记忆弧长的计算公式是解决问题的关键． 5．（2022秋•望城区期末）如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：连接，， ， ， 的长为：， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理及弧长公式，熟练掌握：同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半及弧长公式是解题的关键． 6．（2021秋•雨花区期末）有一条弧的长为，半径为，则这条弧所对的圆心角的度数是 　 　． 【答案】． 【分析】设圆心角为，根据弧长公式得出，再求出答案即可． 【解答】解：设圆心角为， 根据题意得：， 解得：， 即圆心角的度数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长公式，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角是，半径为的弧的长度是． 7．（2022秋•天心区期末）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为 　 　． 【分析】如图，圆心为，连接，，，．利用弧长公式求解即可． 【解答】解：如图，圆心为，连接，，，． ，， 的长． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型． 8．（2021秋•长沙期末）扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为 　 　． 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：由题意得，扇形的半径为，圆心角为， 故此扇形的弧长为：， 故答案为： 【点评】此题考查了扇弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般． 9．（2022秋•开福区校级期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的弧长为 　 　． 【答案】． 【分析】把已知数据代入弧长公式，计算即可． 【解答】解：扇形的弧长， 故答案为：． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键． 10．（2023秋•雨花区期末）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为，则该莱洛三角形的周长为 　 　． 【分析】直接利用弧长公式计算即可． 【解答】解：该莱洛三角形的周长． 故答案为． 【点评】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．也考查了等边三角形的性质． 扇形面积的计算 11．（2022秋•长沙期末）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】根据即可计算． 【解答】解：，， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积公式、三角形面积公式，记住扇形和三角形的面积公式是解题的关键． 12．（2022秋•雨花区期末）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是　 　． 【分析】根据扇形的面积公式，得． 【解答】解：根据扇形的面积公式，得 ， 故答案为6． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式． 13．（2022秋•长沙期末）一个扇形的半径长为6，圆心角是，这个扇形的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】利用扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：扇形的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积． 14．（2021秋•开福区校级期末）扇形的半径为5，圆心角等于，则扇形的面积等于　 　． 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可． 【解答】解：． 故答案为． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算．解答该题的关键是熟记扇形的面积公式． 15．（2021秋•开福区校级期末）如图，在中，，．以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点，则图中阴影部分面积为　 　． 【答案】． 【分析】利用图中的阴影部分的面积计算即可． 【解答】解：作于， ，， ，， ， ， ， 图中的阴影部分的面积 ． 故答案为． 【点评】本题考查的是扇形面积计算、等腰三角形的性质、解直角三角形，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 16．（2022秋•芙蓉区校级期末）如图，与轴相切，与轴相交于点、，那么扇形的面积是　　 ． 【分析】利用垂径定理的内容得出，进而得出与半径的关系，从而得出为等边三角形，利用扇形面积公式求出即可． 【解答】解：做，假设与轴相切于点，连接，做， 假设，图象与轴相交于点、， ，， ，， ， ， 解得：， ， 为等边三角形， ， 扇形的面积是：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出是解决问题的关键． 17．（2023秋•雨花区期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，贴纸部分的长为，求贴纸部分的面积． 【分析】贴纸部分的面积等于扇形减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为，扇形的半径为和，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积． 【解答】解： 两面贴纸部分的面积， 即两面贴纸部分的面积的面积是． 【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般． 圆锥的计算 18．（2023秋•开福区校级期末）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：底面周长是， 则圆锥的侧面积是：． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 19．（2021秋•望城区期末）如图，圆锥的底面圆半径为，高为，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式：，直接代入数据求出即可． 【解答】解：由圆锥底面半径，高， 根据勾股定理得到母线长， 根据圆锥的侧面积公式：， 故选：． 【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键． 20．（2021秋•宁乡市期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可求出底面圆的周长，根据圆锥侧面展开图（扇形）面积的计算公式（扇形的弧长乘以扇形的半径），由此即可求解． 【解答】解：根据题意，作图如下，，，， 底面的周长为， 圆锥侧面展开图的扇形的面积为， 故选：． 【点评】本题主要考查圆锥侧面积的计算方法，理解圆锥侧面展开图，掌握圆锥侧面展开图（扇形）面积的计算方法是解题的关键． 21．（2022秋•天心区期末）如图，圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积：，求出圆锥的母线即可解决问题． 【解答】解：圆锥的母线， 圆锥的侧面积， 故选：． 【点评】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式． 22．（2023秋•长沙期末）如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为，那么它的母线长为 　　． 【答案】3． 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为 ， 由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 23．（2021秋•长沙期末）已知圆锥的底面半径是20，母线长30，则圆锥的侧面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：圆锥的底面半径是20， 圆锥的底面周长为：， 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 24．（2021秋•开福区校级期末）如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 　　． 【答案】． 【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为求解． 【解答】解：由已知得，母线长，半径为6， 圆锥的侧面积是． 故答案为． 【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 25．（2021秋•开福区校级期末）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于　　 ． 【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积． 【解答】解：圆锥侧面积． 故答案为． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 26．（2023秋•岳麓区校级期末）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积为 　　．（结果保留 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长． 【解答】解：底面圆的半径为，则底面周长，侧面面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面面积的计算公式：圆锥的侧面积底面周长母线长． 27．（2021秋•长沙县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请在网格图中进行如下操作： （1）若该圆弧所在圆的圆心为，则点坐标为 　　； （2）连接、，则的半径长为 　　（结果保留根号），的度数为 　　； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 　　．（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）；； （3）． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标； （2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数； （3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案． 【解答】解：（1）分别作、的垂直平分线，两直线交于点， 则点即为该圆弧所在圆的圆心， 由图形可知，点的坐标为， 故答案为：； （2）圆的半径长， ， ， ， 故答案为：；； （3）由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握弧长公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 正多边形和圆的综合 1．（2022·湖南长沙·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（  ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】连接OB，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数． 【详解】解：连接OB， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB==60°， ∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及圆周角定理，根据题意作出辅助线构造出圆心角是解题的关键． 2．（2022秋•长沙期末）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论． 【详解】解：如图，连接． 是等边三角形， ， ， 是正五边形， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型． 3．（2022秋•长沙期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2022秋•长沙期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴所对的弧是， ∵所对的弧是， ∴，即， 故选：． 5．（2023秋•长沙期末）如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，，先求出，再求出，根据切线的性质，即可求解， 本题考查了，正多边形与圆，切线的性质，解题的关键是：添加辅助线求出的度数． 【详解】解：如图，连接OA，， ∵多边形ABCDE为圆内接正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵PA为圆O的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2022秋•长沙期末）如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    【答案】，，，，， 【分析】根据正六边形的性质得到，连接，过作于，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：的半径， ， ，， 多边形是正六边形， ， 连接，过作于，   ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，， 同理，，，，，． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 求某点的弧形运动路径长度 7．（2022秋•长沙期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）. (1)画出关于点O中心对称的； (2)将绕点C顺时针旋转，画出旋转后的； (3)在（2）条件下，直接写出旋转过程中点B留下的路径长为 . 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转图形作图，中心对称作图，弧长计算，数形结合，准确计算是解题的关键． （1）作出点A、B、C关于点O的中心对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：旋转过程中点B留下的路径长为：． 8．（2022秋•长沙期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析； (2)在旋转过程中点扫过路径的长为． 【分析】（）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（2022秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为，点旋转后的对应点为， (1)画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长结果保留． 【答案】(1)详见解析，点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形，然后写出点的坐标即可； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． 【详解】（1）如图，为所作，点的坐标为； （2）， 点经过的路径的长为． 求其他不规则图形的面积 10．（2024·湖南长沙·期末）如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两个扇形面积之和， ∴． 故选：D． 11．（20232秋•长沙期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 12．（2022秋•长沙期末）如图，在扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，，利用勾股定理求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点C为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（2023秋•长沙期末）如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，且，的半径为4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)阴影部分的面积为 【分析】对于（1），先连接，根据直径所对的圆周角是直角得，可得，再根据“等边对等角”得，然后结合已知条件得，即可得出结论； 对于（2），先求出，可得，再根据平行线的性质得，即可说明是正三角形，然后结合可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，是的弦， ∴， 即. 又∵， ∴. ∵， ∴， 即. ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线，点B为切点， ∴. 在中， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴是正三角形， ∴ ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，求扇形的面积，等边三角形的判定，将弓形的面积转化为求扇形和三角形的面积差是解题的关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$