专题03 小数除法（考点清单，知识导图+8个考点清单+5种题型解读）-2024-2025学年五年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

专题03 小数除法 （考点清单，知识导图+8个考点清单+5种题型解读） 清单01 小数除法简单计算 1.在计算小数除以整数时，应按照整数除法的法则去除； 2.商的小数点要与被除数的小数点对齐；除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面。 清单02 整数除以整数，商是小数的除法 1.在计算小数除以整数时，应按照整数除法的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐； 2.如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面加0继续除。 清单03 小数除以整数，商不足1的除法 小数除法的验算方法与整数除法相同。在结果没有余数的情况下：商×除数=被除数。 在计算商的整数部分不足“1”的小数除法时，要在商的相应的数位上加“0”占位。 清单04 一个数除以小数 计算小数除法的三个步骤： 一看：看清除数有几位小数； 二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数位数不够时，添0补足； 三算：按照除数是整数的除法计算。 清单05 商的近似数 小数除法经常会出现除不尽的情况，或者商的小数位数较多的情况，在实际应用中，可根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。 求商的近似数时，只要计算到比保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。求商的近似数时，如果计算较复杂，可以用计算器计算。 清单06 循环小数 循环小数的意义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：4.888…和0.9595…都是循环小数。 循环节与循环小数的写法   有限小数和无限小数 （1）有限小数的意义。小数部分的位数有限的小数叫做有限小数。 如：0.472，3.515151，10.300036等，都是有限小数。 （2）小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。 如：0.123123123…，3.517517…等都是无限小数。 清单07 用计算器探索规律 商是整数部分为0的循环小数，循环节是9的倍数，被除数是几，循环节就是9的几倍。 在探索规律时，有时要根据计算结果寻找规律。可以用计算器算出结果，再观察发现规律。 清单08 解决问题 解答应用题的步骤： （1）弄清题意，找出已知条件和所求问题； （2）分析题目中数量间的关系，确定解题思路：先算什么，再算什么，最后算什么； （3）确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数； （4）进行检验，写出答案。 在解决实际问题时，要根据实际情况取商的近似值。 一般情况下采用“四舍五入”法取商的近似值，但有些问题求近似值不能用“四舍五入”法，而要根据具体情况灵活应用。如：需要准备几个瓶要用“进一”法保留整数，可以包装几个礼盒要用“去尾”法保留整数。 考点题型一 求倒数 1：用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 【1-1】刘师傅加工一种零件，5分钟加工25个，平均工一个零件需要( )分钟，1分钟能加工( )个零件。 【1-2】7.06平方米＝( )平方分米    18分＝( )时 【1-3】根据24×32＝768，可知2.4×3.2＝( )，7.68÷2.4＝( )。 考点题型二 求商的近似数 2：按要求保留小数位数。   （保留两位小数）      （精确到十分位） 【2-1】山里养蜂人，收了50千克的蜂蜜，准备用瓶子装，每瓶可以装1.5千克。至少要用（    ）个这样的瓶子才能装完。 A．32 B．33 C．34 D．35 【2-2】把308千克油全部装在油桶里，每个油桶最多装25千克，至少需要( )个油桶才能装完。 【2-3】一座铁路桥长4620.8米，一列火车长145米，火车的速度是30米/秒。这列火车完全通过这座桥大约需要多少秒？（得数保留整数） 考点题型三 循环小数相关问题 3：在5.2、、这三个数中，最小的数是( )，最大的数是( )。 【3-1】循环小数1.726726…，小数部分第17位上的数字是（    ）。 A．7 B．2 C．6 【3-2】列竖式计算。          （商保留两位小数）          （商用循环小数表示） 【3-3】3÷7的商的小数部分第120位是几？前100位小数的和是多少？ 考点题型四 用计算器探索规律题目 4：根据规律完成后面两题。 1999998÷9＝222222      2999997÷9＝333333      3999996÷9＝444444 4999995÷9＝( )     ( )999994÷9＝( ) 【4-1】观察前3道题的得数，再直接写出后3题的得数。 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝( ) 3.3333×3333.4＝( ) 3.33333×33333.4＝( ) 【4-2】根据规律直接写出得数：1÷9＝，2÷9＝，3÷9＝，…那么，8÷9＝( )，9÷9＝( )。 【4-3】我们在课堂上已经找到了四位数的“数字黑洞”。 什么是“数字黑洞”？ 数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入了循环的境况。例如，任意选四个不同的数字，按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数（如1，2，3，0，就用3210－123）。用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步必得6174，即7641－1467＝6174。仿佛掉进了黑洞，永远出不来。 不信的话，请你试一试！ （1）你能用同样的方法找到三位数的“数字黑洞”吗？ （2）你能不能找到五位数的“数字黑洞”呢？ 考点题型五 小数除法解决问题 5：爸爸带着小勇去登山。从山脚到山顶全程有7.2km，他们上山用了3小时，下山用了2小时。他们上下山的平均速度是( )km/h。 【5-1】某日，中国银行外汇牌价显示1港元兑换0.91元人民币。中国文化艺术品商店出售的工艺品“中国雕刻”一套1365元人民币，折合( )港元。 【5-2】一个篮球51元，1000元可以买( )个这样的篮球，把这些篮球放到箱子里，每箱放6个，需要( )个箱。 【5-3】一项工程预计12人每天工作5小时，18天可完成，后来增加6人，每天工作时间减少1小时，这项工程多少天可完成？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 小数除法 （考点清单，知识导图+8个考点清单+5种题型解读） 清单01 小数除法简单计算 1.在计算小数除以整数时，应按照整数除法的法则去除； 2.商的小数点要与被除数的小数点对齐；除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面。 清单02 整数除以整数，商是小数的除法 1.在计算小数除以整数时，应按照整数除法的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐； 2.如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面加0继续除。 清单03 小数除以整数，商不足1的除法 小数除法的验算方法与整数除法相同。在结果没有余数的情况下：商×除数=被除数。 在计算商的整数部分不足“1”的小数除法时，要在商的相应的数位上加“0”占位。 清单04 一个数除以小数 计算小数除法的三个步骤： 一看：看清除数有几位小数； 二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数位数不够时，添0补足； 三算：按照除数是整数的除法计算。 清单05 商的近似数 小数除法经常会出现除不尽的情况，或者商的小数位数较多的情况，在实际应用中，可根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。 求商的近似数时，只要计算到比保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。求商的近似数时，如果计算较复杂，可以用计算器计算。 清单06 循环小数 循环小数的意义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：4.888…和0.9595…都是循环小数。 循环节与循环小数的写法   有限小数和无限小数 （1）有限小数的意义。小数部分的位数有限的小数叫做有限小数。 如：0.472，3.515151，10.300036等，都是有限小数。 （2）小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。 如：0.123123123…，3.517517…等都是无限小数。 清单07 用计算器探索规律 商是整数部分为0的循环小数，循环节是9的倍数，被除数是几，循环节就是9的几倍。 在探索规律时，有时要根据计算结果寻找规律。可以用计算器算出结果，再观察发现规律。 清单08 解决问题 解答应用题的步骤： （1）弄清题意，找出已知条件和所求问题； （2）分析题目中数量间的关系，确定解题思路：先算什么，再算什么，最后算什么； （3）确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数； （4）进行检验，写出答案。 在解决实际问题时，要根据实际情况取商的近似值。 一般情况下采用“四舍五入”法取商的近似值，但有些问题求近似值不能用“四舍五入”法，而要根据具体情况灵活应用。如：需要准备几个瓶要用“进一”法保留整数，可以包装几个礼盒要用“去尾”法保留整数。 考点题型一 求倒数 1：用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 答案：2.07；0.18；0.15；2.08； 分析：除数是整数的除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 详解： 14.49÷7＝2.07        2.16÷12＝0.18        2.1÷14＝0.15        49.92÷24＝2.08             【1-1】刘师傅加工一种零件，5分钟加工25个，平均工一个零件需要( )分钟，1分钟能加工( )个零件。 答案： 0.2 5 分析：刘师傅加工一种零件，5分钟加工了25个，求刘师傅平均加工一个零件需要多少分钟，就是把5分钟平均分成25份，用5分钟除以25；求刘师傅1分钟能加工多少个零件，即求刘师傅的工作效率，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”即可解答。 详解：5÷25＝0.2（分钟） 25÷5＝5（个） 刘师傅加工一种零件，5分钟加工25个，平均工一个零件需要0.2分钟，1分钟能加工5个零件。 【1-2】7.06平方米＝( )平方分米    18分＝( )时 答案： 706 0.3 分析：1平方米＝100平方分米，1时＝60分。高级单位转化为低级单位乘以两个单位之间的进率，低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率。 详解：7.06×100＝706（平方分米） 7.06平方米＝706平方分米 18÷60＝0.3（时） 18分＝0.3时。 【1-3】根据24×32＝768，可知2.4×3.2＝( )，7.68÷2.4＝( )。 答案： 7.68 3.2 分析：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），积也扩大到原来几倍或缩小到原来的几分之一；除数不变，被除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一，商也同样扩大几倍或缩小到原来的几分之一；被除数不变，除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商反而缩小到原来的几分之一或扩大相同的倍数。据此解答。 详解：已知24×32＝768，24缩小到原来的，32缩小到原来的，则768缩小到原来的，根据乘法各部分的关系，可知768÷24＝32，768缩小到原来的，24缩小到原来的，则32缩小到原来的。 2.4×3.2＝7.68 7.68÷2.4＝3.2 考点题型二 求商的近似数 2：按要求保留小数位数。   （保留两位小数）      （精确到十分位） 答案：0.01；0.4 分析：小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点； 小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算； 得数保留两位小数，看千分位上的数字是否满5；精确到十分位，看百分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 详解：0.15×0.056≈0.01                1.55÷3.8≈0.4             【2-1】山里养蜂人，收了50千克的蜂蜜，准备用瓶子装，每瓶可以装1.5千克。至少要用（    ）个这样的瓶子才能装完。 A．32 B．33 C．34 D．35 答案：C 分析：要求装50千克的蜂蜜需要几个装1.5千克的瓶子，就看50里面有几个1.5，用除法计算，算出的结果；如果不是整数，考虑到实际情况，要用“进一法”取整数。 详解：50÷1.5≈34（个） 因此至少要用34个这样的瓶子才能装完。 故答案为：C 【2-2】把308千克油全部装在油桶里，每个油桶最多装25千克，至少需要( )个油桶才能装完。 答案：13 分析：最后无论剩下多少千克油，只要不够装一个油桶，也要准备一个油桶，用油的总重量÷每个油桶装油的重量，结果用“进一法”解答。 详解：308÷25≈13（个） 把308千克油全部装在油桶里，每个油桶最多装25千克，至少需要13个油桶才能装完。 【2-3】一座铁路桥长4620.8米，一列火车长145米，火车的速度是30米/秒。这列火车完全通过这座桥大约需要多少秒？（得数保留整数） 答案：159秒 分析：根据题意，火车要完全通过铁路桥的总长度＝桥长＋火车车身的长度，已知火车的速度是30米/秒，根据“时间＝路程÷速度”，即可求出这列火车完全通过这座桥大约需要的时间，得数根据“四舍五入”法保留整数。 详解：4620.8＋145＝4765.8（米） 4765.8÷30≈159（秒） 答：这列火车完全通过这座桥大约需要159秒。 考点题型三 循环小数相关问题 3：在5.2、、这三个数中，最小的数是( )，最大的数是( )。 答案： 5.2 分析：先把循环小数改写成无限小数形式，再根据小数大小比较的方法进行比较即可。 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。 详解：＝5.1616… ＝5.1666… 5.2＞5.1666…＞5.1616… 5.2＞＞ 在5.2、、这三个数中，最小的数是，最大的数是5.2。 【3-1】循环小数1.726726…，小数部分第17位上的数字是（    ）。 A．7 B．2 C．6 答案：B 分析：1.726726…的循环节是726，即周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。 详解：17÷3＝5……2 1.726726…小数部分第17位上的数字是周期的第2个，也就是2。 故答案为：B 【3-2】列竖式计算。          （商保留两位小数）          （商用循环小数表示） 答案：0.00975；24.11； 90； 分析：小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除；除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法保留小数。 一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 详解：                                                            【3-3】3÷7的商的小数部分第120位是几？前100位小数的和是多少？ 答案：1； 451 分析：，可以发现其循环节为428571，共6个数。120÷6＝20（组），刚好整除，所以第120位是循环节的最后一位，即1。100÷6＝16（组）……4（位），即有16组完整的循环节，还剩下4位，一组循环节的和为4＋2＋8＋5＋7＋1＝27，16组循环节的和为27×16＝432，剩下的4位是4、2、8、5，它们的和是4＋2＋8＋5＝19，所以前100位小数的和为432＋19＝451，据此解答。 详解：，可以发现其循环节为428571，共6个数。 120÷6＝20 小数部分第120位是1。 4＋2＋8＋5＋7＋1＝27 100÷6＝16……4 27×16＋4＋2＋8＋5 ＝432＋4＋2＋8＋5 ＝451 答：3÷7的商的小数部分第120位是1，前100位小数的和是451。 考点题型四 用计算器探索规律题目 4：根据规律完成后面两题。 1999998÷9＝222222      2999997÷9＝333333      3999996÷9＝444444 4999995÷9＝( )     ( )999994÷9＝( ) 答案： 555555 5 666666 分析：被除数是七位数，最高位上的数与个位上的数相加等于9，其余数位上的数都是9，除数是9，商为六位数，各个数位上的数相同，且比被除数最高位上的数多1。 详解：1999998÷9＝222222       2999997÷9＝333333       3999996÷9＝444444 4999995÷9＝555555     5999994÷9＝666666 【4-1】观察前3道题的得数，再直接写出后3题的得数。 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝( ) 3.3333×3333.4＝( ) 3.33333×33333.4＝( ) 答案： 1111.2222 11111.22222 111111.222222 分析：从算式中观察得知：第二个算式开始每向下延伸一个算式，第一个因数的小数部分就多一个数字3，第二个因数的整数部分就多一个数字3；积则为小数部分和整数部分分别多一个数字2和1，据此填空。 详解：则根据分析的规律： 3×4＝12 3.3×3.4＝11.22 3.33×33.4＝111.222 3.333×333.4＝1111.2222 3.3333×3333.4＝11111.22222 3.33333×33333.4＝111111.222222 【4-2】根据规律直接写出得数：1÷9＝，2÷9＝，3÷9＝，…那么，8÷9＝( )，9÷9＝( )。 答案： 1 分析：观察算式可知，除数都是9，被除数是1、2、3⋯，商是循环小数，当被除数是1时，商的循环节就是1；当被除数是2时，商的循环节就是2，则被除数是几，循环节就是几，据此解答即可。 详解：根据分析可知，1÷9＝，2÷9＝，3÷9＝，…那么，8÷9＝，9÷9＝1。 【4-3】我们在课堂上已经找到了四位数的“数字黑洞”。 什么是“数字黑洞”？ 数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入了循环的境况。例如，任意选四个不同的数字，按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数（如1，2，3，0，就用3210－123）。用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步必得6174，即7641－1467＝6174。仿佛掉进了黑洞，永远出不来。 不信的话，请你试一试！ （1）你能用同样的方法找到三位数的“数字黑洞”吗？ （2）你能不能找到五位数的“数字黑洞”呢？ 答案：（1）495 （2）82962 分析：（1）根据四位数的数字黑洞的求解方法可举例三个数进行求解，如1，2，7；将这三个数按从大到小的顺序排成一个数，再按从小到大的顺序排成一个数，用大数减去小数，用所得结果的三位数重复上述过程，即可求出三位数的“数字黑洞”。 （2）首先选择五个不同的数字（‌1、‌2、‌3、‌4、‌5）‌，‌然后按照从大到小的顺序排列组成一个数，‌再从小到大顺序排列组成另一个数，‌接着用较大的数减去较小的数。‌重复这个过程，‌最终会发现数字会陷入一个循环圈，‌即所谓的“数字黑洞”，据此解答。 详解：（1）721－127＝594 954－459＝495 三位数的“数字黑洞”是495。 （2）54321－12345＝41976 97641－14679＝82962 通过这种运算，‌我们可以发现五位数的“数字黑洞”是82962。 考点题型五 小数除法解决问题 5：爸爸带着小勇去登山。从山脚到山顶全程有7.2km，他们上山用了3小时，下山用了2小时。他们上下山的平均速度是( )km/h。 答案：2.88 分析：上下山的平均速度＝上下山的总路程÷（上山时间＋下山时间），据此解答。 详解：7.2×2÷（3＋2） ＝7.2×2÷5 ＝14.4÷5 ＝2.88（km/h） 点睛：上下山的路程是从山脚到山顶全程的2倍。 【5-1】某日，中国银行外汇牌价显示1港元兑换0.91元人民币。中国文化艺术品商店出售的工艺品“中国雕刻”一套1365元人民币，折合( )港元。 答案：1500 分析：人民币面值÷1港元兑换的人民币＝兑换的港元面值，据此列式计算。 详解：1365÷0.91＝1500（港元） 中国文化艺术品商店出售的工艺品“中国雕刻”一套1365元人民币，折合1500港元。 【5-2】一个篮球51元，1000元可以买( )个这样的篮球，把这些篮球放到箱子里，每箱放6个，需要( )个箱。 答案： 19 4 分析：最后无论剩下多少钱，只要不够一个篮球的钱数就无法购买一个篮球，用总价除以篮球单价，结果用去尾法保留近似数，求出能买篮球的个数；最后无论剩下多少个篮球，都得需要一个箱子来装，用篮球总个数÷每箱放的个数，结果用进一法保留近似数，即可求出需要箱子的数量。 详解：1000÷51≈19（个） 19÷6≈4（个） 即1000元可以买19个这样的篮球，把这些篮球放到箱子里，每箱放6个，需要4个箱。 【5-3】一项工程预计12人每天工作5小时，18天可完成，后来增加6人，每天工作时间减少1小时，这项工程多少天可完成？ 答案： 15天 分析：据题意可知，工作总量是不变量，首先要求出工作总量，即15×4×18，又知后来增加6人，即后来的人数是人，每天工作减少1小时，即后来每天工作小时，再用工作总量除以工作人数，再除以每天的工作时间，即为所需要的天数。 详解： （天） 答：这项工程15天可完成。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$