专题02 锐角三角函数（5大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题02 锐角三角函数 求三角函数的值 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果把方程变形为的形式，那么以长为直角边的 中的值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖南常德·期末）如图，在Rt中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，点在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，试求的值． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：在中，，，求的值． 解题思路：在上截取，再连接，可证为等腰三角形，设，则，．．．．．．．，则 ， ． 根据特殊角三角函数值求角度 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若，则锐角α等于（） A．15° B．30° C．45° D．60° 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知锐角，且，则 ． 3．（123-24九年级上·湖南邵阳·期末）在中，若，则的度数为 ． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）在中，锐角，满足，则 ． 含三角函数值的计算 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算： 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）计算：. 4．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）计算： 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）计算：． 解直角三角形 1．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是 ． 2．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在菱形中，对角线交于O，且对角线，，点E是边的中点，则 ． 3．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算时，如图1，在中，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，    (1)类比这种方法，求得______； (2)如图2，锐角，已知，求证：． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，． (1)证明：； (2)如图二，求（结果保留根号）； (3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度． 5．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，已知，，求，，的值．    解直角三角形的应用 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图河堤横断面迎水坡的坡度是，，则坡面的长度是 m． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔底部的俯角为，信号塔顶部的仰角为，已知教学楼的高度为，求信号塔的高度（计算结果保留根号）． 3．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）某学校兴趣小组开展实践活动，并在活动后实地测量了某建筑物的高度．方法如下：如图，首先在测量点处用高为米的测角仪测得建筑物顶部的仰角为，然后在测量点处用同样的测角仪测得建筑物顶部的仰角为，最后测量出，两点间的距离为12米，并且，，三点在一条直线上，连接并延长交于点，请你利用他们的测量结果，计算此建筑物的高度．（参考依据：，，，，，）    4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，建筑物的高为．在北楼顶处测得旗杆底部的俯角为，旗杆顶部的仰角为．求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：、，）    5．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，） 6．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）市教育局幼儿园新建了一个滑滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知，，设，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 7．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）每年的至月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和地面所成的角，米，求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，，） 三角函数综合 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图1，在中，于点D，正方形的边在上，顶点P、N分别在、上，，． (1)求正方形的边长（用a和h的代数式表示）； (2)如图2，在中，在上任取一点，画正方形，使、在边上，在内，连接并延长交于点N，画于点M，画交于点P，再画于点Q，得到四边形，证明四边形是正方形； (3)在（2）中的线段该线上截取，连接、（如图3)，当时，求线段的长（用a、h表示） 3．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设．    (1)________； (2)若点A在的平分线上，求的长； (3)求点，D距离的最小值，并求此时的值． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，为线段中点，与交于点，，且交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锐角三角函数 求三角函数的值 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果把方程变形为的形式，那么以长为直角边的 中的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题关键．根据配方法可求出，结合勾股定理可求出的斜边长为5，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：方程变形为的形式为， ∴． ∵以长为直角边， ∴的斜边长为， ∴． 故选B． 2．（22-23九年级上·湖南常德·期末）如图，在Rt中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出边长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，点在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，求出点B的坐标是解题的关键．把代入二次函数解析式求出x的值，得到点B的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解． 【详解】解：当时，， 解得，舍去， ∴点的坐标为， ． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：在中，，，求的值． 解题思路：在上截取，再连接，可证为等腰三角形，设，则，．．．．．．．，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】本题考查的是解直角三角形、求特殊角的三角函数值，构造特殊角解直角三角形是关键，当时，分别在上截取，再连接；当时，在上取点D，连接，使；分别构造特殊直角三角形，解直角三角形即可解决． 【详解】解：当时， 在上截取，连接， ，， ， ， 设， 则， ； 当时， 在上取点D，连接，使， ， ， ， ，设， ， ， ； 故答案为：，． 根据特殊角三角函数值求角度 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若，则锐角α等于（） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知锐角，且，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．根据的值，即可得出的度数． 【详解】解：，为锐角， ， ， 故答案为：． 3．（123-24九年级上·湖南邵阳·期末）在中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，特殊角的三角函数值，关键是掌握非负数的和是0，这几个数都等于0；并熟记特殊角的三角函数值．非负数的和是0，这几个数都等于0，由此得到，即可求出 的度数，由三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）在中，锐角，满足，则 ． 【答案】/60度 【分析】可得，，可求，，即可求解． 【详解】解：由题意得 ，， ，， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了非负数的和为零的问题，特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 含三角函数值的计算 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）． 【答案】 【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号、计算立方根，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，立方根等知识点，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，化简二次根式，实数的混合计算，先计算特殊角三角函数和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）计算：. 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，先求负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，然后进行加减运算即可，准确熟练地化简各式是解题的关键． 【详解】解：原式， ． 4．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】原式 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦函数值计算即可． 【详解】解： ． 解直角三角形 1．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在中，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在菱形中，对角线交于O，且对角线，，点E是边的中点，则 ． 【答案】5 【分析】利用菱形的性质可以得到，，，，然后利用解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：∵是菱形，对角线交于O， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∵点E是边的中点， ∴ 故答案为：5． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算时，如图1，在中，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，    (1)类比这种方法，求得______； (2)如图2，锐角，已知，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键． （1）作，使，延长到D，使，连接，设，则，，求出，即可求解； （2）延长使，连接，得，设，由得到，，，根据正切的定义代入化简即可证明． 【详解】（1）解：作，使，延长到D，使，连接，    设，则，，， ， 故答案为：； （2）证明：延长使，连接，得，    设， ， ，， ∴ ∴． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，． (1)证明：； (2)如图二，求（结果保留根号）； (3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可． （3）根据（1）的结论，可直接进行计算求出，利用三角函数求出，再分别利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，， ， 又， ， 即 ； （2）解：如图：， ， 由得，， ， 如图一：作于点， 在中，由于， ， 在中，由于， ， ， ； （3）解：由， 可设，则 ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 由勾股定理可得： ， ． 5．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，已知，，求，，的值．    【答案】，，． 【分析】由勾股定理可得的长度，再根据正弦的三角函数的定义即可求得的正弦值，从而可求得这个角的度数，进而可求得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， ∴，． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，勾股定理，关键是求得的正弦值． 解直角三角形的应用 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图河堤横断面迎水坡的坡度是，，则坡面的长度是 m． 【答案】10 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义可得，进而可得的值，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：迎水坡的坡度是， ， ， ， ， 故答案为：10． 2．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔底部的俯角为，信号塔顶部的仰角为，已知教学楼的高度为，求信号塔的高度（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的性质与判定，过点A作与E，推出，在中利用的正切值即可求得，在中利用的正切值即可求得，由即可求解． 【详解】解：过点A作与E，如图所示，则四边形是矩形，    ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 信号塔的高度是． 3．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）某学校兴趣小组开展实践活动，并在活动后实地测量了某建筑物的高度．方法如下：如图，首先在测量点处用高为米的测角仪测得建筑物顶部的仰角为，然后在测量点处用同样的测角仪测得建筑物顶部的仰角为，最后测量出，两点间的距离为12米，并且，，三点在一条直线上，连接并延长交于点，请你利用他们的测量结果，计算此建筑物的高度．（参考依据：，，，，，）    【答案】建筑物的高度为米． 【分析】设米，分别在中利用正切函数关系求得，由建立方程即可求得x的值，进而求得建筑物的高度． 【详解】解：设米， 由题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴米； 在中，，则； 在中，，则； ∵， ∴，即， 解得：， ∴建筑物的高度为：（米）； 答：建筑物的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意并求解是解题的关键． 4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，建筑物的高为．在北楼顶处测得旗杆底部的俯角为，旗杆顶部的仰角为．求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：、，）    【答案】 【分析】如图，作于，则四边形是矩形， ，，在中，，，可得是等腰直角三角形，，在中，，可得，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，即， ∴m， 故旗杆的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 5．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，） 【答案】室内露出的墙的厚度约为 【分析】该题主要考查了解直角三角的应用，此题读懂题意，理解题目叙述的意义是解题的关键，理解实际图形后才能把它转化成数学问题，然后利用三角函数解决问题． 宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60°，根据已知条件解直角三角形就可以求出a． 【详解】解：从图中可以看出，在室内厚为的墙面、宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60度． 从而 ． 即室内露出的墙的厚度约为． 6．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）市教育局幼儿园新建了一个滑滑梯，如图，为扶梯，为连廊，为滑梯，已知，，设，，一小女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？ 【答案】米 【分析】根据求出，根据勾股定理求出，再根据求出，根据勾股定理求出，根据题意计算即可． 【详解】在中，，，∴， ， 在中，，，∴， ∴， ∴她经过的总路程为：米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握正切值所表示的意义是解题的关键． 7．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）每年的至月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和地面所成的角，米，求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作于点，由可求出的度数，在中由，可求出及的长度，在中由直角三角形的性质可得出，故可得出的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 米． 答：这棵大树原来的高度是10米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 三角函数综合 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ． 【答案】9﹣5 【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2-2，PE=4-2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9-5，故答案为9-5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图1，在中，于点D，正方形的边在上，顶点P、N分别在、上，，． (1)求正方形的边长（用a和h的代数式表示）； (2)如图2，在中，在上任取一点，画正方形，使、在边上，在内，连接并延长交于点N，画于点M，画交于点P，再画于点Q，得到四边形，证明四边形是正方形； (3)在（2）中的线段该线上截取，连接、（如图3)，当时，求线段的长（用a、h表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质，证明，得到，即可求解； （2）先证明四边形是矩形，再结合正方形的性质，得到，，推出，进而得到，即可证明结论； （3）作于，作于，利用余角的性质证得，判定，得到，由等腰三角形的性质可得，进然后利用锐角三角函数值求得、的值，由可得，再利用相似三角形的性质求得的长度即可． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ，， ， ， ； （2）证明： ， ∴四边形是矩形， 正方形， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 矩形是正方形； （3）解：如图，作于，作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ， ． 3．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，，P是上一点，将矩形沿折叠，点A落在点处．连接，与相交于点F，设．    (1)________； (2)若点A在的平分线上，求的长； (3)求点，D距离的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）利用勾股定理求出，根据，可得结论． 【详解】（1）如图1中，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图1中，∵平分，    ∴， 由翻折可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图2中，连接，．    在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为8， 此时，，D共线，设，则有， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图，为线段中点，与交于点，，且交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形外角可得，进而证得； （2）在（1）的基础上，再由，可得出是等腰直角三角形，根据为线段的中点，可得，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：证明， ， ，， ； （2）， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 又， ，， 在中，由勾股定理得： ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出、的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$