精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三阶段性调研监测考试 数学试题 2024.11 注意事项： 1､答题前､考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，，再利用交集定义求解即可. 【详解】， ， . 故选：C. 2. 命题“所有能被整除的整数都是质数”的否定是（ ） A. 存在一个能被整除的整数不是质数 B. 所有能被整除的整数都不是质数 C. 存在一个能被整除的整数是质数 D. 不能被整除的整数不是质数 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是一个存在量词命题，根据全称命题的否定方法，可得到结论 【详解】命题“所有能被整除的整数都是质数”的否定是“存在一个能被整除的数不是质数”. 故选：A. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等差数列基本量的计算，根据等差数列的性质，列出通项以及前项和，解出数列的公差. 【详解】根据等差数列的定义和题目条件，有：， ， 整理得， 解得. 故选：B 4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品浓度随时间的变化关系为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求的最大值. 【详解】由题设，从而，当且仅当时等号成立， 故的最大值为5. 故选：D. 5. 如图，是圆上的三点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则利用数量积可求，. 【详解】设圆的半径为， 设，则， 而，故即， 又，而， 故，故， 故， 故选：A. 6. 已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据扇形的弧长公式求出圆锥的母线长，进而求出高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别对、赋值，结合已知条件分别求出、、的值，即可得解. 【详解】令可得，即，解得， 令，可得，则， 令，可得，则， 令，可得，可得， 因此，. 故选：C. 8. 已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果. 【详解】设函数的最小正周期为. 对于甲：因为函数的图象关于对称，则； 对于乙：因为函数在上单调递增， 则，可得，又 所以，，又因为，则； 对于丙：因为函数在区间上有个零点，则，可得， 所以，，由于，则； 对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 则，即， 因为，所以，满足条件， 故丙的结论错误，此时，，则， 因为，故，所以，， 且当时，，即函数在上单调递增， 乙同学的结论正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的的范围或值，进而判断. 二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线是平面外两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面位置关系一一判断即可. 【详解】对于A:若，则可以平行，相交，异面，A选项错误； 对于B: 若，，此时或，已知直线是平面外的直线,故B选项正确； 对于C: 两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故C选项正确； 对于D: 若，则存在使得， 又，所以，则，故D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用单调性比较大小对选项逐一分析即可. 【详解】对于：函数为增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以， 当时，函数为增函数， 所以， 当时，函数为减函数， 所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故正确； 对于：， 在上单调递减，当时， ，即，故错误. 故选：. 11. 设函数，则（ ） A. 存在实数，使得为偶函数 B. 函数的图象关于对称 C. 当时， D. 当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据偶函数性质可得代入可求解；对于B，函数关于对称，则特殊值代入即可判断；对于C，，构造新的函数，对其求导可知，又因关于原点对称，所以可得，对分母可知，对不等式进行缩放即可判断；对于D，将代入，可得，作差分类讨论的符号，即可得单调性. 【详解】对于A，若为偶函数，则， 可得，可得，故A正确； 对于B，函数关于对称，则，不妨设， 则，故B错误； 对于C，，构造新的函数， 对其求导可知，， 所以单调递增，则， 又因关于原点对称，所以可得， 可得，对分母可知， 所以，故C正确； 对于D，将代入，可得， 设，在上单调递减，所以 在上单调递增，且恒为负，则， 故 则 当时， 故 当， ， 故 当，则 故 综上所以可得单调递增，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直，则数量积为0得到，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，， ，，， ， ，. 故答案为：. 13. 已知点在函数的图象上，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先代入点，求出，得到的解析式，再通过求导求出切线的斜率，进而得在点处的切线方程. 【详解】由题意，知 ∵，∴，故， 故，， ∴， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知数列满足，且对于任意，都存在，使得，则的所有可能取值构成的集合______；若的各项均不相等，把半径为（单位：）的三个小球放入一个正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由代入运算即可求解第一空，由半径为9和5的球必须放在正方体体对角线的两个角出求解即可. 【详解】由题意：， ，或， 或，或当时，，当时，， 所以的所有可能取值构成的集合， 第二空：的各项均不相等，所以，，， 由题意要是正方体容器的棱长最小，必须将半径为9和5的球放在正方体体对角线的两角处， 设正方体的棱长为，画出体对角面如图： 则， 由相似成比例可得：，所以， ，所以， 又， 所以， 解得：，此时，（半径为1和5的球相切，两点间最远距离） 即正方体的棱长最小值为：. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：球的切、接问题的关键，几何模型的准确构造，一般通过构造截面并确定内切球球心位置是解题的关键. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角和特殊角的正弦值求解即可； （2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 由正弦定理可得， 由，所以， 即， 因为，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，若数列的最小项为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件通过递推关系式求出数列的通项公式，再结合等比数列的求和公式即可得到结果； （2）法一：先由（1）中的结果可得数列的通项公式，通过导数分析其单调性即可得到结果；法二：通过分析的符号得到其单调性即可. 【小问1详解】 由题意可得①， 当时，， 当时，②， 由①②可得，， 则，， 又时，也满足上式， 所以， 即 . 【小问2详解】 由（1）可知， 则 法一：令，则， 则，令可得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因为， 当时，，当时，， 且，， ，所以. 法二：所以， 令， 得，得， 所以且， 所以. 17. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，. （1）证明：； （2）若，，点在平面内，且平面，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，， 是菱形，，， ，与全等，， 为的中点，， ，平面，平面， 又平面，； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据，证明平面，最后证得； （2）证明，，三条线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是菱形，，， ，，， ，，， 由（1）知，，又，平面， 平面， 以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，， ， 平面，（）， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）. （i）当时，求的最小值； （ii）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性. （1）（i）求出，讨论其符号可得函数的最小值； （ii）求出函数的三阶导数得该函数恒为正，从而就、分类讨论二阶导数的符号可得的增减性，故可得时不等式恒成立. 【小问1详解】 ， 若，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则，而， 若在上恒成立， 故同理可得在上单调递减，在上单调递增； 综上，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 , 当时，， 则，其中， 因在上为增函数，且当时，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 故. （ii）， 设，则， 设， 则当时，， 故在为增函数，故， 若，则即在上恒成立， 故即在上为增函数，故， 故在上为增函数，故恒成立. 若，， 而，故在上有且只有一个零点， 且当时，， 故在为减函数，故时，， 故在为减函数，故时，， 这与题设矛盾， 综上，. 【点睛】思路点睛：含参数的不等式恒成立问题，注意结合端点效应分类讨论，有时需要多次求导讨论各阶导数的符号，从而得到上阶导数的单调性，注意两者之间的对应性. 19. 已知为定义域内的连续函数，为其导函数，常数，若各项不相等的数列满足，，，则称为的“拉格朗日数列”，简记为“数列”. （1）若函数，数列是的“数列”，且. （i）求，； （ii）证明：是递减数列； （2）正项数列是函数的“数列”，已知，记的前项和为，证明：时，. 【答案】（1）（i），； （ii）证明：当时，易知，所以， 因为，所以， 所以，所以，，以此类推， 要证，只需证，即证， 设函数，， 所以当时，单调递增，所以， 所以，即， 即，所以， 所以数列是递减数列； （2）证明：要证， 当时，，成立； 当时，只需证， 设为数列的前项和， 则， 所以只需证， 设，可得， ，由“数列”定义得， ，， 所以在单调递增，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，在单调递增， 只需证， 设，， 则，， 因为， 所以单调递增，所以单调递增， 因为，所以，所以，单调递减， 所以，所以单调递增， 所以，即， 所以 所以，即， 综上所述，时，. 【解析】 【分析】（1）根据“数列”的定义依次求解即可；由时，得到，即成立，可得，构造函数，利用导数判断的单调性即可得到，进而证明结论； （2）构建函数，利用导数判断的单调性，然后令，，结合导数证明，即可得证. 【小问1详解】 （i）因为，， 所以，得， ，得； （ii）略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与函数的综合应用，关键在于构造函数和，，并结合“数列”的定义来推理，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段性调研监测考试 数学试题 2024.11 注意事项： 1､答题前､考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“所有能被整除的整数都是质数”的否定是（ ） A. 存在一个能被整除的整数不是质数 B. 所有能被整除的整数都不是质数 C. 存在一个能被整除的整数是质数 D. 不能被整除的整数不是质数 3. 已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（ ） A. B. C. D. 4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品浓度随时间的变化关系为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 5. 如图，是圆上的三点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论： 甲：函数的图象关于对称； 乙：函数在上单调递增； 丙：函数在区间上有3个零点； 丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称. 若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线是平面外两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 存在实数，使得为偶函数 B. 函数的图象关于对称 C. 当时， D. 当时，函数在上单调递增 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则__________. 13. 已知点在函数的图象上，则曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知数列满足，且对于任意，都存在，使得，则的所有可能取值构成的集合______；若的各项均不相等，把半径为（单位：）的三个小球放入一个正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长最小值为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求； （2）设，若数列的最小项为，求. 17. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，. （1）证明：； （2）若，，点在平面内，且平面，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）. （i）当时，求的最小值； （ii）若在上恒成立，求的取值范围. 19. 已知为定义域内的连续函数，为其导函数，常数，若各项不相等的数列满足，，，则称为的“拉格朗日数列”，简记为“数列”. （1）若函数，数列是的“数列”，且. （i）求，； （ii）证明：是递减数列； （2）正项数列是函数的“数列”，已知，记的前项和为，证明：时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $