第二十七章 相似三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第二十七章 相似 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知，下列等式正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ）． A． B． C． D． 5．如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 7．已知和中，，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 9．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 10．已知四边形为正方形，点是边上一点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ． 12．如图，已知，则与的相似比是 ． 13．如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为 ． 14．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 15．已知，延长至点D，使得．若，，，则 ． 16．如图，在中，，点是中点，连接．点是中点，过点作于点，交于点．若，则 ． 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    18．如图，线段、是的两条高．求证：．    19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 20．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 21．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P， 在近岸取点Q和S， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R． 如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ． 22．如图，在中，，点D为中点，作点D关于线段的对称点F，连接交于E，过点F作交、于H、G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为. (1)为何值时面积为9？ (2)当与相似时，的值是多少？ 24．如图1，在中，，点D为中点，于点E，连接， (1)求的值； (2)求证：； (3)如图2，过点C分别作于点F，于点G，求证：与互相平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知，下列等式正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键．四个数成比例则内项之积等于两外项之积，据此可进行解答． 【详解】解：A、，则，故不符合题意； B、，则，故不符合题意； C、，则，故不符合题意； D、，则，故符合题意． 故选：D． 2．已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义列出算式，求出解即可． 【详解】∵a，b，c，d是成比例的线段， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：D． 3．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．根据条件可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， 当测试距离为时，最大的“E”字高度为， ， ， 解得：， ∴当测试距离为时，最大的“E”字高度为； 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的对应点的连线相交于一点，这个点是位似中心，进而可求解． 【详解】解：如图，点G为位似中心，则它们位似中心的坐标是， 故选：C． 5．如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比等于相似比，进而即可求解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，根据题意得出即可求解，熟练掌握此定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．已知和中，，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意，易得，根据相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的周长之比为； 故选B． 8．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 9．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似， 故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似， 故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断， 故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得， 故D不符合题意． 故选：C． 10．已知四边形为正方形，点是边上一点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，利用正方形的性质和直角三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件设，则，利用勾股定理分别求出和，再证明，由相似三角形的性质求出， 进而求出，最后和相比即可得出答案． 【详解】解：在上截取，如下图： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中， ， 又， ∴， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如图，点为的边上一点，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键． 先证明相似，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， 即， 或（不合题意，舍去）． 故答案为：． 12．如图，已知，则与的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据平行可得，则相似比为． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 13．如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据，由平行线分线段成比例定理可得，将已知条件代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为． 14．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 15．已知，延长至点D，使得．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质可得，求出、，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，点是中点，连接．点是中点，过点作于点，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正确找到相似三角形并证明是解题的关键． 利用相似三角形的判定及性质求解即可． 【详解】证明：∵点是中点，点是中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3、 解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 18．如图，线段、是的两条高．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知： 【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键． 20．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 21．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P， 在近岸取点Q和S， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R． 如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m， 求河的宽度PQ． 【答案】90米 【分析】根据相似三角形的性质得出 , 进而代入求出即可． 【详解】解答：根据题意得出：QR∥ST  ， 则△PQR∽△PST  ， 故， ∵QS=45m，ST=90m，QR=60m， ∴， 解得：PQ=90（m）， ∴河的宽度为90米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键． 22．如图，在中，，点D为中点，作点D关于线段的对称点F，连接交于E，过点F作交、于H、G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由轴对称可知，则有，然后问题可求证； （2）连接，交于点M，由题意易得，，由（1）可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵点D关于线段的对称点F， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，交于点M，如图所述： ∵点D为中点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为. (1)为何值时面积为9？ (2)当与相似时，的值是多少？ 【答案】(1)的值为3时面积为9 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定，解题的关键是第二问注意分情况讨论． （1）经过t秒，的面积等于9，先用含t的代数式分别表示和的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出； （2）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ， 当时，， 解得， 的值为3时面积为9； （2）解：分两种情况， 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，当与相似时，的值是或． 24．如图1，在中，，点D为中点，于点E，连接， (1)求的值； (2)求证：； (3)如图2，过点C分别作于点F，于点G，求证：与互相平分． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，再证明，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）由得到,设则过点E作于点H，则，证明，即可证明； （3）连接，过点E作于点H，则，设则根据（2）证明，由得到，证明，得到，证明，由得到，由勾股定理得到，则，即可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，点D为中点， ∴，，， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴, （2）∵ ∴, 设则 ∴， ∴， ∴ ∴ 过点E作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴, ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）连接，过点E作于点H，则， 设则 由（2）可得，，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵于点G， ∴， 由（2）得, ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$