期末复习03：小数除法（知识梳理+20个易错点练习+拔尖训练）-五年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学期末复习讲义通过知识梳理与易错点分类构建小数除法系统复习体系，以框架图呈现七个核心知识点，涵盖小数除以整数、循环小数等，结合步骤分解与示例解析突出小数点位置、商的近似数等重难点，帮助学生建立知识内在联系。 讲义亮点在于聚焦二十个易错点设计分层练习，如“进一法”解决装油问题、“去尾法”制作衣服，培养运算能力与模型意识。总结转化法等培优技巧，拔尖训练适配不同学生，教师可精准教学，学生自主复习有明确方向。

期末复习03：小数除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：小数除以整数 2 知识点二：一个数除以小数 2 知识点三：商的近似数 3 知识点四：循环小数 3 知识点五：用计算器探索规律 3 知识点六：解决问题 3 知识点七：易错点与培优技巧 4 易错点练习 4 易错点一：除数是整数的小数除法 4 易错点二：除数是整数的小数除法的应用 5 易错点三：与小数点移动相关的和倍差问题 6 易错点四：除数是小数的小数除法 6 易错点五：除数是小数的小数除法的应用 7 易错点六：被除数和商的大小关系（小数除法） 7 易错点七：小数的连除运算 8 易错点八：小数除法相关的简便计算 9 易错点九：用“四舍五入”法求商的近似数 10 易错点十：判定被除数的最大值和最小值 10 易错点十一：循环小数的认识和简写 11 易错点十二：有限小数和无限小数的认识 11 易错点十三：循环小数比大小 12 易错点十四：循环小数和周期性规律综合问题 12 易错点十五：用计算器探究规律 13 易错点十六：用“进一法”解决问题 14 易错点十七：用“去尾法”解决问题 15 易错点十八：错中求解问题（小数除法） 15 易错点十九：利用小数四则混合运算解决问题 16 易错点二十：分段计费问题（小数除法） 17 拔尖训练 18 知识梳理 知识点一：小数除以整数 意义：小数除法的意义与整数除法相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 计算方法： 1.按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐 2.整数部分不够除，商0，点上小数点继续除 3.如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添0，再继续除 示例：22.4÷4=5.6 计算过程：先算22÷4=5，商的小数点与被除数小数点对齐，点上小数点；再算4÷4=1，结果为5.6 知识点二：一个数除以小数 计算方法： 1.一看：看除数有几位小数 2.二移：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足） 3.三算：按除数是整数的小数除法进行计算 步骤示例：计算12.6÷0.28 ① 除数0.28有两位小数，向右移动两位变成28 ② 被除数12.6的小数点向右移动两位，位数不够补一个0变成1260 ③ 计算1260÷28=45，结果为45 知识点三：商的近似数 意义：根据实际需要，用"四舍五入"法保留一定的小数位数。 方法步骤： 1.计算时要比需要保留的小数位数多除出一位 2.按照"四舍五入"法取商的近似数 3.近似数末尾的0不能去掉（表示精确度） 示例：2.5÷0.4≈6.3（保留一位小数） 计算到小数点后第二位：2.5÷0.4=6.25，百分位是5，向十分位进1，得6.3 知识点四：循环小数 意义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 表示方法： 1.用循环节表示：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点 2.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的小数（如：5.） 3.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的小数（如：7.1） 示例：3.333...写作3.，0.142857142857...写作0.4285 知识点五：用计算器探索规律 方法步骤： 1.用计算器计算出前几个算式的结果 2.观察商的特点，寻找数字排列规律 3.根据发现的规律直接写出后面算式的结果 规律示例： 1÷11=0.0909... 2÷11=0.1818... 3÷11=0.2727... 规律：商的循环节为被除数的9倍（1×9=09，2×9=18，3×9=27） 知识点六：解决问题 常见类型： 1.进一法：解决需要准备多少个容器、多少辆车等问题（如：装油需要几个瓶子） 2.去尾法：解决能做多少件物品、能买多少东西等问题（如：用布做衣服） 3.归一问题：先求单一量，再求总量或数量 4.归总问题：先求总量，再求单一量或数量 解题步骤： 1.分析题意，确定数量关系 2.选择合适的计算方法（进一法/去尾法） 3.列式计算，注意单位统一 4.检验结果是否符合实际意义 示例：2.5kg油，每个瓶子装0.4kg，需要准备几个瓶子？ 2.5÷0.4=6.25，采用进一法，需要7个瓶子 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.小数点位置错误：商的小数点未与被除数小数点对齐 2.除到末尾有余数：忘记在余数末尾添0继续除 3.商的近似数：未除到需要保留的下一位就取近似值 4.循环小数表示：漏写循环点或多写循环点 培优技巧： 1.转化法：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法 2.对比法：比较小数除法与整数除法的异同点，加深理解 3.规律总结： 除数＞1，商＜被除数（如：5.6÷1.4=4＜5.6） 除数＜1（0除外），商＞被除数（如：5.6÷0.8=7＞5.6） 除数=1，商=被除数（如：5.6÷1=5.6） 估算检验法：估算商的大致范围，检验计算结果是否合理 易错点练习 易错点一：除数是整数的小数除法 例题：一块正方形木板的周长是3.2米，它的边长是( )米，面积是( )平方米。 【变式训练1】请根据图意填空，这个竖式解决的问题是 ，虚线框中的32表示( )个( )。 【变式训练2】小强20分钟做80道计算题，他平均每分钟做( )道题，平均每道题用( )分钟。 【变式训练3】剪纸是中国最古老的民间艺术之一。张阿姨1.6小时可以剪40个窗花，平均每小时剪( )个窗花，平均剪一个窗花需要( )小时。 易错点二：除数是整数的小数除法的应用 例题：中国空间站天和核心舱在海南文昌发射升空，天和核心舱5秒可以飞行38.4千米，它平均每秒可以飞行多少千米？ 【变式训练1】在一个星期里，瑞华化肥厂前三天共生产化肥0.45万吨，后四天共生产化肥0.81万吨。这个星期平均每天生产化肥多少万吨？ 【变式训练2】有5根同样长的细绳，如果把每条细绳都剪去15.3cm，那么剩下的细绳的长度相当于原来2条细绳的长度。原来每条细绳的长度是多少cm？ 【变式训练3】某公司在电视台黄金档插播一条30秒的广告，宣传自己的产品。每天播出2次，连播两周共付人民币35.7万元，平均每秒多少元？ 易错点三：与小数点移动相关的和倍差问题 例题：甲、乙两数的和是14.3，如果甲数的小数点向左移动一位，就与乙数相等，那么甲数是( )，乙数是( )。 【变式训练1】把一个小数的小数点向右移动一位后，得到的数比原来大13.5，原来的数是( )。 【变式训练2】把一个小数的小数点向右移动一位，得到一个新数，新数与原数相差44.55，原数是( )。 【变式训练3】一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了2.07，这个小数是( )。 易错点四：除数是小数的小数除法 例题：直接写得数。 0.48÷0.6＝          5×0.5＝         10÷0.1＝         0.8÷2＝ 63÷0.7＝           75×0.1＝         3÷0.5＝         9÷2＝ 【变式训练1】直接写出得数。 2.4÷0.3＝    5÷0.02＝    0.5×0.9＝    0.84÷4＝ 1.1×0.7＝    1.6÷8＝    3.3×3＝    1.2×0.2＝ 【变式训练2】竖式计算，带*的要验算。 114÷9.5＝         *1.89÷0.54＝         2.05×1.5＝ 【变式训练3】竖式计算（带※的要验算）。 38×0.95＝                     ※2.6÷0.25＝ 5.52÷2.3＝                      2.35×0.12≈     （结果保留两位小数） 易错点五：除数是小数的小数除法的应用 例题：甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，经过2.4小时相遇。已知甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【变式训练1】某智能农场有一块需要灌溉的蔬菜地，其面积是54平方米，农场的自动灌溉机器人用了0.6小时就完成了这块蔬菜地的全部灌溉任务。若农场要求灌溉机器人每小时灌溉面积超过85平方米，请通过计算说明该灌溉机器人是否达到了农场的要求。 【变式训练2】某工程队修一条公路，原计划每天修0.6千米，25天刚好可以修完。实际每天比计划多修0.15千米，实际比计划可以提前多少天完成任务？ 【变式训练3】一支碎冰蓝洋桔梗0.95元，一支卡罗拉红玫瑰1.5元，一支白色郁金香的价格是一支卡罗拉红玫瑰的2.6倍。一位顾客花了31元买了6支白色郁金香和一些碎冰蓝洋桔梗，顾客买了几支碎冰蓝洋桔梗？ 易错点六：被除数和商的大小关系（小数除法） 例题：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.26×1.1( )1.26   4.2÷0.25( )4.2×4 0.85×1.01( )0.85÷1.01    3.5( )3.5÷0.7 【变式训练1】在下面的（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5÷6.2( )1         16.8÷0.94( )16.8         9.17÷0.9( )9.17×1        12.6×0.1( )12.6÷10 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.35×1.02( )1.02           3.98÷0.85( )3.98 0.567÷0.01( )0.567×100    8.04×7.5( )80.4×0.75 【变式训练3】不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.18÷0.98( )5.18     0.9×1.08( )1.08      3.8×4( )3.8÷0.25 8.9×1.8( )8.9        2.1÷1.02( )2.1       2.4×1.2( )2.4÷1.2 易错点七：小数的连除运算 例题：晨光面粉厂用磨面机加工面粉，4台磨面机2.5小时可磨面粉32.5吨。照这样计算，一台磨面机每小时可以磨面多少吨？ 【变式训练1】希望农场用插秧机插秧，2台插秧机工作7.5小时可以插秧21.75公顷。照这样计算，一台插秧机每小时插秧多少公顷？ 【变式训练2】金色小区10月份共产生45.36吨垃圾，要想把这些垃圾全部运走需要3辆垃圾车同时工作4.2天，那么每辆垃圾车每天可以运走多少吨垃圾？ 【变式训练3】3名工人4.5小时生产81个机器零件。照这样计算，1名工人1小时能生产多少个这样的零件？ 易错点八：小数除法相关的简便计算 例题：脱式计算，能简算的要简算。 7.2÷0.25÷0.4    67.5×1.01－67.5 9.8×10.1    4.95－14.82÷7.6 【变式训练1】计算，能简算的要简算。 3.86＋1.09÷0.5                   98.5÷（2.5×9.85）                    0.54÷[（6.1－3.6）×0.8] 2.5×1.47×0.4                   （8.3－3.5×0.4）÷0.01                   8.34×14.6－4.6×8.34 【变式训练2】计算下面各题，能简算的要用简算，并写出必要的简算过程。 （1）2.42×1.5－3.8÷1.9            （2）34.12÷8÷1.25             （3）53.6＋9.1÷（3.2－2.95） （4）1.84×（0.5＋1.28÷0.16）          （5）[（24.17－18.5）×9]÷0.81            （6）6.92÷[（4.7＋2.22）×0.5] 【变式训练3】计算下面各题。（能简算的要简算）                                          易错点九：用“四舍五入”法求商的近似数 例题：已知205.8÷□（□是一位数）的商接近30，但比30小，那么□里应该填( )。 【变式训练1】列竖式计算。                                    （得数保留两位小数） 【变式训练2】城南教育集团举行“诗韵城南”诗词活动，同学们纷纷踊跃报名参加。初选进入决赛的共有55人。为了帮助同学们深入品读经典、提升诗词储备，学校出资500元到书店给每位进入决赛的同学购买了一本《唐诗•宋词•元曲》。付款后，找回了44元。这种书每本多少元？（保留一位小数） 【变式训练3】《中国居民膳食指南（2022）》提倡日常少油少盐，养成清淡饮食的习惯，建议成年人每日摄入烹调油克，食盐克。李阿姨家有3口人（都是成年人），刚开封一袋400克的食盐，如果按照每人每天摄入食盐4.5克计算，这袋盐大约够李阿姨一家三口吃多少天？（得数保留整数） 易错点十：判定被除数的最大值和最小值 例题：□÷1.2＝△，其中△是一个两位小数，用“四舍五入法”保留一位小数是3.0，□最大是( )，最小是( )。 【变式训练1】李老师写了7个自然数让同学们算平均数，要求得数保留两位小数，青青的结果是26.54，李老师说她最后一个数字错了。你知道正确的结果是多少吗？ 【变式训练2】一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，被除数最大是( )。 【变式训练3】一个数除以4.7的商是三位小数，商保留两位小数后约是2.13。这个数最大是多少？最小呢？ 易错点十一：循环小数的认识和简写 例题：在一个小数里，小数部分有相同的数字出现，这个小数就一定是循环小数。( ) 【变式训练1】写出下面各循环小数的近似数（保留三位小数）。 5.920920…≈( )    ≈( ) 【变式训练2】（如图）乐乐正在计算一道除法竖式题，这道题的计算结果是（    ）。 A．4.45 B． C． D．4.454 【变式训练3】诸暨东白湖镇年产香榧青果3000万斤，加工成干果后约400万斤，平均每斤青果能加工成( )斤干果，这个数用循环小数简便记法表示是( )，保留两位小数是( )。 易错点十二：有限小数和无限小数的认识 例题：47.652652…是一个( )小数，也是一个循环小数，用简便写法写作( )，它的循环节是( )，保留三位小数是( )。 【变式训练1】下面各数中，循环小数有（    ）个。 ①        ②        ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】在2.762，7.9666…，4.52222，5.182，2.323，3.14159…中。 有限小数： 。 无限小数： 。 循环小数： 。 【变式训练3】在3.3333、7.8484…、5.909090…、4.1415926…中有( )个循环小数，有( )个无限小数，有( )个有限小数。 易错点十三：循环小数比大小 例题：在①3.8484，②3.8484…，③3.8444…，④3.835798，⑤3.855中，有限小数有( )；循环小数有( )；最大的数是( )；最小的数是( )。（填序号） 【变式训练1】在括号内填“”“”或“”。 ( )    ( )4.75   ( )3.2 ( )7.3    ( )          ( ) 【变式训练2】在、、、这几个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【变式训练3】在3.14、3.141414…、3.1444…、3.141414、3.1415926…这几个数中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )，最大的数( )。 易错点十四：循环小数和周期性规律综合问题 例题：小想在计算6.64÷3.3＝2.0121212…时，发现商是一个循环小数，它的小数部分第25位是（    ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】的商用循环小数的简便记法表示是( )，保留两位小数约是( )，小数点后第45位上的数字是( )。 【变式训练2】13÷7的商是一个循环小数，这个循环小数的循环节是( )，小数点后第2024位上的数字是( )。 【变式训练3】在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 易错点十五：用计算器探究规律 例题：用计算器分别算出了左边三个算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝（    ） …… （    ）÷0.9＝1234567.8 【变式训练1】根据你的发现，在括号里写出得数或下一道算式。 (1) ( ) … (2) ( ) … 【变式训练2】用计算器计算下面各题。 1.08÷0.9＝（ ） 11.07÷0.9＝（ ） 111.06÷0.9＝（ ） 1111.05÷0.9＝（ ） 找出规律，直接完成下面各题。 11111.04÷0.9＝（ ） 111111.03÷0.9＝（ ） 1111111.02÷0.9＝（ ） 11111111.01÷0.9＝（ ） 【变式训练3】先用计算器计算每组的前三个算式，找出规律后，再填写。 9×7＝( )        9×9＋7＝( ) 9.9×7.7＝( )        98×9＋6＝( ) 9.99×77.7＝( )        987×9＋5＝( ) 9.999×777.7＝( )        9876×9＋4＝( ) 9.9999×7777.7＝( )    ( )×9＋( )＝( ) 易错点十六：用“进一法”解决问题 例题：大足某枇杷基地今年收获42.8吨枇杷，用容量1.5吨的货车运输，至少需要多少辆这样的货车？ 【变式训练1】果农们要将650千克的苹果装进纸箱，每个纸箱最多可以装15千克苹果。装这些苹果需要准备多少个纸箱？ 【变式训练2】李叔叔要把25.7千克糖分装在一些盒子里，每个盒子最多可装0.5千克，需要准备多少个盒子？ 【变式训练3】世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上，树干一周的长度达55.4米。大约多少个臂展1.8米的成年人伸开双臂才能围住这棵大树？ 易错点十七：用“去尾法”解决问题 例题：某服装厂购进一批布，原来做一套服装用布3.8米，可以做64套。技术升级后，每套服装只需要用布3.1米。这批布在技术升级后，最多可以做多少套服装？ 【变式训练1】丽丽看中了一套4本装的邮册，售价是95元。她攒够钱去书店，正好赶上书店搞促销，这套邮册现在售价72.6元，丽丽用剩下的钱买书签，书签每个4.9元，她最多可以买多少个书签？ 【变式训练2】医生给爷爷开了一瓶药，药瓶上写若：“0.2毫克×200片”。医生开的处方上写着“每日3次，每次0.4毫克，7天一个疗程”。请你算一算，这瓶药可以服用几个疗程？（得数保留整数。） 【变式训练3】制作花束时，最后都要用美丽的丝带把整个花束包扎起来。如果一个花束需要丝带1.6米，那么现有26米丝带，最多可以包扎多少束鲜花？ 易错点十八：错中求解问题（小数除法） 例题：小明在计算1.85÷0.25时，把被除数错写成了7.85，算出的商会（    ）。 A．比正确的商多6B．比正确的商少6C．比正确的商多24 D．比正确的商多31.4 【变式训练2】“小马虎”在计算一道除法题时，把除数2.2错写成了22，结果算得的商是36.3．那么正确的商是( )。 【变式训练3】小红在计算一道小数乘法题时，由于她把乘数5.6错看成6.5，结果她计算的得数比正确答案多11.16．这道题正确的积应该是多少？ 易错点十九：利用小数四则混合运算解决问题 例题：两辆汽车同时从相距640.8千米的两城相对开出，4.8小时后两车相遇，一辆车每小时行73.5千米，另一辆车每小时行多少千米？ 【变式训练1】依依买3支钢笔和5支铅笔共用去39.5元，淘淘买同种的6支钢笔和5支铅笔共用去66.5元。钢笔和铅笔的单价各是多少？ 【变式训练2】小红家的卫生间大约有8平方米，现在要铺上地砖。每块地砖是边长为0.3米的正方形，至少需要多少块这样的地砖？如果每块地砖售价是6.5元，一共需要花多少钱？ 【变式训练3】东方红小学六（2）班42名同学在今年6月份前往莲花山风景区毕业旅游，活动结束时全班合影留念，照相合影价格如下图。如果每位学生一张照片，一共需要付多少元？ 易错点二十：分段计费问题（小数除法） 例题：某快递公司收费标准如表。 计费单位 收费标准/元 市内 市外省内 省外 2kg及以内 10 12 16 超过2kg的部分，每1kg（不足1kg按1kg计算） 1.5 3.5 8.5 （1）小亮准备从温州寄5.4千克的特产到杭州，应支付快递费多少钱？ （2）如果小亮的妈妈从温州寄特产到北京，支付了92.5元的快递费，你知道妈妈最多邮寄了多少千克的物品吗？ 【变式训练1】以下是某市出租车的计价方式。 收费项目 收费标准 3千米以内收费 13元 3千米以外（不足1千米按1千米计算） 2.3元/千米 （1）小王乘出租车去科技馆，行驶11.6千米。他应付多少车费？ （2）小红打车给司机19.9元，她乘坐的出租车行驶了多少千米？ 【变式训练2】下面是绵阳居民生活用电价格表。 绵阳居民用电收费标准 用电量/千瓦时 单价/元 第一档：0~180 0.52 第二档：181~280 0.62 第三档：280以上 0.82 （1）贝贝家上个月用电220千瓦时，应付电费多少钱？ （2）婷婷家上个月缴电费172元，她家上个月用电多少千瓦时？ 【变式训练3】某城市自来水收费标准是这样规定的：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.9元1吨收费，超过15吨的，其超出吨数按5元1吨收费。 （1）小明家四月份用水14吨，应交多少水费？ （2）小红家四月份用水18吨，应交多少水费？ （3）小丽家四月份交水费68.5元，她家用水多少吨？ 拔尖训练 1．一个小数除以9.9，商一定（    ）。 A．小于9.9 B．大于9.9 C．等于9.9 D．无法确定 2．非遗传承人用一根30米长的彩线编织“湖北西兰卡普”，每个作品需要1.8米彩线，这些彩线最多可以做（    ）个作品。 A．16 B．16.6 C．17 D．16.7 3．下面说法正确的有（    ）句。 ①一个数除以0.62的商一定大于这个数。   ②3.2＋4.8×12.5＝100 ③1.06×1.6的积保留两位小数是1.70。 ④计算3.25÷0.5，如果去掉被除数和除数的小数点再计算，商将扩大到原来的10倍。 A．0 B．1 C．2 D．3 4．豆豆的妈妈要将2.6kg 香油分装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶能装0.4kg，需要准备几个玻璃瓶？下面是豆豆列的竖式，竖式中框内的两个数表示的是（    ）。 A．已经装了2.4kg，还剩2kg B．已经装了24kg，还剩0.2kg C．已经装了2.4kg，还剩0.2kg D．已经装了24kg，还剩2kg 5．成成在计算35.2除以一个数时，不小心把除数的小数点向右移了一位，结果得1.1，正确的除数是（    ）。 A．32 B．3.2 C．0.32 D．0.032 6．在0.666…，0.999…，8.1515，，9.306这五个数中，有限小数有( )，循环小数有( )。 7．一辆新能源车耗电80千瓦时可行驶500km。照这样计算，这种新能源车耗电1千瓦时可行驶( )km，行驶1km要耗电( )千瓦时。 8．毛泽东的诗词《卜算子·咏梅》中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。一丈是现在的3.333…米，这个循环小数简写成( )，保留两位小数是( )。 9．用一根长24米的绳子做跳绳，每个跳绳要用2.2米长的绳子，这根绳子最多可以做( )根跳绳。 10．一列高速列车平均每小时大约行驶220km，一辆小汽车平均每小时大约行驶120km。这列高速列车的速度大约是这辆小汽车速度的( )倍。（得数保留一位小数） 11．《黄河大合唱》是冼星海最重要的也是影响力最大的一部大型合唱声乐套曲。该曲以黄河为背景，塑造了中华民族巨人般的英雄形象。如果练习一次需要用0.75小时，5小时最多能练习( )次。 12．剪纸是中国最古老的民间艺术之一。张阿姨0.2小时剪了4张窗花，平均剪一张窗花需要( )小时，平均每小时剪( )张窗花。 13．循环小数7.03737…的循环节是( )，这个小数写成简便形式是( )，小数点后第40位上的数字是( )。 14．直接写得数。 7.2÷0.8＝         2.5×0.2＝        3÷0.5＝        0.69÷6.9＝        7÷14＝ 8.1－3.8＝        5.5＋1.25＝        8×1.2＝        0.9×0.8＝        3.2÷0.1＝ 15．列竖式计算。 7.28×1.3＝                0.085×3.4＝ 3.24÷2.4＝（验算）        9.76÷2.2≈（保留两位小数） 16．脱式计算。（能简算的要简算） 39÷0.4÷2.5             76.8×99＋76.8             11.2＋12.6÷0.28 1.25×0.69×8           37.8×27－7.8×27       15.8＋4.2×1.3 17．王明从家骑车30分钟能到达太原动物园，如果他骑车的速度是198米/分，王明家离太原动物园大约有多少千米？ 18．为更好地落实“阳光体育”倡导的“每天锻炼一小时”，阳光小学买来一捆52米的绳子为同学们做跳绳。先做了8根长跳绳，每根长5.45米，剩下的绳子全部做短跳绳，每根短跳绳长1.4米，可以做多少根短跳绳？ 19．刘阿姨制作了3.8千克的葡萄果酱，现在要把它分装在小瓶子里，每个小瓶子里装0.5千克，至少要准备多少个小瓶子才能把这些葡萄果酱全部装完？ 20．“莫比乌斯环”的发现是数学史上的重要里程碑，也展示了自然界中隐藏的对称美和简洁美。课后同学们将1.7米长的纸带每8cm裁成一段，做成莫比乌斯环，这条纸带最多可以做成多少个莫比乌斯环？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03：小数除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：小数除以整数 2 知识点二：一个数除以小数 2 知识点三：商的近似数 3 知识点四：循环小数 3 知识点五：用计算器探索规律 3 知识点六：解决问题 3 知识点七：易错点与培优技巧 4 易错点练习 4 易错点一：除数是整数的小数除法 4 易错点二：除数是整数的小数除法的应用 6 易错点三：与小数点移动相关的和倍差问题 7 易错点四：除数是小数的小数除法 9 易错点五：除数是小数的小数除法的应用 10 易错点六：被除数和商的大小关系（小数除法） 12 易错点七：小数的连除运算 14 易错点八：小数除法相关的简便计算 15 易错点九：用“四舍五入”法求商的近似数 20 易错点十：判定被除数的最大值和最小值 22 易错点十一：循环小数的认识和简写 23 易错点十二：有限小数和无限小数的认识 25 易错点十三：循环小数比大小 27 易错点十四：循环小数和周期性规律综合问题 29 易错点十五：用计算器探究规律 31 易错点十六：用“进一法”解决问题 35 易错点十七：用“去尾法”解决问题 36 易错点十八：错中求解问题（小数除法） 37 易错点十九：利用小数四则混合运算解决问题 38 易错点二十：分段计费问题（小数除法） 40 拔尖训练 44 知识梳理 知识点一：小数除以整数 意义：小数除法的意义与整数除法相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 计算方法： 1.按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐 2.整数部分不够除，商0，点上小数点继续除 3.如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添0，再继续除 示例：22.4÷4=5.6 计算过程：先算22÷4=5，商的小数点与被除数小数点对齐，点上小数点；再算4÷4=1，结果为5.6 知识点二：一个数除以小数 计算方法： 1.一看：看除数有几位小数 2.二移：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足） 3.三算：按除数是整数的小数除法进行计算 步骤示例：计算12.6÷0.28 ① 除数0.28有两位小数，向右移动两位变成28 ② 被除数12.6的小数点向右移动两位，位数不够补一个0变成1260 ③ 计算1260÷28=45，结果为45 知识点三：商的近似数 意义：根据实际需要，用"四舍五入"法保留一定的小数位数。 方法步骤： 1.计算时要比需要保留的小数位数多除出一位 2.按照"四舍五入"法取商的近似数 3.近似数末尾的0不能去掉（表示精确度） 示例：2.5÷0.4≈6.3（保留一位小数） 计算到小数点后第二位：2.5÷0.4=6.25，百分位是5，向十分位进1，得6.3 知识点四：循环小数 意义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 表示方法： 1.用循环节表示：只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点 2.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的小数（如：5.） 3.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的小数（如：7.1） 示例：3.333...写作3.，0.142857142857...写作0.4285 知识点五：用计算器探索规律 方法步骤： 1.用计算器计算出前几个算式的结果 2.观察商的特点，寻找数字排列规律 3.根据发现的规律直接写出后面算式的结果 规律示例： 1÷11=0.0909... 2÷11=0.1818... 3÷11=0.2727... 规律：商的循环节为被除数的9倍（1×9=09，2×9=18，3×9=27） 知识点六：解决问题 常见类型： 1.进一法：解决需要准备多少个容器、多少辆车等问题（如：装油需要几个瓶子） 2.去尾法：解决能做多少件物品、能买多少东西等问题（如：用布做衣服） 3.归一问题：先求单一量，再求总量或数量 4.归总问题：先求总量，再求单一量或数量 解题步骤： 1.分析题意，确定数量关系 2.选择合适的计算方法（进一法/去尾法） 3.列式计算，注意单位统一 4.检验结果是否符合实际意义 示例：2.5kg油，每个瓶子装0.4kg，需要准备几个瓶子？ 2.5÷0.4=6.25，采用进一法，需要7个瓶子 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.小数点位置错误：商的小数点未与被除数小数点对齐 2.除到末尾有余数：忘记在余数末尾添0继续除 3.商的近似数：未除到需要保留的下一位就取近似值 4.循环小数表示：漏写循环点或多写循环点 培优技巧： 1.转化法：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法 2.对比法：比较小数除法与整数除法的异同点，加深理解 3.规律总结： 除数＞1，商＜被除数（如：5.6÷1.4=4＜5.6） 除数＜1（0除外），商＞被除数（如：5.6÷0.8=7＞5.6） 除数=1，商=被除数（如：5.6÷1=5.6） 估算检验法：估算商的大致范围，检验计算结果是否合理 易错点练习 易错点一：除数是整数的小数除法 例题：一块正方形木板的周长是3.2米，它的边长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 0.8/ 0.64/ 【分析】正方形的周长＝边长×4，边长＝正方形的周长÷4，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算。 【详解】3.2÷4＝0.8（米） 0.8×0.8＝0.64（平方米） 一块正方形木板的周长是3.2米，它的边长是0.8米，面积是0.64平方米。 【变式训练1】请根据图意填空，这个竖式解决的问题是 ，虚线框中的32表示( )个( )。 【答案】 每瓶橙汁多少元 32 0.1 【分析】图中显示4瓶橙汁共39.20元，竖式是39.2÷4，根据“单价＝总价÷数量”，因此解决的问题是：每瓶橙汁多少元。在除法竖式中，39.2除以4，虚线框中的32，是4×8＝32，这里的8在十分位上，表示8个0.1，因此32表示32个0.1。 【详解】39.2÷4，解决的问题是：每瓶橙汁多少元。 虚线框中的32，是4×8＝32，这里的8在十分位上，表示8个0.1，32表示32个0.1。 竖式解决的问题是每瓶橙汁多少元，虚线框中的32表示32个0.1。 【变式训练2】小强20分钟做80道计算题，他平均每分钟做( )道题，平均每道题用( )分钟。 【答案】 4 0.25 【分析】要解决这道题，需明确“平均每分钟做题数”是用总题数除以总时间，“平均每道题用时”是用总时间除以总题数，通过这两个数量关系来计算。 【详解】总题数是80道，总时间是20分钟，根据“平均每分钟做题数＝总题数÷总时间”，可得80÷20＝4（道），所以平均每分钟做4道题。 根据“平均每道题用时＝总时间÷总题数”，可得20÷80＝0.25（分钟），所以平均每道题用0.25分钟。 【变式训练3】剪纸是中国最古老的民间艺术之一。张阿姨1.6小时可以剪40个窗花，平均每小时剪( )个窗花，平均剪一个窗花需要( )小时。 【答案】 25 0.04/ 【分析】要求平均每小时剪多少个窗花，应用总窗花数除以总时间；要求平均剪一个窗花需要多少小时，应用总时间除以总窗花数。根据题干，总窗花数为40个，总时间为1.6小时，直接计算即可。 【详解】平均每小时剪窗花的个数：40 ÷ 1.6 ＝ 25（个） 平均剪一个窗花需要的时间：1.6 ÷ 40 ＝ 0.04（小时） 剪纸是中国最古老的民间艺术之一。张阿姨1.6小时可以剪40个窗花，平均每小时剪25个窗花，平均剪一个窗花需要0.04小时。 易错点二：除数是整数的小数除法的应用 例题：中国空间站天和核心舱在海南文昌发射升空，天和核心舱5秒可以飞行38.4千米，它平均每秒可以飞行多少千米？ 【答案】 7.68千米 【分析】根据“速度＝路程÷时间”用38.4除以5即可计算平均每秒可以飞行的路程。 【详解】38.4÷5＝7.68（千米） 答：平均每秒可以飞行7.68千米。 【变式训练1】在一个星期里，瑞华化肥厂前三天共生产化肥0.45万吨，后四天共生产化肥0.81万吨。这个星期平均每天生产化肥多少万吨？ 【答案】0.18万吨 【分析】根据题意，先用前三天生产的化肥吨数加上后四天生产的化肥吨数，求出7天共生产化肥的总吨数，再除以7，即是这个星期平均每天生产的化肥吨数。 【详解】0.45＋0.81＝1.26（万吨） 1.26÷7＝0.18（万吨） 答：这个星期平均每天生产化肥0.18万吨。 【变式训练2】有5根同样长的细绳，如果把每条细绳都剪去15.3cm，那么剩下的细绳的长度相当于原来2条细绳的长度。原来每条细绳的长度是多少cm？ 【答案】25.5厘米 【分析】根据题意可知，5根同样长的绳子，把每条细绳都剪去15.3cm，那么剩下的细绳的长度相当于原来2条细绳的长度。可知共剪去的长度相当于原来3根绳子的长度，据此用除法可求出每条细绳的长度。 【详解】 （厘米） 答：原来每条细绳的长度是25.5厘米。 【变式训练3】某公司在电视台黄金档插播一条30秒的广告，宣传自己的产品。每天播出2次，连播两周共付人民币35.7万元，平均每秒多少元？ 【答案】425元 【分析】由于每天播出2次，两周是14天，一共播出14×2＝28（次），由于每次播30秒的广告，用播的次数乘每条广告的时间，即可求出两周一共播了多少秒，即28×30＝840（秒），再用支付的总金额除以总的秒数即可求出每秒多少元，要注意把万元转换成元，小数点向右移动4位。 【详解】2×14×30＝840（秒） 35.7÷840＝0.0425（万元） 0.0425万元＝425元 答：平均每秒425元。 易错点三：与小数点移动相关的和倍差问题 例题：甲、乙两数的和是14.3，如果甲数的小数点向左移动一位，就与乙数相等，那么甲数是( )，乙数是( )。 【答案】 13 1.3 【分析】甲数的小数点向左移动一位，就与乙数相等，即甲数缩小为原来的，所以甲数÷10＝乙数，则甲数是10个乙数，因为甲、乙两数的和是14.3，即10＋1＝11个乙数相加的和是14.3，所以乙数为14.3÷11＝1.3，那么甲数就是1.3×10＝13。 【详解】甲数÷10＝乙数，所以甲数是10个乙数。 10＋1＝11，即11个乙数相加是14.3。 乙数：14.3÷11＝1.3 甲数：1.3×10＝13 甲数是13，乙数是1.3。 【变式训练1】把一个小数的小数点向右移动一位后，得到的数比原来大13.5，原来的数是( )。 【答案】1.5 【分析】把一个小数的小数点向右移动一位后所得的数是原来的10倍，由题意可知得到的新数比原来大13.5，也就是原数的（10－1）倍是13.5，求原来的数用除法列式计算即可。 【详解】13.5÷（10－1） ＝13.5÷9 ＝1.5 把一个小数的小数点向右移动一位后，得到的数比原来大13.5，原来的数是1.5。 【变式训练2】把一个小数的小数点向右移动一位，得到一个新数，新数与原数相差44.55，原数是( )。 【答案】4.95 【分析】把一个数的小数点右移一位，即这个小数扩大到原来的10倍；将原来的数看做1份，现在的数是10份，相差10－1＝9份，相差了44.55；用44.55除以9即可求得1份的量，即原数；据此解答。 【详解】44.55÷（10－1） ＝44.55÷9 ＝4.95 即原数是4.95。 【变式训练3】一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了2.07，这个小数是( )。 【答案】0.23 【分析】小数点向右移动一位，扩大到原数的10倍，比原来增加了（10－1）倍，根据差倍问题的解题方法，比原来增加的数÷增加的倍数＝原数，据此列式计算。 【详解】2.07÷（10－1） ＝2.07÷9 ＝0.23 这个小数是0.23。 易错点四：除数是小数的小数除法 例题：直接写得数。 0.48÷0.6＝          5×0.5＝         10÷0.1＝         0.8÷2＝ 63÷0.7＝           75×0.1＝         3÷0.5＝         9÷2＝ 【答案】0.8；2.5；100；0.4； 90；7.5；6；4.5 【解析】略 【变式训练1】直接写出得数。 2.4÷0.3＝    5÷0.02＝    0.5×0.9＝    0.84÷4＝ 1.1×0.7＝    1.6÷8＝    3.3×3＝    1.2×0.2＝ 【答案】8；250；0.45；0.21； 0.77；0.2；9.9；0.24 【解析】略 【变式训练2】竖式计算，带*的要验算。 114÷9.5＝         *1.89÷0.54＝         2.05×1.5＝ 【答案】12；3.5；3.075 【分析】（1）根据小数除法的运算法则，把除数9.5扩大到原来的10倍变成95，同时被除数114也要扩大到原来的10倍变为1140，转化成整数除法1140÷95。通过竖式计算，得出商。 （2）除数为小数的除法。把除数0.54扩大到原来的100倍变为54，被除数1.89也扩大到原来的100倍变成189，转化为189÷54进行计算。利用“被除数＝商×除数”的关系来验算，得数与原式中的被除数相等，说明计算正确。 （3）按照小数乘法的计算方法，先将2.05和1.5都看作整数，即205和15相乘得到积。然后看两个因数中一共有三位小数（2.05有两位小数，1.5有一位小数，总共三位），就从积的右边起数出三位，点上小数点。 【详解】114÷9.5＝12                1.89÷0.54＝3.5                                     2.05×1.5＝3.075        验算：          【变式训练3】竖式计算（带※的要验算）。 38×0.95＝                     ※2.6÷0.25＝ 5.52÷2.3＝                      2.35×0.12≈     （结果保留两位小数） 【答案】36.1；10.4； 2.4；0.28 【分析】计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉，结果保留两位小数时，观察小数点后面第三位数，满5向前一位进一，不满5直接舍去； 计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，最后根据“被除数＝商×除数”进行验算，据此解答。 【详解】38×0.95＝36.1                     ※2.6÷0.25＝10.4                      验算： 5.52÷2.3＝2.4                      2.35×0.12≈0.28（结果保留两位小数）                        易错点五：除数是小数的小数除法的应用 例题：甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，经过2.4小时相遇。已知甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶多少千米？ 【答案】72千米 【分析】已知总路程为360千米，相遇时间为2.4小时，根据“速度和＝路程和÷相遇时间”即可求出甲、乙两车的速度和；又已知甲车每小时行驶78千米，然后用速度和减去甲车的速度即可求出乙车的速度。 【详解】360÷2.4－78 ＝150－78 ＝72（千米） 答：乙车每小时行驶72千米。 【变式训练1】某智能农场有一块需要灌溉的蔬菜地，其面积是54平方米，农场的自动灌溉机器人用了0.6小时就完成了这块蔬菜地的全部灌溉任务。若农场要求灌溉机器人每小时灌溉面积超过85平方米，请通过计算说明该灌溉机器人是否达到了农场的要求。 【答案】达到了要求 【分析】总面积÷用的时间＝每小时灌溉面积，据此求出这台自动灌溉机器人每小时灌溉面积，与农场要求的面积比较即可。 【详解】54÷0.6＝90（平方米） 90＞85 答：该灌溉机器人达到了农场的要求。 【变式训练2】某工程队修一条公路，原计划每天修0.6千米，25天刚好可以修完。实际每天比计划多修0.15千米，实际比计划可以提前多少天完成任务？ 【答案】5天 【分析】已知原计划每天修0.6千米，25天修完，用原计划每天修的长度乘修的天数，求出这条公路的全长； 实际每天比计划多修0.15千米，用原计划每天修的长度加上0.15，求出实际每天修的长度； 用这条公路的全长除以实际每天修的长度，求出实际修的天数；再用原计划修的天数减去实际修的天数，求出实际比计划提前完成的天数。 【详解】0.6×25＝15（千米） 15÷（0.6＋0.15） ＝15÷0.75 ＝20（天）     25－20＝5（天） 答：实际比计划可以提前5天完成任务. 【变式训练3】一支碎冰蓝洋桔梗0.95元，一支卡罗拉红玫瑰1.5元，一支白色郁金香的价格是一支卡罗拉红玫瑰的2.6倍。一位顾客花了31元买了6支白色郁金香和一些碎冰蓝洋桔梗，顾客买了几支碎冰蓝洋桔梗？ 【答案】8支 【分析】要确定碎冰蓝洋桔梗的数量，需先算出购买白色郁金香的花费，再用总花费减去该花费得到购买碎冰蓝洋桔梗的钱，最后除以其单价即可求出数量。 【详解】计算一支白色郁金香的价格：（元）； 计算6支白色郁金香的总价：（元）； 计算购买碎冰蓝洋桔梗的费用：（元）； 计算碎冰蓝洋桔梗的数量：（支）。 答：顾客买了8支碎冰蓝洋桔梗。 易错点六：被除数和商的大小关系（小数除法） 例题：在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.26×1.1( )1.26   4.2÷0.25( )4.2×4 0.85×1.01( )0.85÷1.01    3.5( )3.5÷0.7 【答案】 ＞ ＝ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原数；一个数（0除外）除以小于1且不为0的数，商大于原数，除以大于1的数，商小于原数。 【详解】1.1＞1，所以1.26×1.1＞1.26； 4.2÷0.25＝16.8，4.2×4＝16.8，所以4.2÷0.25＝4.2×4； 1.01＞1，0.85×1.01＞0.85，0.85÷1.01＜0.85，所以0.85×1.01＞0.85÷1.01； 0.7＜1，所以3.5＜3.5÷0.7。 【变式训练1】在下面的（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.5÷6.2( )1         16.8÷0.94( )16.8         9.17÷0.9( )9.17×1        12.6×0.1( )12.6÷10 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外）除以大于自身的数，结果小于1；一个数（0除外）除以小于1且不为0的数，商大于原数；一个数乘1，积等于原数；一个数乘0.1相当于这个数除以10。 【详解】3.5＜6.2，所以3.5÷6.2＜1； 0.94＜1，所以16.8÷0.94＞16.8； 0.9＜1，9.17÷0.9＞9.17，9.17×1＝9.17，所以9.17÷0.9＞9.17×1； 一个数乘0.1等于这个数除以10，所以12.6×0.1＝12.6÷10。 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4.35×1.02( )1.02           3.98÷0.85( )3.98 0.567÷0.01( )0.567×100    8.04×7.5( )80.4×0.75 【答案】 ＞ ＞ ＝ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数； 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数； 分别计算出0.567÷0.01和0.567×100的结果，再比较大小； 根据积不变的规律，一个乘数乘几（0除外），另一个乘数除以相同的数，积不变。 【详解】因为4.35＞1，所以4.35×1.02＞1.02； 因为0.85＜1，所以3.98÷0.85＞3.98； 0.567÷0.01＝56.7，0.567×100＝56.7，所以0.567÷0.01＝0.567×100； 8.04变为80.4相当于乘10，7.5变为0.75相当于除以10，积不变，所以8.04×7.5＝80.4×0.75。 【变式训练3】不计算，在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.18÷0.98( )5.18     0.9×1.08( )1.08      3.8×4( )3.8÷0.25 8.9×1.8( )8.9        2.1÷1.02( )2.1       2.4×1.2( )2.4÷1.2 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ 【分析】（1）被除数大于0时，被除数除以小于1的数，所得结果一定大于原来这个数； （2）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （3）利用商不变的规律，3.8÷0.25中被除数和除数同时乘4； （4）一个大于0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （5）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数； （6）先比较括号两边算式与2.4的大小关系，再比较括号两边算式的大小关系，据此解答。 【详解】（1）因为0.98＜1，所以5.18÷0.98＞5.18； （2）0.9×1.08＝1.08×0.9，因为0.9＜1，所以1.08×0.9＜1.08，即0.9×1.08＜1.08； （3）3.8÷0.25＝（3.8×4）÷（0.25×4）＝3.8×4÷1＝3.8×4； （4）因为1.8＞1，所以8.9×1.8＞8.9； （5）因为1.02＞1，所以2.1÷1.02＜2.1； （6）因为1.2＞1，所以2.4×1.2＞2.4，2.4÷1.2＜2.4，即2.4×1.2＞2.4÷1.2。 综上所述，5.18÷0.98＞5.18，0.9×1.08＜1.08，3.8×4＝3.8÷0.25，8.9×1.8＞8.9，2.1÷1.02＜2.1，2.4×1.2＞2.4÷1.2。 易错点七：小数的连除运算 例题：晨光面粉厂用磨面机加工面粉，4台磨面机2.5小时可磨面粉32.5吨。照这样计算，一台磨面机每小时可以磨面多少吨？ 【答案】3.25吨 【分析】磨的面粉吨数÷4＝一台磨面机2.5小时磨面吨数，一台磨面机2.5小时磨面吨数÷2.5＝一台磨面机每小时吨数，据此列式解答。 【详解】32.5÷4÷2.5 ＝32.5÷（4×2.5） ＝32.5÷10 ＝3.25（吨） 答：一台磨面机每小时可以磨面3.25吨。 【变式训练1】希望农场用插秧机插秧，2台插秧机工作7.5小时可以插秧21.75公顷。照这样计算，一台插秧机每小时插秧多少公顷？ 【答案】1.45公顷 【分析】先算2台插秧机每小时可以插秧多少公顷，把21.75平均分成7.5份，求每份是多少，用除法计算；再除以2算出一台插秧机每小时插秧多少公顷。 【详解】21.75÷7.5÷2＝1.45（公顷） 答：一台插秧机每小时插秧1.45公顷。 【变式训练2】金色小区10月份共产生45.36吨垃圾，要想把这些垃圾全部运走需要3辆垃圾车同时工作4.2天，那么每辆垃圾车每天可以运走多少吨垃圾？ 【答案】3.6吨 【分析】已知45.36吨垃圾需要3辆垃圾车同时工作4.2天，用垃圾的总吨数除以3，求出1辆垃圾车工作4.2天运走垃圾的吨数，再除以4.2，即是每辆垃圾车每天可以运走垃圾的吨数。 【详解】45.36÷3÷4.2 ＝15.12÷4.2 ＝3.6（吨） 答：每辆垃圾车每天可以运走3.6吨垃圾。 【变式训练3】3名工人4.5小时生产81个机器零件。照这样计算，1名工人1小时能生产多少个这样的零件？ 【答案】6个 【分析】根据除法的意义，用81除以4.5即可求出3名工人1小时能生产零件的个数，再除以3即可求出1名工人1小时能生产多少个这样的零件。 【详解】81÷4.5÷3 ＝18÷3 ＝6（个） 答：1名工人1小时能生产6个这样的零件。 易错点八：小数除法相关的简便计算 例题：脱式计算，能简算的要简算。 7.2÷0.25÷0.4    67.5×1.01－67.5 9.8×10.1    4.95－14.82÷7.6 【答案】72；0.675 98.98；3 【分析】7.2÷0.25÷0.4，利用除法的性质进行计算。 67.5×1.01－67.5，把最后一个67.5看作“67.5×1”，然后利用乘法分配律逆运算进行计算。 9.8×10.1，把10.1拆分成（10＋0.1），然后利用乘法分配律进行计算。 4.95－14.82÷7.6，先算除法，再算减法。 【详解】7.2÷0.25÷0.4 ＝7.2÷（0.25×0.4） ＝7.2÷0.1 ＝72 67.5×1.01－67.5 ＝67.5×1.01－67.5×1 ＝67.5×（1.01－1） ＝67.5×0.01 ＝0.675 9.8×10.1 ＝9.8×（10＋0.1） ＝9.8×10＋9.8×0.1 ＝98＋0.98 ＝98.98 4.95－14.82÷7.6 ＝4.95－1.95 ＝3 【变式训练1】计算，能简算的要简算。 3.86＋1.09÷0.5                   98.5÷（2.5×9.85）                    0.54÷[（6.1－3.6）×0.8] 2.5×1.47×0.4                   （8.3－3.5×0.4）÷0.01                   8.34×14.6－4.6×8.34 【答案】6.04；4；0.27； 1.47；690；83.4 【分析】（1）小数四则混合运算：先算除法再算加法； （2）观察发现是的整数倍，括号前面又是除号，所以去掉括号变成，然后带符号搬家，先算从而进行简便； （3）小数四则混合运算：先算小括号，再算中括号，最后算除法； （4）观察发现和能凑整，所以用乘法交换律先算，然后再用乘积继续乘； （5）小括号里面乘减混合时，先算乘法，再算减法，最后再算括号外面的除法； （6）乘法分配律的逆运算：两边同时提取，变形成乘减去的差。 【详解】 【变式训练2】计算下面各题，能简算的要用简算，并写出必要的简算过程。 （1）2.42×1.5－3.8÷1.9            （2）34.12÷8÷1.25             （3）53.6＋9.1÷（3.2－2.95） （4）1.84×（0.5＋1.28÷0.16）          （5）[（24.17－18.5）×9]÷0.81            （6）6.92÷[（4.7＋2.22）×0.5] 【答案】（1）1.63；（2）3.412；（3）90； （4）15.64；（5）63；（6）2 【分析】（1）2.42×1.5－3.8÷1.9先计算乘法和除法，再计算减法即可； （2）34.12÷8÷1.25 通过添加小括号先计算8与1.25的乘积，再计算除法即可； （3）53.6＋9.1÷（3.2－2.95）先计算小括号内减法，再计算除法，最后计算加法即可； （4）1.84×（0.5＋1.28÷0.16）先计算小括号内的除法再计算加法，最后计算括号外乘法； （5）[（24.17－18.5）×9]÷0.81先计算小括号内的减法，再计算中括号的乘法，最后计算括号外的除法即可； （6）6.92÷[（4.7＋2.22）×0.5] 先计算小括号内的加法，再计算中括号的乘法，最后计算括号外的除法即可。 【详解】（1）2.42×1.5－3.8÷1.9 ＝3.63－2 ＝1.63 （2）34.12÷8÷1.25 ＝34.12÷（8×1.25） ＝34.12÷10 ＝3.412 （3）53.6＋9.1÷（3.2－2.95） ＝53.6＋9.1÷0.25 ＝53.6＋36.4 ＝90 （4）1.84×（0.5＋1.28÷0.16） ＝1.84×（0.5＋8） ＝1.84×8.5 ＝15.64 （5）[（24.17－18.5）×9]÷0.81 ＝[5.67×9]÷0.81 ＝51.03÷0.81 ＝63 （6）6.92÷[（4.7＋2.22）×0.5] ＝6.92÷[6.92×0.5] ＝6.92÷3.46 ＝2 【变式训练3】计算下面各题。（能简算的要简算）                                          【答案】15.6；72.72；13 2.8；1.3；26.1 【分析】（1）先交换“×3.9”和“÷0.35”的位置，把1.4×3.9÷0.35变成1.4÷0.35×3.9进行简算； （2）先把10.1拆成10＋0.1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把7.2×（10＋0.1）变成7.2×10＋7.2×0.1进行简算； （3）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把3.14×2.6＋1.86×2.6变成（3.14＋1.86）×2.6进行简算； （4）从左往右依次计算； （5）根据乘法交换律a×b＝b×a把0.8×1.3×1.25变成0.8×1.25×1.3进行简算； （6）把原式变为16.8÷0.7＋1.47÷0.7进行简算。 【详解】1.4×3.9÷0.35 ＝1.4÷0.35×3.9 ＝4×3.9 ＝15.6 7.2×10.1 ＝7.2×（10＋0.1） ＝7.2×10＋7.2×0.1 ＝72＋0.72 ＝72.72 3.14×2.6＋1.86×2.6 ＝（3.14＋1.86）×2.6 ＝5×2.6 ＝13 0.175÷0.25×4 ＝0.7×4 ＝2.8 0.8×1.3×1.25 ＝0.8×1.25×1.3 ＝1×1.3 ＝1.3 （16.8＋1.47）÷0.7 ＝16.8÷0.7＋1.47÷0.7 ＝24＋2.1 ＝26.1 易错点九：用“四舍五入”法求商的近似数 例题：已知205.8÷□（□是一位数）的商接近30，但比30小，那么□里应该填( )。 【答案】7 【分析】已知被除数是205.8，除数是一位数，商接近30，但比30小，先把商看作30，再根据“除数＝被除数÷商”，求出除数的大致范围，再验证是否符合条件。 【详解】205.8÷30＝6.86≈7 验证：205.8÷7＝29.4，商29.4接近30，且比30小，符合题意。 那么□里应该填7。 【变式训练1】列竖式计算。                                    （得数保留两位小数） 【答案】25；0.702； 5.58；0.51 【分析】小数乘法法则：按整数乘法的法则先求出积，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 除数是小数的除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 得数保留两位小数，就是根据“四舍五入”法，看小数的千分位上的数字，若千分位上的数字大于5，则向百分位进1；若千分位上数字小于5，则舍去千分位及后面的所有数字。 【详解】25                 0.702                    5.58                 0.51                    【变式训练2】城南教育集团举行“诗韵城南”诗词活动，同学们纷纷踊跃报名参加。初选进入决赛的共有55人。为了帮助同学们深入品读经典、提升诗词储备，学校出资500元到书店给每位进入决赛的同学购买了一本《唐诗•宋词•元曲》。付款后，找回了44元。这种书每本多少元？（保留一位小数） 【答案】8.3元 【分析】学校出资总钱数减去找回的钱数，可以算出买《唐诗•宋词•元曲》共用了多少钱。买《唐诗•宋词•元曲》用去的钱数除以买的本数，即可算出这种书每本多少元。注意商保留一位小数，要除到商的百分位，把百分位上的数四舍五入。 【详解】（500－44）÷55 ＝456÷55 ≈8.3（元） 答：这种书每本8.3元。 【变式训练3】《中国居民膳食指南（2022）》提倡日常少油少盐，养成清淡饮食的习惯，建议成年人每日摄入烹调油克，食盐克。李阿姨家有3口人（都是成年人），刚开封一袋400克的食盐，如果按照每人每天摄入食盐4.5克计算，这袋盐大约够李阿姨一家三口吃多少天？（得数保留整数） 【答案】30天 【分析】每人每天摄入食盐量乘李阿姨家的人数，可以算出李阿姨家三人一天摄入食盐（4.5×3）克。这袋食盐质量除以李阿姨家每天摄入食盐量，即可算出这袋盐大约够李阿姨一家三口吃多少天。得数保留整数时要除到商的十分位，把商的十分位上的数字四舍五入。 【详解】4.5×3＝13.5（克） 400÷13.5≈30（天） 答：这袋盐大约够李阿姨一家三口吃30天。 易错点十：判定被除数的最大值和最小值 例题：□÷1.2＝△，其中△是一个两位小数，用“四舍五入法”保留一位小数是3.0，□最大是( )，最小是( )。 【答案】 3.648 3.54 【分析】因为△是一个两位小数，用“四舍五入法”保留一位小数是3.0。“四舍”得到3.0时，△最大为3.04。“五入”得到3.0时，△最小为2.95。根据被除数＝商×除数，已知除数是1.2。当△最大为3.04时，□最大为3.04×1.2＝3.648。当△最小为2.95时，□最小为2.95×1.2＝3.54。 【详解】△最大为3.04，最小为2.95。 3.04×1.2＝3.648 2.95×1.2＝3.54 □最大是3.648，最小是3.54。 【变式训练1】李老师写了7个自然数让同学们算平均数，要求得数保留两位小数，青青的结果是26.54，李老师说她最后一个数字错了。你知道正确的结果是多少吗？ 【答案】26.57 【分析】根据题意可知，该两位小数应大于26.5而小于26.6，7个自然数的和＝平均数×7。26.5×7＝185.5，26.6×7＝186.2，这7个自然数的和的范围在：185.5到186.2范围，又因为7个自然数的和必然也是一个自然数，所以这7个自然数的和只能是186了。 186÷7≈26.57，正确的结果是26.57。 【详解】26.5×7＝185.5 26.6×7＝186.2 186÷7≈26.57 答：正确的结果是26.57。 【变式训练2】一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，被除数最大是( )。 【答案】5.832 【分析】被除数＝商×除数，当除数一定，商越大则被除数就越大；商保留一位小数是3.2，商最大应该是在末尾添“4”，再将商和除数代入式子计算即可。 【详解】商最大为：3.24 3.24×1.8＝5.832 被除数最大为5.832。 【点睛】此题涉及到小数乘法的计算，利用近似数求出原数的最大值是解题的关键。 【变式训练3】一个数除以4.7的商是三位小数，商保留两位小数后约是2.13。这个数最大是多少？最小呢？ 【答案】最大是：10.0298；最小是：9.9875 【分析】由于商保留两位小数后约是2.13，四舍法求出来的商是最大的，也就是被除数是最大的，即2.134，五入法求出的商是最小的，即2.125，所以被除数也是最小的，根据公式：被除数＝除数×商，把数代入公式即可求出这个数最大是多少，最小是多少。 【详解】由分析可知：当商是2.134的时候，这个数最大。 4.7×2.134＝10.0298 4.7×2.125＝9.9875 答：这个数最大是10.0298；最小是9.9875。 【点睛】本题主要考查小数的近似数以及小数乘法的计算方法，熟练掌握它的计算方法并灵活运用。 易错点十一：循环小数的认识和简写 例题：在一个小数里，小数部分有相同的数字出现，这个小数就一定是循环小数。( ) 【答案】× 【详解】循环小数是指小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的无限小数。例如，有限小数0.33虽然小数部分有相同的数字3，但它是有限小数，并非循环小数。因此，小数部分有相同数字出现的小数不一定是循环小数。 【分析】根据循环小数的定义，循环小数必须是无限小数，并且小数部分从某一位起有一个或几个数字依次不断重复出现。题目中仅提到小数部分有相同数字出现，未说明是否无限重复，因此不能确定该小数一定是循环小数。 故答案为：× 【变式训练1】写出下面各循环小数的近似数（保留三位小数）。 5.920920…≈( )    ≈( ) 【答案】 5.921 0.495 【分析】保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位，利用“四舍五入”法进行解答即可。 【详解】5.920920…万分位上是9，所以5.920920…≈5.921； ＝0.495495…，万分位上是4，所以≈0.495。 【变式训练2】（如图）乐乐正在计算一道除法竖式题，这道题的计算结果是（    ）。 A．4.45 B． C． D．4.454 【答案】B 【分析】观察这个竖式可以发现，乐乐计算的最后余数是“5”，继续除下去，千分位上商4，再继续除下去，商5……，商的小数部分“45”依次重复出现，则这个计算结果是一个循环小数。循环小数的简便写法是找出循环节，在循环节的头尾点上循环点。据此解答。 【详解】通过分析和计算可知，这道题的计算结果是循环小数，是。 故答案为：B 【变式训练3】诸暨东白湖镇年产香榧青果3000万斤，加工成干果后约400万斤，平均每斤青果能加工成( )斤干果，这个数用循环小数简便记法表示是( )，保留两位小数是( )。 【答案】 0.1333…/ 0.13 【分析】已知香榧青果3000万斤加工成干果后约400万斤，同时去掉“万”字，相当于香榧青果3000斤加工成干果后约400斤，用干果的质量除以香榧青果的质量，即可求出平均每斤青果能加工成多少斤干果，并用循环小数表示商。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。循环小数的简写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。 商的近似数：根据“四舍五入”求近似数的方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【详解】400÷3000＝0.1333…（斤） 0.1333…＝ 0.1333…≈0.13 平均每斤青果能加工成（0.1333…）斤干果，这个数用循环小数简便记法表示是（），保留两位小数是（0.13）。 易错点十二：有限小数和无限小数的认识 例题：47.652652…是一个( )小数，也是一个循环小数，用简便写法写作( )，它的循环节是( )，保留三位小数是( )。 【答案】 无限 652 47.653 【分析】小数47.652652…，其小数部分从第1位开始，“652”依次不断重复出现，符合“循环小数”的定义；同时它的小数部分是无限的，因此也是无限小数。循环节是小数部分依次不断重复出现的数字序列，本题中重复的数字是“652”，因此循环节是652。循环小数的简便写法是：只写出一个循环节，在循环节的首位和末位数字上面各点一个小圆点。保留三位小数需要看小数点后第4位数字，如大于等于5则向前进1，如小于5则舍去。 【详解】循环小数一定是无限小数； 47.652652…＝ 47.652652…≈47.653 47.652652…是一个无限小数，也是一个循环小数，用简便写法写作，它的循环节是652，保留三位小数是47.653。 【变式训练1】下面各数中，循环小数有（    ）个。 ①        ②        ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。循环小数是无限小数。 【详解】①，循环节是6，是循环小数； ②是有限小数，不是循环小数； ③是有限小数，不是循环小数； ④，循环节是3，是循环小数； ⑤，循环节是208，是循环小数； 综上所述，①④⑤是循环小数，有3个。 故答案为：C 【变式训练2】在2.762，7.9666…，4.52222，5.182，2.323，3.14159…中。 有限小数： 。 无限小数： 。 循环小数： 。 【答案】 2.762、4.52222、5.182、2.323 7.9666…、3.14159… 7.9666… 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数，循环小数是无限小数。 【详解】有限小数：2.762、4.52222、5.182、2.323 无限小数：7.9666…、3.14159… 循环小数：7.9666… 【变式训练3】在3.3333、7.8484…、5.909090…、4.1415926…中有( )个循环小数，有( )个无限小数，有( )个有限小数。 【答案】 2 3 1 【分析】有限小数指的是小数数位是有限的小数，无限小数指的是小数数位是无限的小数；循环小数是指从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，据此分析。 【详解】在3.3333、7.8484…、5.909090…、4.1415926…中，循环小数是：7.8484…、5.909090…，有2个；无限小数是：7.8484…、5.909090…、4.1415926…，有3个；有限小数是：3.3333，有1个。 在3.3333、7.8484…、5.909090…、4.1415926…中有2个循环小数，有3个无限小数，有1个有限小数。 易错点十三：循环小数比大小 例题：在①3.8484，②3.8484…，③3.8444…，④3.835798，⑤3.855中，有限小数有( )；循环小数有( )；最大的数是( )；最小的数是( )。（填序号） 【答案】 ①④⑤ ②③ ⑤ ④ 【分析】有限小数的小数部分的位数是有限的。一个小数从某一位起一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。小数比较大小时，先比较整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相等，再依次比较小数部分，直到比较出大小为止。 【详解】有限小数：①3.8484；④3.835798；⑤3.855。 循环小数：②3.8484…；③3.8444…。 从小到大的顺序为： 3.835798＜3.8444…＜3.8484＜3.8484…＜3.855，即④＜③＜①＜②＜⑤。 综上可知：在①3.8484，②3.8484…，③3.8444…，④3.835798，⑤3.855中，有限小数有①④⑤；循环小数有②③；最大的数是⑤，最小的数是④。 【变式训练1】在括号内填“”“”或“”。 ( )    ( )4.75   ( )3.2 ( )7.3    ( )          ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＞ ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘一个大于1的数，这个数变大；乘一个小于1的数，这个数变小；一个数（0除外）除以一个大于1的数，这个数变小，除以一个小于1的数（0除外），这个数变大；循环小数比较大小时，要将循环节展开多写几位，再根据多位小数比较大小的方法：先比较整数部分，整数部分大的则大，若整数部分相同，则比较十分位，十分位大的则大，若十分位相同，则比较百分位……以此类推，直到比较出大小为止；商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变；据此解答。 【详解】1.01＞1，则＞9.6； 0.9＜1，则＜4.75； 1.1＞1，则＜3.2； 0.62＜1，则＞7.3； ＝1.3232……，＝1.333……，1.3232……＜1.333……，则＜； 5.28×10＝52.8，0.3×10＝3，则＝。 【变式训练2】在、、、这几个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【分析】先把循环小数的简写形式写成无限小数形式，然后按照小数大小比较的方法进行比较，先看它们的整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同的，就比较十分位，十分位大的数就大，以此类推，依次往后比较百分位、千分位……从而确定最大数和最小数。 【详解】 ＜＜＜ 即＜＜＜。 所以这几个数中，最大的数是，最小的数是。 【变式训练3】在3.14、3.141414…、3.1444…、3.141414、3.1415926…这几个数中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )，最大的数( )。 【答案】 3.14；3.141414 3.141414…；3.1444…；3.1415926… 3.141414…；3.1444… 3.1444… 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 根据小数比较大小的方法： 看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。据此解答。 【详解】3.14、3.141414…、3.1444…、3.141414、3.1415926… 有限小数有：3.14、3.141414； 无限小数有：3.141414…、3.1444…、3.1415926…； 循环小数有：3.141414…、3.1444… 3.14＜3.141414＜3.141414…＜3.1415926…＜3.1444…，所以最大的数3.1444…。 所以在3.14、3.141414…、3.1444…、3.141414、3.1415926…这几个数中，有限小数是3.14、3.141414，无限小数是3.141414…、3.1444…、3.1415926…，循环小数是3.141414…、3.1444…，最大的数3.1444…。 易错点十四：循环小数和周期性规律综合问题 例题：小想在计算6.64÷3.3＝2.0121212…时，发现商是一个循环小数，它的小数部分第25位是（    ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】2.0121212…从小数点后面第2位开始循环，求它的小数部分第25位的数字就是求2.0后面第25－1＝24位数字，把一个循环节看作一组，一组里面有2个数字，24÷2＝12（组），则它的小数部分第25位数字就是循环节的最后一个数字，据此解答。 【详解】25－1＝24（位） 一个循环节里面有2个数字。 24÷2＝12（组） 因为循环节的最后一个数字是2，所以它的小数部分第25位是2。 故答案为：C 【变式训练1】的商用循环小数的简便记法表示是( )，保留两位小数约是( )，小数点后第45位上的数字是( )。 【答案】 0.91 9 【分析】计算10÷11的商，得到循环小数0.909090…，循环节是90。循环小数的简便记法是在循环节的首位和末位数字上点圆点，因此记为。保留两位小数时，看第三位小数（即千分位）是9，需要四舍五入，百分位0进1，得到0.91。小数点后第45位数字取决于循环节的周期（2位），通过计算45除以2的余数来确定对应循环节中的数字。 【详解】10÷11＝ 0.909090…，循环节是90，因此商用循环小数的简便记法表示为。 保留两位小数：0.909090…的小数部分第三位是9，9＞5，向百分位进1，百分位0变为1，故约等于0.91。 小数点后第45位上的数字：循环节90有2位，45÷2＝22……1，余数1对应循环节的第1位数字，即9。 【点睛】循环小数简便记法：找准循环节，在循环节首位和末位加圆点。 保留两位小数：看千分位“四舍五入”。 找第n位数字：用n除以循环节位数，根据余数判断（余数为0取循环节末位，余数不为0取循环节第r位数字，r为余数）。 【变式训练2】13÷7的商是一个循环小数，这个循环小数的循环节是( )，小数点后第2024位上的数字是( )。 【答案】 857142 5 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。循环节就是周期，用2024除以循环节的个数，余数是几就是循环节的第几个数。 【详解】13÷7＝1.857142857142… 2024÷6＝337……2 13÷7的商是一个循环小数，这个循环小数的循环节是857142，小数点后第2024位上的数字是5。 【变式训练3】在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 【答案】510；015 【分析】循环节的数位是三位，那么前90位有多少组这样的循环节，就用90÷3求得；再用前90位数字和180除以30，得出一组的和是6，A、B、C又是3个不同的自然数，那么会有：6＝5＋1＋0、6＝4＋2＋0、6＝3＋2＋1，6＝0＋1＋5，所以这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 【详解】循环节的个数：90÷3＝30（个） 循环节上数字的和：180÷30＝6 把6写成三个不同自然数和的形式有： 6＝5＋1＋0 6＝4＋2＋0 6＝3＋2＋1 6＝0＋1＋5 组成最大的三位数是0.510，最小的是0.015。 答：这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 易错点十五：用计算器探究规律 例题：用计算器分别算出了左边三个算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝（    ） …… （    ）÷0.9＝1234567.8 【答案】1234.5 1111111.02 【分析】观察可知，被除数的规律：被除数整数部分“1”的个数＝商的整数部分位数；十分位固定为0；被除数百分位＝10－商的小数部分数字（如商小数部分是2，百分位8；商小数部分是3，百分位7……）； 商的规律：数字依次递增（1.2、12.3、123.4……），小数部分是一位数，整数部分的位数与被除数中“1”的个数相同。据此解答。 【详解】规律：被除数整数部分“1”的个数＝商的整数部分位数；被除数十分位始终是0；被除数百分位＝10－商的小数部分数字（如商小数部分是2，百分位8；商小数部分是3，百分位7……）； 商的规律：数字依次递增（1.2、12.3、123.4……），小数部分是一位数，整数部分的位数与被除数中“1”的个数相同。 第一个空：1111.05÷0.9被除数有4个“1”，根据规律，商的整数部分是“1234”，即1234.5。 第二个空：（    ）÷0.9＝1234567.8商的整数部分是“1234567”，共7位，说明被除数有7个“1”；被除数的十分位是0；商的小数部分是“8”，说明被除数的百分位是10－8＝2。因此被除数是1111111.02。 用计算器分别算出了左边三个算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝（1234.5） …… （1111111.02）÷0.9＝1234567.8 【点睛】解题关键是细致观察被除数、除数和商的数字特征，找出它们之间的规律，再正确根据规律填空。 【变式训练1】根据你的发现，在括号里写出得数或下一道算式。 (1) ( ) … (2) ( ) … 【答案】(1)2222.7777 (2) 【分析】（1）观察前三个算式：3×9＝27；3.3×6.9＝22.77（积有2个2和2个7）；3.33×66.9＝222.777（积有3个2和3个7）。第一个因数有n个3，第二个因数整数部分有（n－1）个6，积就有n个2和n个7，且2在前面，7在后面，中间用小数点隔开。对于3.333×666.9：第一个因数有4个3，所以积有4个2和4个7，即2222.7777。 （2）观察前三个算式：88.2÷9＝9.8；88.83÷9＝9.87（被除数小数部分依次多一个8，最后一位数字依次加1；商依次多一位小数，且数字依次递增1）；88.884÷9＝9.876。被除数整数部分都是88，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次加1；除数都是9；商依次是9.8、9.87、9.876，即商的小数部分依次多一位，且数字依次递增1。被除数为88.8885，除数为9，即88.8885÷9＝9.8765。 【详解】（1）3.333×666.9：第一个因数有4个3，所以积有4个2和4个7。 3.333×666.9＝2222.7777。 （2）被除数整数部分都是88，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次加1；除数都是9；商依次是9.8、9.87、9.876，商的小数部分依次多一位，且数字依次递增1。 88.8885÷9＝9.8765。 【变式训练2】用计算器计算下面各题。 1.08÷0.9＝（ ） 11.07÷0.9＝（ ） 111.06÷0.9＝（ ） 1111.05÷0.9＝（ ） 找出规律，直接完成下面各题。 11111.04÷0.9＝（ ） 111111.03÷0.9＝（ ） 1111111.02÷0.9＝（ ） 11111111.01÷0.9＝（ ） 【答案】1.2； 12.3 123.4 1234.5 12345.6 123456.7 1234567.8 12345678.9 【分析】观察题目，所有算式的除数都是0.9，先利用计算器计算出前面四个算式的答案，根据上面的答案可以找到规律，小数部分依此递增0.1，整数部分依此增加，每次增加的数为11，111，1111，11111…，由此填写下面算式的答案。 【详解】1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝1234.5 11111.04÷0.9＝12345.6 111111.03÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝1234567.8 11111111.01÷0.9＝12345678.9 【变式训练3】先用计算器计算每组的前三个算式，找出规律后，再填写。 9×7＝( )        9×9＋7＝( ) 9.9×7.7＝( )        98×9＋6＝( ) 9.99×77.7＝( )        987×9＋5＝( ) 9.999×777.7＝( )        9876×9＋4＝( ) 9.9999×7777.7＝( )    ( )×9＋( )＝( ) 【答案】 63 88 76.23 888 776.223 8888 7776.2223 88888 77776.22223 98765 3 888888 【分析】9×7＝63，9.9×7.7＝76.23，9.99×77.7＝776.223，由左边前三个算式可知，只有第一个乘法算式的积为整数，从第二个乘法算式开始积为小数，两个因数一共有几位小数，积就是几位小数，积的整数部分最后一个数字是6，6前面是数字7，7的个数与第一个因数的小数位数相同，积的小数部分最后一个数字是3，3前面是数字2，2的个数和积中7的个数相同，据此解答。 9×9＋7＝88，98×9＋6＝888，987×9＋5＝8888，通过右边前三个算式可知，结果由数字8组成，结果的位数比每个算式的第一个数的位数多1；每个算式的第一个数从大到小由9开始排序，到第几个算式，第一个数就有几位数，每个算式的最后一个数是一位数，比上一个算式的最后一位数少1，据此解答。 【详解】9×7＝63        9.9×7.7＝76.23        9.99×77.7＝776.223        9.999×777.7＝7776.2223       9.9999×7777.7＝77776.22223    9×9＋7＝88 98×9＋6＝888 987×9＋5＝8888 9876×9＋4＝88888 98765×9＋3＝888888 易错点十六：用“进一法”解决问题 例题：大足某枇杷基地今年收获42.8吨枇杷，用容量1.5吨的货车运输，至少需要多少辆这样的货车？ 【答案】29辆 【分析】用货物的总吨数除以货车的载重量，求出至少需要多少辆这样的货车才能一次运完；注意结果用“进一法”保留近似数即可。 【详解】42.8÷1.5≈29（辆） 答：至少需要29辆这样的货车。 【变式训练1】果农们要将650千克的苹果装进纸箱，每个纸箱最多可以装15千克苹果。装这些苹果需要准备多少个纸箱？ 【答案】44个 【分析】将650千克的苹果装进纸箱，每个纸箱最多可以装15千克苹果，用苹果总重量除以每个纸箱的最大装苹果重量即可求出所需纸箱的个数；由于纸箱数必须是整数，且剩下的苹果即使不足15千克也需要1个纸箱，因此需用“进一法”取整。据此解答。 【详解】650÷15≈44（个） 答：装这些苹果需要准备44个纸箱。 【变式训练2】李叔叔要把25.7千克糖分装在一些盒子里，每个盒子最多可装0.5千克，需要准备多少个盒子？ 【答案】 52个 【分析】用糖的总重量25.7千克除以每个盒子最多装的重量0.5千克，不够装一盒也需要一个盒子，商用“进一法”进行取近似值，即可求出需要准备多少个盒子。 【详解】25.7÷0.5＝51.4≈52（个） 答：需要准备52个盒子。 【变式训练3】世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上，树干一周的长度达55.4米。大约多少个臂展1.8米的成年人伸开双臂才能围住这棵大树？ 【答案】 31个 【分析】本题需要计算树干周长55.4米中包含多少个1.8米，用除法计算。由于实际情境中即使剩余长度不足1.8米仍需增加1人，因此需用“进一法”取整数。 【详解】554÷18≈31（个） 答：大约需要31个臂展1.8米的成年人。 易错点十七：用“去尾法”解决问题 例题：某服装厂购进一批布，原来做一套服装用布3.8米，可以做64套。技术升级后，每套服装只需要用布3.1米。这批布在技术升级后，最多可以做多少套服装？ 【答案】78套 【分析】原来每套服装用布3.8米，可做64套，总布长＝原来每套用量×原来可做套数，即总布长为3.8×64＝243.2（米），升级后每套用布3.1米，可做套数＝总布长÷升级后每套用量，用243.2除以3.1计算后再根据“去尾法”取值即可。 【详解】3.8×64÷3.1≈78.45（套） 因为服装数量只能是整数，所以用“去尾法”取值78套。 答：最多可以做78套服装。 【变式训练1】丽丽看中了一套4本装的邮册，售价是95元。她攒够钱去书店，正好赶上书店搞促销，这套邮册现在售价72.6元，丽丽用剩下的钱买书签，书签每个4.9元，她最多可以买多少个书签？ 【答案】 4个 【分析】首先计算促销后节省的钱数，即原价减去现价；再用节省的钱除以每个书签的价格4.9元，结果取整数部分即为最多可购买的数量，由于书签数量必须为整数，且余数不足购买一个，故取整数部分。 【详解】（95－72.6）÷4.9 ＝22.4÷4.9 ≈4（个） 答：她最多可以买4个书签。 【变式训练2】医生给爷爷开了一瓶药，药瓶上写若：“0.2毫克×200片”。医生开的处方上写着“每日3次，每次0.4毫克，7天一个疗程”。请你算一算，这瓶药可以服用几个疗程？（得数保留整数。） 【答案】4个 【分析】用0.2毫克×200片，先求出药的总质量，每次服用质量×每日次数×7天＝一个疗程服用质量，最后无论剩下多少药，只要不够一个一个疗程的用量就无法服用一个疗程，药的总质量÷一个疗程服用质量，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】0.2×200÷（0.4×3×7） ＝40÷8.4 ≈4（个） 答：这瓶药可以服用4个疗程。 【变式训练3】制作花束时，最后都要用美丽的丝带把整个花束包扎起来。如果一个花束需要丝带1.6米，那么现有26米丝带，最多可以包扎多少束鲜花？ 【答案】 16束 【分析】用丝带的总长26米除以每束花需要的丝带长度1.6米，不够扎一束花的丝带需要舍去，商用“去尾法”取近似值，即可求出最多可以包扎多少束鲜花。 【详解】26÷1.6＝16.25≈16（束） 答：最多可以包扎16束鲜花。 易错点十八：错中求解问题（小数除法） 例题：小明在计算1.85÷0.25时，把被除数错写成了7.85，算出的商会（    ）。 A．比正确的商多6B．比正确的商少6C．比正确的商多24 D．比正确的商多31.4 【答案】C 【分析】把被除数错写成了7.85，根据小数除法的计算法则，计算7.85÷0.25和1.85÷0.25的商，用算出错误的商减去正确的商，即可得解。 【详解】7.85÷0.25＝31.4 1.85÷0.25＝7.4 31.4－7.4＝24 即算出的商会比正确的商多24。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是灵活运用小数除法的计算法则求解。 【变式训练1】小马虎在计算小数除法时，把除数5.4错看成4.5，得到了结果是3.6，这道题的正确结果是( )。 【答案】3 【分析】根据“商×除数＝被除数”，求出被除数，再根据“被除数÷除数＝商”，求出正确的结果。 【详解】被除数：3.6×4.5＝16.2 正确的结果：16.2÷5.4＝3 【点睛】本题考查小数乘法、小数除法的运算，明确除法算式各部分之间的关系是解题的关键。 【变式训练2】“小马虎”在计算一道除法题时，把除数2.2错写成了22，结果算得的商是36.3．那么正确的商是( )。 【答案】363 【分析】先把除数看作22，依据，求出被除数；再用被除数除以正确的除数即可求出正确的商，据此解答。 【详解】，所以被除数是798.6； ，所以正确的商是363。 【变式训练3】小红在计算一道小数乘法题时，由于她把乘数5.6错看成6.5，结果她计算的得数比正确答案多11.16．这道题正确的积应该是多少？ 【答案】69.44 【详解】11.16÷(6.5-5.6)×5.6=69.44 易错点十九：利用小数四则混合运算解决问题 例题：两辆汽车同时从相距640.8千米的两城相对开出，4.8小时后两车相遇，一辆车每小时行73.5千米，另一辆车每小时行多少千米？ 【答案】60千米/小时 【分析】已知两地相距640.8千米，4.8小时后两车相遇，根据“速度和＝路程和÷相遇时间”可求出两车的速度和；又已知其中一辆车每小时行73.5千米，用速度和减去其中一辆车的速度即可求出另一辆车的速度。据此解答。 【详解】640.8÷4.8＝133.5（千米/小时） 133.5－73.5＝60（千米/小时） 答：另一辆车每小时行60千米。 【变式训练1】依依买3支钢笔和5支铅笔共用去39.5元，淘淘买同种的6支钢笔和5支铅笔共用去66.5元。钢笔和铅笔的单价各是多少？ 【答案】钢笔9元/支；铅笔2.5元/支 【分析】已知依依买3支钢笔和5支铅笔共用去39.5元，淘淘买6支钢笔和5支铅笔共用去66.5元，铅笔数量相同，钢笔数量差6－3＝3支，总花费差66.5－39.5＝27元，此差值即为3支钢笔的总价。然后用3支钢笔的总价除以3即可求出钢笔的单价；用依依的总花费减去3支钢笔的总价可求出5支铅笔的总价，再除以5即可求出铅笔的单价。据此解答。 【详解】（66.5－39.5）÷（6－3） ＝27÷3 ＝9（元/支） （39.5－9×3）÷5 ＝（39.5－27）÷5 ＝12.5÷5 ＝2.5（元/支） 答：钢笔的单价是9元/支，铅笔的单价是2.5元/支。 【变式训练2】小红家的卫生间大约有8平方米，现在要铺上地砖。每块地砖是边长为0.3米的正方形，至少需要多少块这样的地砖？如果每块地砖售价是6.5元，一共需要花多少钱？ 【答案】89块；578.5元 【分析】根据正方形面积＝边长×边长，计算出每块地砖面积，最后无论剩下多少面积都得需要一块地砖，卫生间面积÷地砖面积，结果用进一法保留整数是需要的地砖数量；地砖单价×地砖数量＝需要的钱数。 【详解】8÷（0.3×0.3） ＝8÷0.09 ≈89（块） 6.5×89＝578.5（元） 答：至少需要89块这样的地砖，一共需要花578.5元钱。 【变式训练3】东方红小学六（2）班42名同学在今年6月份前往莲花山风景区毕业旅游，活动结束时全班合影留念，照相合影价格如下图。如果每位学生一张照片，一共需要付多少元？ 【答案】113.5元 【分析】六（2）班42名学生，每人一张照片，需要42张，合影定价是28.5元，给8张照片，还需要加洗（42－8）张照片，再用加洗一张照片需要的钱数×需要加洗照片的张数，求出加洗照片需要的钱数，再加上28.5元，即可求出一共需要付的钱数。 【详解】（42－8）×2.5＋28.5 ＝34×2.5＋28.5 ＝85＋28.5 ＝113.5（元） 答：一共需要付113.5元。 易错点二十：分段计费问题（小数除法） 例题：某快递公司收费标准如表。 计费单位 收费标准/元 市内 市外省内 省外 2kg及以内 10 12 16 超过2kg的部分，每1kg（不足1kg按1kg计算） 1.5 3.5 8.5 （1）小亮准备从温州寄5.4千克的特产到杭州，应支付快递费多少钱？ （2）如果小亮的妈妈从温州寄特产到北京，支付了92.5元的快递费，你知道妈妈最多邮寄了多少千克的物品吗？ 【答案】（1）26元 （2）11千克 【分析】（1）确定计费区域：温州和杭州同属浙江省，属于“市外省内”范围。明确分段计费规则：2千克及以内，固定收费12元；超过2千克的部分，每1千克（不足1千克按1千克算）收费3.5元。计算超重部分：总重量5.4千克，超过2千克的部分为千克，不足1千克按1千克算，因此超重部分按4千克计算。 （2）确定计费区域：温州到北京属于“省外”范围。明确分段计费规则：2千克及以内，固定收费16元；超过2千克的部分，每1千克（不足1千克按1千克算）收费8.5元。费用拆分：总费用92.5元，先减去基础费用16元，剩余部分为超重费用，再根据超重单价计算超重重量，最后加上基础的2千克。 【详解】（1） （元） 答：应支付快递费26元。 （2）（元） （千克） （千克） 答：妈妈最多邮寄了11千克的物品。 【变式训练1】以下是某市出租车的计价方式。 收费项目 收费标准 3千米以内收费 13元 3千米以外（不足1千米按1千米计算） 2.3元/千米 （1）小王乘出租车去科技馆，行驶11.6千米。他应付多少车费？ （2）小红打车给司机19.9元，她乘坐的出租车行驶了多少千米？ 【答案】（1）33.7元 （2）6千米 【分析】（1）小王应付的车费出租车计价分两段：3千米以内收费13元；3千米以外按2.3元/千米计费，不足1千米按1千米算。行驶距离为11.6千米，其中3千米以内收费13元；3千米以外的距离为：11.6－3＝8.6千米，不足1千米按1千米算，即按9千米计费；用2.3乘9再加上13计算即可。 （2）小红乘坐的行驶距离总费用为19.9元，先减去3千米以内的13元，剩余费用对应3千米以外的路程，即用19.9减13得出的结果除以2.3后，再加上初始距离（3千米）即可。 【详解】（1）11.6－3＝8.6（千米），按9千米计算； 2.3×9＋13 ＝20.7＋13 ＝33.7（元） 答：小王应付33.7元车费。 （2）（19.9－13）÷2.3＋3 ＝6.9÷2.3＋3 ＝3＋3 ＝6（千米） 答：小红乘坐的出租车行驶了6千米。 【变式训练2】下面是绵阳居民生活用电价格表。 绵阳居民用电收费标准 用电量/千瓦时 单价/元 第一档：0~180 0.52 第二档：181~280 0.62 第三档：280以上 0.82 （1）贝贝家上个月用电220千瓦时，应付电费多少钱？ （2）婷婷家上个月缴电费172元，她家上个月用电多少千瓦时？ 【答案】（1）118.4元 （2）300千瓦时 【分析】（1）根据题意，贝贝家用电220千瓦时，需分档计算。其中180千瓦时按第一档单价0.52元计算，超出180的部分（220~180）千瓦时按第二档单价0.62元计算，最后将两档电费相加。据此解答。 （2）根据题意，先计算第一档180千瓦时的电费，再计算第二档（181~280）千瓦时的电费，判断婷婷家电费是否进入第三档。若进入，再计算第三档用电量，最后将各档用电量相加。据此解答。 【详解】（1）180×0.52＋（220－180）×0.62 ＝93.6＋40×0.62 ＝93.6＋24.8 ＝118.4（元） 答：应付电费118.4元。 （2）第一档电费：180×0.52＝93.6（元） 第二档电费（181~280千瓦时）：（280－180）×0.62＝100×0.62＝62（元） 前两档总电费：93.6＋62＝155.6（元） 超出前两档的电费：172－155.6＝16.4（元） 第三档用电量：16.4÷0.82＝20（千瓦时） 总用电量：280＋20＝300（千瓦时） 答：她家上个月用电300千瓦时。 【变式训练3】某城市自来水收费标准是这样规定的：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.9元1吨收费，超过15吨的，其超出吨数按5元1吨收费。 （1）小明家四月份用水14吨，应交多少水费？ （2）小红家四月份用水18吨，应交多少水费？ （3）小丽家四月份交水费68.5元，她家用水多少吨？ 【答案】（1）40.6元 （2）58.5元 （3）20吨 【分析】（1）小明家四月份用水14吨的水费，因为14＜15，全部按2.9元/吨收费，用2.9乘14计算即可。 （2）小红家四月份用水18吨，用水分为两部分：15吨以内（含15吨）按2.9元/吨，超出的18－15＝3吨按5元/吨。用2.9乘15再加上5与3的积计算即可。 （3）小丽家交水费68.5元的用水量，先计算15吨水的费用：2.9×15＝43.5（元）。因为68.5＞43.5，说明用水超过15吨。用68.5减43.5得出超出部分的费用，再用超出部分的费用除以5得出超出的吨数，再把结果与15相加即可得出她家用水多少吨。 【详解】（1）14＜15 2.9×14＝40.6（元） 答：小明家四月份应交40.6元水费。 （2）2.9×15＋（18－15）×5 ＝2.9×15＋3×5 ＝43.5＋15 ＝58.5（元） 答：小红家四月份应交58.5元水费。 （3）（68.5－2.9×15）÷5＋15 ＝（68.5－43.5）÷5＋15 ＝25÷5＋15 ＝5＋15 ＝20（吨） 答：小丽家四月份用水20吨。 拔尖训练 1．一个小数除以9.9，商一定（    ）。 A．小于9.9 B．大于9.9 C．等于9.9 D．无法确定 【答案】D 【分析】一个小数除以9.9，根据被被除数的大小不同，商的大小不定。据此解答即可。 【详解】例：被除数为99时，99÷9.9＝10＞9.9； 被除数为0.99时，0.99÷9.9＝0.1＜9.9； 被除数为98.01时，98.01÷9.9＝9.9； 即一个小数除以9.9，不能确定商与9.9的大小关系。 故答案为：D 2．非遗传承人用一根30米长的彩线编织“湖北西兰卡普”，每个作品需要1.8米彩线，这些彩线最多可以做（    ）个作品。 A．16 B．16.6 C．17 D．16.7 【答案】A 【分析】用总长除以每个作品需要的长度即可，因为作品数应为整数个，所以采用“去尾法”进行解答。 【详解】30÷1.8≈16（个） 这些彩线最多可以做16个作品。 故答案为：A 3．下面说法正确的有（    ）句。 ①一个数除以0.62的商一定大于这个数。   ②3.2＋4.8×12.5＝100 ③1.06×1.6的积保留两位小数是1.70。 ④计算3.25÷0.5，如果去掉被除数和除数的小数点再计算，商将扩大到原来的10倍。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①一个非0数除以一个比1小的数，商大于被除数； ②先算乘法，再算加法；小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位； ③根据小数乘法计算法则，先计算出积，再根据“四舍五入”法保留两位小数； ④由商的变化规律可知，被除数扩大到原来的100倍，除数扩大到原来的10倍，则商扩大到原来的10倍，据此解答。 【详解】①根据一个非0的数除以小于1的数，商一定大于这个数，题中没说非0，所以说法是错误的。   ②3.2＋4.8×12.5 ＝3.2＋60 ＝63.2 63.2≠100，说法错误。 ③1.06×1.6＝1.696，1.696≈1.70，说法正确。 ④3.25去掉小数点变为325相当于乘100，0.5去掉小数点变为5相当于乘10，商就乘10（100÷10＝10），即商扩大到原来的10倍，说法正确。 正确的有③④共2句。 故答案为：C 4．豆豆的妈妈要将2.6kg 香油分装在一些玻璃瓶里，每个玻璃瓶能装0.4kg，需要准备几个玻璃瓶？下面是豆豆列的竖式，竖式中框内的两个数表示的是（    ）。 A．已经装了2.4kg，还剩2kg B．已经装了24kg，还剩0.2kg C．已经装了2.4kg，还剩0.2kg D．已经装了24kg，还剩2kg 【答案】C 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。观察竖式，“24”表示已经装的质量，“2”是剩下的质量，据此分析。 【详解】根据竖式可得： 2.6－6×0.4 ＝2.6－2.4 ＝0.2（kg） 所以，“24”表示已经装了2.4kg，“2”表示还剩0.2kg。 故答案为：C 5．成成在计算35.2除以一个数时，不小心把除数的小数点向右移了一位，结果得1.1，正确的除数是（    ）。 A．32 B．3.2 C．0.32 D．0.032 【答案】B 【分析】根据除数＝被除数÷商，先用35.2除以1.1，得出点错了小数点的除数，然后把这个数的小数点向左移动一位，就可以得出正确的除数。据此解答。 【详解】35.2÷1.1＝32 所以，正确的除数是3.2。 故答案为：B 6．在0.666…，0.999…，8.1515，，9.306这五个数中，有限小数有( )，循环小数有( )。 【答案】 8.1515，9.306 0.666…，0.999…， 【分析】小数部分是有限的小数是有限小数，循环小数指的是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，据此解答。 【详解】0.666…的小数部分是无限的，循环节是“6”，它是循环小数； 0.999…的小数部分是无限的，循环节是“9”，它是循环小数； 8.1515的小数部分有四位，是有限小数； 的小数部分是无限的，循环节是“2”，它是循环小数； 9.306的小数部分有三位，是有限小数。 在0.666…，0.999…，8.1515，，9.306这五个数中，有限小数有8.1515，9.306，循环小数有0.666…，0.999…，。 7．一辆新能源车耗电80千瓦时可行驶500km。照这样计算，这种新能源车耗电1千瓦时可行驶( )km，行驶1km要耗电( )千瓦时。 【答案】 6.25 0.16 【分析】用路程除以耗电量即可求1千瓦时可行驶的路程；用路程除以1千瓦时可行驶的路程即可计算1km的耗电量。据此解答。 【详解】500÷80＝6.25（km） 1÷6.25＝0.16（千瓦时） 所以这种新能源车耗电1千瓦时可行驶6.25km，行驶1km要耗电0.16千瓦时。 8．毛泽东的诗词《卜算子·咏梅》中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。一丈是现在的3.333…米，这个循环小数简写成( )，保留两位小数是( )。 【答案】 3.33 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 保留两位小数，看小数点后面第三位的数字是几，根据“四舍五入”法取近似数。据此解答。 【详解】3.333…＝≈3.33 毛泽东的诗词《卜算子·咏梅》中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。一丈是现在的3.333…米，这个循环小数简写成，保留两位小数是3.33。 9．用一根长24米的绳子做跳绳，每个跳绳要用2.2米长的绳子，这根绳子最多可以做( )根跳绳。 【答案】10 【分析】根据题意，用绳子的总长度除以每个跳绳需要的米数，就是能做几根跳绳。得到的结果是小数，但跳绳数量必须是整数，根据“去尾法”保留整数。 【详解】24÷2.2≈10（根） 所以，这根绳子最多可以做10根跳绳。 10．一列高速列车平均每小时大约行驶220km，一辆小汽车平均每小时大约行驶120km。这列高速列车的速度大约是这辆小汽车速度的( )倍。（得数保留一位小数） 【答案】1.8 【分析】求一个数是另一个数的几倍，用一个数除以另一个数即可，列式为220÷120，得数保留一位小数时，根据“四舍五入”法，需要看数的百分位上的数字，如果百分位上的数字大于或等于5，则把尾数舍去并向前一位进一；如果百分位上的数字小于5，则直接舍去尾数。 【详解】220÷120≈1.8 一列高速列车平均每小时大约行驶220km，一辆小汽车平均每小时大约行驶120km。这列高速列车的速度大约是这辆小汽车速度的1.8倍。（得数保留一位小数） 11．《黄河大合唱》是冼星海最重要的也是影响力最大的一部大型合唱声乐套曲。该曲以黄河为背景，塑造了中华民族巨人般的英雄形象。如果练习一次需要用0.75小时，5小时最多能练习( )次。 【答案】6 【分析】求5小时最多能练习多少次，就是求5小时里面有多少个0.75小时，用除法计算，结果需要根据实际情况使用去尾法保留整数，因为剩下的时间已经不够再完整练习一次了。 【详解】5÷0.75≈6（次） 即5小时最多能练习6次。 12．剪纸是中国最古老的民间艺术之一。张阿姨0.2小时剪了4张窗花，平均剪一张窗花需要( )小时，平均每小时剪( )张窗花。 【答案】 0.05 20 【分析】由题意知：张阿姨0.2小时剪了4张窗花，平均剪一张窗花需要的时间＝总时间÷总张数；平均每小时剪的张数＝总张数÷总时间。根据小数除法计算法则进行计算即可。 【详解】0.2÷4＝0.05（小时） 4÷0.2＝20（张） 所以张阿姨0.2小时剪了4张窗花，平均剪一张窗花需要0.05小时，平均每小时剪20张窗花。 13．循环小数7.03737…的循环节是( )，这个小数写成简便形式是( )，小数点后第40位上的数字是( )。 【答案】 37 3 【分析】（1）循环小数7.03737…的小数部分中，第一位数字0不循环，从第二位开始数字“37”依次不断重复出现，因此循环节是“37”。 （2）简便形式是在循环节上添加圆点或括号表示，即写作。 （3）计算小数点后第40位数字时，由于第一位固定为0，从第二位开始每两位循环节“37”重复，因此需要确定第40位在循环节中的位置。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的一个数字或者几个数字，叫做这个循环小数的循环节。 循环小数的简便记法：在循环节的首位数字和末位数字上面分别点上小圆点，以此来简洁表示循环小数。 【详解】循环小数7.03737…中，依次不断重复出现的数字是37，所以循环节是37。 在循环节37的首位3和末位7上分别点圆点，所以简便形式是。 小数点后第40位数字： 小数部分从第二位开始循环，不循环的数字是第1位（0），所以循环部分的位数是40－1＝39位。 循环节长度是2，则39÷2＝19（组）…1（个），即循环19组后，余下1个数字，循环节37的第一个数字是3，所以小数点后第40位上的数字是3。 14．直接写得数。 7.2÷0.8＝         2.5×0.2＝        3÷0.5＝        0.69÷6.9＝        7÷14＝ 8.1－3.8＝        5.5＋1.25＝        8×1.2＝        0.9×0.8＝        3.2÷0.1＝ 【答案】9；0.5；6；0.1；0.5； 4.3；6.75；9.6；0.72；32 【详解】略 15．列竖式计算。 7.28×1.3＝                0.085×3.4＝ 3.24÷2.4＝（验算）        9.76÷2.2≈（保留两位小数） 【答案】9.464；0.289； 1.35；4.44 【分析】计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉； 计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，商保留两位小数时，要除到小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似值，最后根据“被除数＝商×除数”进行验算，据此解答。 【详解】7.28×1.3＝9.464                0.085×3.4＝0.289                            3.24÷2.4＝1.35（验算）                   9.76÷2.2≈4.44（保留两位小数） 验算：           16．脱式计算。（能简算的要简算） 39÷0.4÷2.5             76.8×99＋76.8             11.2＋12.6÷0.28 1.25×0.69×8           37.8×27－7.8×27       15.8＋4.2×1.3 【答案】39；7680；56.2 6.9；810；21.26 【分析】（1）根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c），式子变为39÷（0.4×2.5），再进行简便计算； （2）利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算，将算式变为76.8×（99＋1），再进行简便计算； （3）先算除法，再算加法； （4）根据乘法交换律a×b＝b×a进行简便计算，将算式变为1.25×8×0.69，再从左往右依次计算； （5）利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算，将算式变为27×（37.8－7.8），再进行简便计算； （6）先算乘法，再算加法。 【详解】（1）39÷0.4÷2.5 ＝39÷（0.4×2.5） ＝39÷1 ＝39 （2）76.8×99＋76.8 ＝76.8×（99＋1） ＝76.8×100 ＝7680 （3）11.2＋12.6÷0.28 ＝11.2＋45 ＝56.2 （4）1.25×0.69×8 ＝1.25×8×0.69 ＝10×0.69 ＝6.9 （5）37.8×27－7.8×27 ＝27×（37.8－7.8） ＝27×30 ＝810 （6）15.8＋4.2×1.3 ＝15.8＋5.46 ＝21.26 17．王明从家骑车30分钟能到达太原动物园，如果他骑车的速度是198米/分，王明家离太原动物园大约有多少千米？ 【答案】5.94千米 【分析】根据“路程＝速度×时间”算出王明家离太原动物园大约有多少米，再根据1千米＝1000米进行单位换算。 【详解】198×30＝5940（米） 5940米＝5.94千米 答：王明家离太原动物园大约有5.94千米。 18．为更好地落实“阳光体育”倡导的“每天锻炼一小时”，阳光小学买来一捆52米的绳子为同学们做跳绳。先做了8根长跳绳，每根长5.45米，剩下的绳子全部做短跳绳，每根短跳绳长1.4米，可以做多少根短跳绳？ 【答案】6根 【分析】先用每根长跳绳的长度5.45米乘8根计算出8根长跳绳的长度，再从总长度里减去8根跳绳的长度，得到剩下的跳绳长度，最后除以每根短跳绳的长度1.4米，即可求可以做多少根短跳绳。 【详解】（52－8×5.45）÷1.4 ＝（52－43.6）÷1.4 ＝8.4÷1.4 ＝6（根） 答：可以做6根短跳绳。 19．刘阿姨制作了3.8千克的葡萄果酱，现在要把它分装在小瓶子里，每个小瓶子里装0.5千克，至少要准备多少个小瓶子才能把这些葡萄果酱全部装完？ 【答案】 8个 【分析】用葡萄果酱的重量除以每个瓶子可以装的重量即可计算需要的瓶子数量，结果用“进一法”取整数，据此解答。 【详解】3.8÷0.5≈8（个） 至少要准备8个小瓶子才能把这些葡萄果酱全部装完。 20．“莫比乌斯环”的发现是数学史上的重要里程碑，也展示了自然界中隐藏的对称美和简洁美。课后同学们将1.7米长的纸带每8cm裁成一段，做成莫比乌斯环，这条纸带最多可以做成多少个莫比乌斯环？ 【答案】 21个 【分析】用总纸带长度1.7米＝170厘米除以做一个圆环所需纸带长度8厘米，得到能做的圆环个数。 【详解】1.7米＝170厘米 170÷8＝21.25（个）≈21（个） 答：这条纸带最多可以做成21个莫比乌斯环。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $