计数原理与二项式定理练习卷-2025届高三数学一轮复习

2025届高三数学一轮复习计数原理与二项式定理练习卷 一、单选题 1．的展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 2．现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在、、三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 3．若，则（    ） A．45 B．27 C．15 D．3 4．若对，恒成立，其中，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 5．如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 6．设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 8．从这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情况有(    ). A．12种 B．64种 C．76种 D．80种 二、多选题 9．有甲、乙、丙等6名同学，以下说法正确的是：（    ） A．若6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480种 B．若6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为504种 C．6名同学平均分成三组到A、B、C三个实验室参观（每个实验室都有人），则有210种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 10．已知 ，则（    ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0 C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D． 11．小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，则下列说法正确的是（    ）    A．小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条 B．小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条 C．小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为 D．小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则 三、填空题 12．已知的展开式中含项的系数为-14，则 ． 13．若某人对机器狗发出一次指令，使机器狗沿着直线方向要么前进一步，要么后退一步，允许重复过任何一点．若此人发出6次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有 种；若此人发出次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有 种． 14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 四、解答题 15．有7个人分成三排就座，第一排2人，第二排2人，第三排3人，且第一排､第二排只有2个座位，第三排只有3个座位. (1)如果甲不能坐第一排，共有多少种不同的坐法？ (2)求甲､乙坐在同一排且相邻的概率. 16．已知二项式； （1）若展开式中第5项为常数项，求其常数项. （2）若展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项. 17．从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. (1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ (3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 18．已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 19．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A C C C AD AD 题号 11 答案 ACD 12．4 13． 15 （或） 14． 15．（1）甲先坐第二排或第三排，再与其他6个人排列，共有种不同的坐法. （2）第一类：甲､乙先坐第一排或第二排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法. 第二类：先将甲､乙看成一个整体，坐在第三排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法. 故甲､乙坐在同一排且相邻的概率为 16．解：（1） . ∵展开式中第5项为常数项， ∴， ， ∴常数项为60. （2）由题意得： 第2项二项式系数：， 第3项二项式系数：， 第4项二项式系数：， ， ∴， ∴二项式系数最大的项为第4项，第5项， ，. 17．（1）从这11人中任选4人的选法有种， 其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有种. （2）从这11人中任选4人的选法有种， 若人数按1，3分配，则安排方法有种， 若人数按2，2分配，则安排方法有种， 所以共有种安排方法. （3）因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种. 先排2名男生与2名组织者，有种排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法， 所以共有种不同的合影方法. 18．（1）二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； （2）由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 19．（1） （2）性质①不能推广，例如当时有定义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数 证明：当时，有， 当时， （3）当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以 因为组合数是正整数，所以 证毕. . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$