第26章 概率初步知识归纳与题型突破（单元复习 9类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第26章 概率初步知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 二、用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 三、初步认识概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 四、用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 03 题型归纳 题型一　确定事件和随机事件 例题：（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖 C．抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．任意一个三角形，其内角和为是必然事件 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此对各选项分析判断求解． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故本选项符合题意； B、某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意； C、抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故本选项不符合题意； D、任意一个三角形，其内角和为是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，理解事件的分类是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念求解． 【详解】解：A：小明买彩票中奖属于随机事件； B：任意抛掷一只纸杯，杯口朝下属于随机事件； C：任意三角形的两边之差都小于第三边，是必然事件； D：在一个没有红球的盒子里摸到红球是不可能事件． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意； B、从装有6个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心是随机事件，符合题意； D、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：． 题型二　用列举法求概率 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 【答案】/0.75 【知识点】列举法求概率 【分析】本题主要考查了几何概率，勾股定理的逆定理，先将第三枚棋子可能落在其余四个位置的格点位置找到．再找出与已知格点构成直角三角形的3种情况，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四个位置可以放置，其中能与已知两枚棋子构成直角三角形的点是B、C、D三个点， ∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况，进行计算即可． 【详解】解：随机闭合两个开关共有，6种情况，其中小灯泡不发光的情况有共4种情况， ∴； 故答案为：． 2．（2023·广东佛山·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ． 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象、列举法求概率 【分析】本题考查了求概率、一次函数的图像，正确找出当直线经过第二象限时，点的所有符合条件的坐标是解题关键． 【详解】解：由题意得：点的坐标共有种：，，，，，， 点为， 直线经过第二象限，点的坐标有，，，，共四种情况； 在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·贵州黔南·开学考试）小丽在学习法制和安全知识时遇到这样一个题：王某在清明节祭祀焚烧纸钱引起周边草场着火，导致草场烧毁面积达900余亩，王某被依法予以行政拘留．此事件给我们什么启示？A春游时可以在野外烧烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不带火种进入林区；D不在山上烧黄蜂、烧山赶野生动物．此题的正确答案为BCD，小丽在四个选项中随机选择三个选项，那么答对的概率是 【答案】/0.25 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】此题考查了概率，写出所以等可能结果，根据概率公式进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，共有、、、这4种等可能的结果，其中符合条件的结果只有1种， ∴答对的概率是， 故答案为： 4．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 题型三　几何求概率 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率．设正方形的边长为a，则圆的直径为，求出正方形的面积为，圆的面积为，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，则圆的直径为， ∴正方形的面积为，圆的面积为， ∴飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可解答． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、几何概率 【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的面积三角形的面积，求出三角形的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ， 由旋转变换的性质可知，， ， ， ，， 现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、几何概率 【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 题型四　列表法或树状图法求概率 例题：（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈；若第二次掷得2，就从开始顺时针连续跳2个边长，落到圈；… 设游戏者从圈起跳． (1)嘉嘉随机掷一次骰子，落回到圈的概率为________； (2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到图的概率． 【答案】(1) (2)最后落回到圈A的概率为． 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用画树状图法求概率． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图求出所有等可能的结果，再求得淇淇随机掷两次骰子，最后落回到圈A的概率，比较即可解决． 【详解】（1）解：∵一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4，且落回到圈A时，需掷得4， ∴随机掷一次骰子，落回到圈A的概率； 故答案为：； （2）解：画树状图如解图： ∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有4种情况， ∴最后落回到圈A的概率． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． (1)如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________； (2)如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）根据概率公式得出只用1个电子元件①，得出该电路为断路的概率； （2）先列表得到用2个电子元件①，②组成一个电路系统时，所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为； 故答案为：； （2）解：每个元件正常工作分别记为：，，每个元件不能正常工作分别记为：，， 用2个电子元件①，②组成一个电路系统，所有情况如下表：      ∵从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为正常状态的有1种， ∴该电路为正常状态的概率为． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“A燃料燃烧”“B电池充电”“C镜花水月”“D冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（其中A、B主要为化学变化，C、D主要为物理现象）．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽．这个规则对小云和小南公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 【答案】这个规则对小云和小南公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性．画出树状图，求出小云和小南分享的概率即可判断求解． 【详解】解：这个规则对小云和小南公平，理由： 画树状图如下， 由树状图可得，共有种等结果，其中两张卡片上都是化学变化的结果有种，两张卡片上都是物理现象的结果有种， ∴，， ∵， ∴这个规则对小云和小南公平． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为_____． (2)我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算方法即可求解； （2）用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：4部名著A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》中，随机选择1部， ∴选中《红楼梦》的概率为， 故答案为：； （2）解：用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， ∴共有12种等可能结果，其中B．《红楼梦》被选中的有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目． 现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A、B、C、D作为代号），洗匀： (1)从中随机抽取一张门票，抽到C的概率为________； (2)从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表格的方法，求两张门票恰好是B和D的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）由树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“体操”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图法表示所有可能出现的结果如下： 共有12种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是是B和D的有2种结果， 所以两次抽取的卡片图案上是是B和D的的概率为． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应，包括金属与金属盐的反应，金属与酸的反应等．某次化学实验课上，老师带来了四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知，可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)若从四种金属中随机选择一种，选到的概率是 ； (2)甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、不可能事件的定义、概率公式是解答本题的关键． （1）根据不可能事件的定义可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，从四种金属中随机选择一种，共有四种可能，选到有一种可能，选到的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，共4种， 两人所选金属均能置换出氢气的概率为． 题型五　利用概率判定游戏的公平性 例题：（24-25九年级上·云南文山·期中）为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘、 ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断， （1）根据题意画出树状图，然后由树状图求得两个指针所指区域的数字之和即可； （2）根据（1）的结果并利用概率公式分别求得小明致辞、小亮致辞的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对小明、小亮双方是否公平； 解题的关键是掌握：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】（1）解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，分别为：、、、、、、、、、、、； （2）公平． 理由：∵两个指针所指区域的数字之和为奇数有种情况，数字之和为偶数有种情况， ∴（小明致辞），（小亮致辞）， ∴（小明致辞）＝（小亮致辞）， ∴这个游戏规则对小明、小亮双方公平． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． （2）这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平． 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． (1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； (2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； (3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)公平，见解析 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可； （3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况， ∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为； （2）解：列表如下： 小刚二叔 小刚父亲 A B C D 由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种， ∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为； （3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为， ∵ ∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______； (2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对二人公平 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次转出的数字均为奇数的结果数和两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果数，进一步求出二人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3个区域，每个区域被转到的概率相同，且奇数有2个区域， ∴转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次转出的数字均为奇数的结果数有4种，两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果数有4种， ∴二人获胜的概率都为， ∴该游戏对二人公平． 题型六　概率在转盘抽奖中的应用 例题：（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 巩固训练 1．（2024七年级下·全国·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 【答案】(1) (2)设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张（答案不唯一） 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题主要考查了随机事件的可能性，掌握可能性的计算公式是解题的关键． （1）先确定所有等可能结果数、翻到“手机”的结果数，然后运用概率公式计算即可； （2）设计一个有等可能结果数为9，翻到“球拍”的结果数为4的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：． （2）解：设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一） 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元．若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为230元，只选择方案一进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： ∵共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， ∴该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为． 3．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 题型七　用频率估计概率 例题：（24-25九年级上·浙江衢州·期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为 ． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 800 1600 成活的频率 0.81 0.78 0.79 0.80 0.80 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，解题的关键是熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 【详解】解：由表格的数据可知，随着试验次数的增加，该苹果树苗的成活的频率稳定在左右， 估计这种苹果树苗的移植成活的概率为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率见下表： 抽取只数/只 合格频率 估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为 ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到灯泡合格的概率即可． 【详解】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于， 估计从该批次口罩中任抽一只灯泡是合格品的概率为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ． 【答案】白球 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． 观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为， ∴该球最有可能是白球， 故答案为：白球． 3．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为 ．（精确到0.1） 【答案】0.9 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据表格可知：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.9左右，据此解答． 【详解】解：由表格可知，随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.9左右， 故答案为：0.9． 题型八　已知概率求数量 例题：（24-25九年级上·广东珠海·期中）袋子里装有红、黄两种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球有 个． 【答案】12 【知识点】分式方程的实际应用、已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式的应用．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 设黄球共个，利用概率公式列式求得的值即可． 【详解】解：设黄球共个，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 所以黄球共有12个， 故答案为：12． 巩固训练 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有 颗． 【答案】25 【知识点】分式方程的实际应用、由样本所占百分比估计总体的数量、已知概率求数量 【分析】设有颗黑棋子，根据样本估计总体得到方程，再解方程即可求解； 本题主要考查用样本估计总体的统计思想、频率的意义与作用、分式方程的解法． 【详解】解：设有颗黑棋子，依题意得： 解得 经检验：是原方程的解． 故答案为：25． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为 ． 【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴．经检验符合题意； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋子中白球有 个． 【答案】 【知识点】解分式方程、根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了分式方程，频率估算概率，概率的计算，根据题意，设白球有个，则袋子中的球有个，根据摸到黑球的频率稳定在，列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设白球有个，则袋子中的球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为， ∴是原分式方程的解， ∴袋子中白球有个， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【答案】35 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 题型九　频率和概率的综合应用 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496 (1)上表中的________，________． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 【答案】(1)191， (2) (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． （3）用9500除以发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：191，； （2）解：∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3）解：， 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： 射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9 【知识点】有理数的除法运算、由频率估计概率 【分析】本题考查有理数除法，由频率估计概率等． （1）按表格中所给数据计算即可； （2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率． 【详解】（1）解：计算结果如下表： 射击次数n 10 20 50 100 500 1000 2000 击中10环次数m 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 （2）解：∵由（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳定在附近，并围绕作小幅波动， ∴由此估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． (2)试估算口袋中白球的个数． 【答案】(1)0.6 (2)估算口袋中白球的个数为3 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，解题的关键是明确频率和概率之间的关系． （1）观察表格可知，摸到白球的频率在0.6附近，据此即可解答； （2）用球的总数乘以摸到白球的概率即可确定白球的个数． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6； （2）解：由（1），可估计摸到白球的概率为0.6， （个）． 答：估算口袋中白球的个数为3． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____． (2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1） (3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 【答案】(1) (2) (3)12；5 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率总在某个固定值附近摆动，这个固定值就是概率，理解这一核心思想是解题的关键． （1）根据频率等于频数与试验总次数的比，即可求得k的值； （2）根据不同试验次数的频率，除了试验次数为50次的除外，其余的频率都在及以上，基本稳定在，按精度要求为，即可求解； （3）由于有12种不同的生肖，要有12个大小形状一样且编有号码的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次实验，不断重复这样的试验即可进行模拟． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：试验次数为50次时频率为0，其余的频率都在及以上，基本稳定在， 而； 故答案为：； （3）解： 12种不同的生肖，对应12个大小形状一样且有编号的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次试验，多次重复此试验即可进行模拟；因此要准备12个球，一次模拟记录5个球； 故答案为：12；5． 4．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【答案】(1)0.6 (2)3 (3)再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一） 【知识点】根据概率作判断、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率； （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可； （3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一． 【详解】（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）可估计摸到白球的概率为0.6， （只， 答：估算口袋中白球有3只； （3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只， 再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 概率初步知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 二、用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 三、初步认识概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 四、用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 03 题型归纳 题型一　确定事件和随机事件 例题：（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖 C．抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．任意一个三角形，其内角和为是必然事件 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 题型二　用列举法求概率 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）在的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 巩固训练 1．（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D 和1个小灯泡，同时闭合开关A，B 或同时闭合开关C，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡不发光的概率为 2．（2023·广东佛山·模拟预测）从，，这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点的坐标记为，若点为，则在平面直角坐标系内直线经过第二象限的概率为 ． 3．（23-24九年级上·贵州黔南·开学考试）小丽在学习法制和安全知识时遇到这样一个题：王某在清明节祭祀焚烧纸钱引起周边草场着火，导致草场烧毁面积达900余亩，王某被依法予以行政拘留．此事件给我们什么启示？A春游时可以在野外烧烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不带火种进入林区；D不在山上烧黄蜂、烧山赶野生动物．此题的正确答案为BCD，小丽在四个选项中随机选择三个选项，那么答对的概率是 4．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ． 题型三　几何求概率 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 题型四　列表法或树状图法求概率 例题：（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈；若第二次掷得2，就从开始顺时针连续跳2个边长，落到圈；… 设游戏者从圈起跳． (1)嘉嘉随机掷一次骰子，落回到圈的概率为________； (2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到图的概率． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． (1)如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________； (2)如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“A燃料燃烧”“B电池充电”“C镜花水月”“D冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（其中A、B主要为化学变化，C、D主要为物理现象）．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽．这个规则对小云和小南公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为_____． (2)我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目． 现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，A、B、C、D作为代号），洗匀： (1)从中随机抽取一张门票，抽到C的概率为________； (2)从中随机抽取两张，请你利用画树状图或列表格的方法，求两张门票恰好是B和D的概率． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的反应，包括金属与金属盐的反应，金属与酸的反应等．某次化学实验课上，老师带来了四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知，可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)若从四种金属中随机选择一种，选到的概率是 ； (2)甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率． 题型五　利用概率判定游戏的公平性 例题：（24-25九年级上·云南文山·期中）为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘、 ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)这个规则公平吗？请说明理由． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请说明理由． 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 2．（24-25九年级上·山西运城·期中）游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． (1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； (2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； (3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______； (2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 题型六　概率在转盘抽奖中的应用 例题：（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 巩固训练 1．（2024七年级下·全国·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是． 2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元．若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； 3．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 题型七　用频率估计概率 例题：（24-25九年级上·浙江衢州·期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为 ． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 800 1600 成活的频率 0.81 0.78 0.79 0.80 0.80 巩固训练 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率见下表： 抽取只数/只 合格频率 估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为 ． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ． 3．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为 ．（精确到0.1） 题型八　已知概率求数量 例题：（24-25九年级上·广东珠海·期中）袋子里装有红、黄两种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球有 个． 巩固训练 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有 颗． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋子中白球有 个． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 题型九　频率和概率的综合应用 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496 (1)上表中的________，________． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： 射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． (2)试估算口袋中白球的个数． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____． (2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1） (3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 4．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$